NEW ALGORITHM OF THE EXPRESS ESTIMATION OF THE MAIN PROPERTIES OF THE COMPONENTS OF BINARY SYSTEMS - THE SOURCES OF THE DETECTED GRAVITATIONAL WAVES

Full Text

11 февраля 2016 года в мире фундамен тальной науки произошло знаменательное собы тие - представители международных коллабора ций LIGO и VIRGO официально заявили о пер вом прямом детектировании гравитационных волн (ГВ) [1]. Результаты этих исследований, изложен ные в серии статей, были опубликованы в самых престижных научных журналах по физике, напри мер, в журнале Physical Review Letters [2]. В 2017 году руководителям исследовательских коллабора ций - Райнеру Вайссу, Кипу Торну и Барри Бэри шу была вручена Нобелевская премия по физике с формулировкой ¾за решающий вклад в создание детектора LIGO и регистрацию ГВ¿. Важно отметить, что существование ГВ впервые было предсказано в 1916 году А. Эйн- штейном [3; 4], основываясь на Общей теории от носительности (ОТО) [5]. По сути данные вол ны представляют собой рябь пространства, рас пространяющуюся во времени со скоростью света: при прохождении ГВ между двумя свободно пада ющими телами расстояние между ними изменяет ся. Относительное изменение этого расстояния слу жит мерой амплитуды волны. Регистрация ГВ сегодня видится как чисто фундаментальное академическое открытие, кото рое вряд ли принесет выгоду народному хозяйству. Это также ничего не добавляет к триумфу Специ альной теории относительности (СТО) Эйнштей на - все теории гравитации, которые ¾дружат¿ со СТО, предсказывают существование ГВ. Причем все они указывают на то, что эти волны долж ны быть поперечными. И тем не менее важность данного открытия крайне высока, поскольку оно привело к следующим новым и важным научным результатам. • Уч¨eные впервые выполнили прямое обна ружение ГВ. Прежние попытки обнаружения ГВ, начиная с работ Дж. Вебера конца 1960-х годов, были безрезультатными. • Исследователи смогли проанализировать поляризацию пойманной волны и представить пря мое доказательство поперечности ГВ. 22 Астрономия • Данное открытие приводит к началу ак тивного использования принципиально нового ме тода наблюдения за Вселенной (гравитационно волновая астрономия). • Это позволило дать разумное объяснение проблеме гравитационного дальнодействия. Начи ная с Ньютона, уч¨eные полагали, что скорость распространения гравитационного взаимодействия является бесконечно большой. Анализ события GW150914 на дисперсию ГВ в зависимости от ча стоты строго показал равенство данной скорости и скорости света с точностью до vg/c = 10-18. • Здесь же был установлен новый верхний предел для массы гравитона (10-55 г). • Данное открытие можно смело рассмат ривать как прямое доказательство существования ч¨eрных дыр (ЧД). • Оно также является первым прямым до казательством существования двойных ЧД. • Кроме того, были обнаружены самые тяж¨eлые из когда-либо ¾наблюдавшихся¿ ЧД зв¨eздных масс. • Данное открытие доказывает правиль ность геометрического подхода к гравитации, на котором базируется ОТО. Кроме того, открытие ГВ не опровергает ка ких-либо рабочих версий теории гравитации. Обна ружение ГВ лишний раз демонстрирует всю пред сказательную силу науки. В статье [6] был представлен наглядный при мер, в рамках которого было показано, что неко торые характеристики небесных тел, являющихся источником ГВ, можно определить по кривой ис комого сигнала с использованием принципов алгеб ры и законов классической механики. Естествен ным образом возникает вопрос: возможно ли по строение последовательного универсального алго ритма оценочного определения основных характе ристик тел бинарной системы, являющейся ис точником ГВ? К сожалению, такого алгоритма авторами настоящей работы не обнаружено в про вед¨eнном литературном обзоре. В связи со сказанным главной целью насто ящей работы является построение универсально го алгоритма экспресс-оценки некоторых свойств бинарных систем, являющихся источником ГВ, c использованием законов классической механики и других разделов теоретической физики. 1. Краткая история становления теорий гравитации История становления и развития теории гра витации насчитывает более сотни теоретических моделей, в сво¨e время претендовавших на зва ние ¾заверш¨eнной теории гравитации¿. Рассмот рим некоторые из них. Одну из первых попыток описать тяготение небесных тел предпринял древнегреческий фило соф Эпикур. Придерживаясь в сво¨eм учении о при роде идеи об атомах, он высказывал мысль, что всем атомам свойственно падение вниз, которое, согласно его представлению, есть извечное свой ство материи [7]. Однако, это падение для него не являлось чисто механическим явлением. Кеплер И. полагал, что движение планет во круг Солнца обусловлено действием на них силы со стороны центральной звезды. Более того, он утверждал, что эта сила уменьшается с увеличени ем расстояния до светила [8] (обратно пропорцио нально расстоянию до Солнца и существует толь ко в плоскости эклиптики). По мнению Кеплера солнечный свет не мог быть причастен к возник новению движущей силы. Однако он ошибался, полагая, что данная сила имеет магнитную при роду. Впоследствии Кеплер склонялся к мысли о том, что существует некое общее притяжение меж ду телами, благодаря которому удал¨eнные в про странстве тела стремятся двигаться по направле нию друг ко другу и объединиться в одно целое. Полагая межзв¨eздное пространство вакуумом, он допускал возможность того, что это притяжение распространяется в пустоте. Кеплер также утвер ждал, что главной причиной океанических прили вов Земли является влияние Луны и в меньшей степени - Солнца. Буйо И., французский астроном-коперника нец, в сво¨eм главном астрономическом труде ¾Аст рономия Фил´олая¿, (1645) поддержал первый за кон Кеплера и первым указал на возможный ме ханизм обеспечения такого движения - вероят ностное существование всемирной силы притяже ния, обратно пропорциональной квадрату расстоя ния [9]. Итальянский уч¨eный Борелли Дж. в своей книге ¾Теория Медичийских планет¿ (1666) од ним из первых сформулировал несовершенный, но принципиально верный вариант закона всемирного тяготения [10], предположив, что движение планет происходит в обстановке равновесия между притя жением к Солнцу и некоторой центробежной си лой. Ньютон И. в своем основном труде ¾Ма тематические начала натуральной философии¿ (1687) впервые представил [11] явное аналитиче ское выражение для силы F притяжения, возника ющей между двумя точечными телами с массами m1 и m2, расстояние между которыми есть r: F = G m1m2 r2 , (1.1) где G = 6, 674 · 10-11 м3·c-2·кг-1 - универсальная гравитационная постоянная. Общепринято считать выражение (1.1) мате матической трактовкой закона всемирного тяготе ния Ньютона, являющегося фундаментальным за коном природы, которое было получено Ньютоном с использованием эмпирических законов Кепле ра, известных уже на тот момент. Ньютоновская теория гравитации имеет существенные отличия от гипотез его предшественников. Ньютон пер вым предложил целостную математическую мо Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 23 дель, включающую в себя закон тяготения, основ ной закон динамики (второй закон Ньютона) и си стему методов интегро-дифференциального исчис ления. Именно в рамках данной модели Ньютон смог строго доказать, что законы Кеплера явля ются лишь следствием законов Ньютона. Небесная механика Ньютона блестяще объясняла все извест ные на тот момент виды движения небесных тел. Однако у не¨e есть свои границы примени мости: она не да¨eт корректного описания движе ния небесных тел, движущихся со скоростями, со поставимыми со скоростью света, и не работает в сильных гравитационных полях. Именно поэтому она не может рассматриваться как заверш¨eнная теория гравитации. Любая другая теория, претен дующая на указанный статус, согласно принци пу соответствия, должна воспроизводить результа ты ньютоновской механики в пределе слабого гра витационного поля и нерелятивистских скоростей движения тел. Кроме того, модель Ньютона ба зировалась на концепции дальнодействия, соглас но которой сила притяжения переда¨eтся через со вершенно пустое пространство, прич¨eм бесконечно быстро! Это многим исследователям того времени казалось неестественным. По существу ньютонов ская модель была чисто математической без ка кого-либо физического содержания. Со врем¨eн Ньютона и вплоть до начала XX столетия уч¨eными предлагались различные гипо тетические теории тяготения, базировавшиеся на сугубо механических представлениях о реализации самого взаимодействия, придерживаясь концепции близкодействия. Так, из корпускулярных модифи каций ньютоновской теории выделяется теория Луи Лесажа Ж. (1756). Здесь сила гравитации - это результат давления или его дисбаланса, ока зываемого крошечными частицами на макротело, двигающихся на высокой скорости во всех направ лениях во Вселенной [12]. Его предшественники Декарт Р. (1644) и Гюйгенс Х. (1690) объясняли возникновение притяжения между телами взаимо действием эфира и его вихрей - атомов вещества [12]. Роберт Гук (1671) и Джеймс Чэллис (1869) предполагали, что каждое тело излучает волны, которые приводят к притяжению ими других тел. Риман Г. Ф. Б. (1853) утверждал, что притяжение тел является следствием их взаимодействия с по токами мирового эфира. Тот же Ньютон И. (1717) и Эйлер Л. (1760) предложили модель, согласно которой мировой эфир между телами становится более разреженным, что приводит к результирую щей силе давления, направленной к другому телу. В XIX веке было обнаружено [13] аномаль ное смещение перигелия Меркурия (АСПМ), кото рое не находило правильного объяснения в рам ках небесной механики Ньютона. Уч¨eные были по ставлены перед необходимостью в поиске пути мо дификации или обобщения теории тяготения. Од ним из возможных вариантов модификации зако на - это использование более общей формулы, чем (1.1). Так, ещ¨e в 1745 году Клеро А. К. для объ яснения отклонений в движении Луны предложил использовать формулу (Клеро): F = m1m2 G r2 + H r4 , (1.2) где H - гравитационная постоянная Клеро. В 1894 году Холлом А. была предложена для решения проблемы АСПМ формула вида: F = G m1m2 r2+ , где |δ| ≪ 1. (1.3) По мере развития небесной механики выяс нилось, что отклонения экспериментальных дан ных от прогнозов ньютоновской теории не требу ют модификаций самой теории. Кроме того, Пу анкаре А. (1908) выполнил сравнительный анализ всех известных к тому времени теорий гравитации и пришел к выводу, что только теория Ньютона являлась корректной. Во второй половине XIX века бурное разви тие получила теория электромагнетизма, кроме то го, глубокая аналогия между законами Ньютона и Кулона и объективная необходимость в решении проблемы АСПМ подтолкнули уч¨eных к ¾электри ческой¿ модификации теории тяготения Ньютона с применением законов Вебера, Гаусса, Римана и Максвелла. Так, в 1890 году Леви удалось полу чить стабильные орбиты и нужную величину сдви га перигелия пут¨eм комбинации законов Вебера и Римана. Другая успешная попытка была пред принята Гербером П. в 1898 году. Тем не менее, так как исходные электродинамические потенциа лы оказались неверными (например, закон Вебера не вош¨eл в окончательную теорию электромагне тизма Максвелла), эти гипотезы были отвергнуты как произвольные. Другие модели, которые также использовали теорию Максвелла, (например, тео рия Лоренца Х. 1900 года) давали слишком малую прецессию орбиты Меркурия [13]. К 1905 году в работах Пуанкаре А., Лорен ца Х. и Эйнштейна А. была заложена основа СТО. В результате возникла объективная необхо димость в замещении ньютоновского закона грави тации на другой, более общий, удовлетворяющий принципам причинности и соответствия. Такие по пытки были сделаны Пуанкаре А. (1905-1906), Минковским Г. (1908) и Зоммерфельдом А. (1910). Однако все предложенные модели давали слишком малую величину сдвига перигелия Меркурия. В 1907 году Эйнштейн А. приш¨eл к выво ду, что для корректного описания гравитационно го поля необходимо обобщить СТО. Вплоть до 1915 года Эйнштейн последовательно ш¨eл к но вой тензорной теории гравитации (ОТО), исполь зуя в качестве путеводного принципа свой прин цип относительности [14]. В 1916 году ОТО бы ла построена и представлена научному сообще ству. Однако данная теория не получила статус за верш¨eнной теории квантовой гравитации, посколь ку е¨e не уда¨eтся состыковать с квантовой теори 24 Астрономия ей элементарных частиц (что должно быть, если концепция Большого взрыва Вселенной справед лива), кроме того, в ней появляются неустрани мые физические расходимости при рассмотрении ч¨eрных дыр и сингулярностей пространства-време ни [15]. Более того, она не да¨eт корректных про гнозов для эволюции Вселенной в первые мгнове ния после Большого взрыва. Именно поэтому в настоящее время боль шинство теоретиков сконцентрированы на построе нии корректной квантовой модели гравитационно го взаимодействия и, в случае успеха, объединении гравитации с остальными тремя фундаментальны ми взаимодействиями, то есть на построении так называемой заверш¨eнной квантовой теории фун даментальных взаимодействий. В настоящее время существуют два основ ных подхода к построению квантовой теории гра витации, основанных на 1) теории струн и 2) петлевой квантовой гравитации (ПКГ). Теория струн основана на гипотезе [16], со гласно которой все элементарные частицы и их фундаментальные взаимодействия возникают в ре зультате колебаний и взаимодействий ультрамик роскопических квантовых струн, на масштабах по рядка планковской длины 10-35 м. Данный под ход, с одной стороны, позволяет избежать таких трудностей квантовой теории поля, как перенорми ровка [17], а с другой стороны - приводит к более глубокому взгляду на структуру материи и про странства-времени. Квантовая теория струн воз никла в начале 1970-х годов в результате осмыс ления формул Венециано Г., связанных со струн ными моделями строения адронов. В рамках ПКГ формулируется квантовая модель без привязки к пространственно-временно му фону. Пространство и время здесь состоят из дискретных частей - квантовых ячеек. Последние определ¨eнным способом связаны друг с другом, так что на малых масштабах времени и длины они создают п¨eструю, дискретную структуру про странства, а на больших масштабах плавно пере ходят в непрерывное, гладкое пространство-время. Хотя многие космологические модели могут опи сать поведение Вселенной только от планковского времени после Большого взрыва, петлевая кванто вая гравитация может описать сам процесс взры ва, и даже заглянуть в ¾моменты¿, предшеству ющие Большому взрыву. Петлевая квантовая гра витация, возможно, позволит описать все части цы Стандартной модели физики элементарных ча стиц. Однако, несмотря на активные исследова ния, заверш¨eнная теория квантовой гравитации пока не построена. Основная трудность в е¨e по строении заключается в том, что две физические теории, которые должна связать воедино завер шенная теория квантовой гравитации - квантовая механика и ОТО, опираются на разные наборы принципов. Так, квантовая механика формулиру ется как теория, описывающая временную эволю цию физических систем (например, атомов или элементарных частиц) на фоне внешнего простран ства-времени. В ОТО внешнего пространства-вре мени нет - оно само является динамической пере менной теории, зависящей от характеристик нахо дящихся в н¨eм классических систем. Даже попытка провести квантование ли неаризованной классической теории гравитации (ОТО) наталкивается на многочисленные техниче ские трудности - квантовая гравитация оказыва ется неперенормируемой теорией вследствие того, что гравитационная постоянная является размер ной величиной. Ситуация усугубляется тем, что прямые эксперименты в области квантовой гра витации из-за слабости самого гравитационного взаимодействия недоступны современным ускори телям. В связи с этим в поиске правильной фор мулировки квантовой гравитации приходится пока опираться только на теоретические выкладки. Се годня предпринимаются попытки квантования гра витации на основе геометродинамического подхо да и на основе метода функциональных интегра лов [18]. 2. Общая теория относительности: е¨e основные принципы и экспериментальная проверка Созданию ОТО предшествовало создание СТО Эйнштейном А. в 1905 году. После создания СТО он осознал необходимость разработки реля тивистского варианта теории тяготения, поскольку уравнения Ньютона были не совместимы с преоб разованиями Лоренца, а скорость распространения ньютоновской гравитации была бесконечна. СТО не являлась теорией, которая могла бы быть общей, поскольку она была применима лишь для инерциальных систем отсч¨eта. Поэтому в 1907 году Эйнштейн начал построение новой тео рии гравитации, которая была бы совместима с принципом инвариантности законов природы отно сительно любой системы отсч¨eта. Данной теорией стала ОТО, которая была сформулирована уже к 1916 году. В этой теории постулируется, что гравита ционные и инерциальные силы имеют одну и ту же природу. Отсюда следует, что гравитационные эффекты обусловлены не силовым взаимодействи ем тел и полей, находящихся в пространстве-вре мени, а деформацией самого пространства-време ни, которая связана, в частности, с присутствием массы (энергии). ОТО отличается от других мет рических теорий тяготения использованием урав нений Эйнштейна, связывающих кривизну прост- ранства-времени с присутствующей в н¨eм матери ей. ОТО основывается на следующих принци пах. 1. Принцип равенства гравитационной и инертной масс. В классической механике суще Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 25 ствуют два понятия массы: первое относится ко второму закону Ньютона, а второе - к закону все мирного тяготения. Первая масса - инертная, яв ляется отношением негравитационной силы, дей ствующей на тело, к его ускорению. Вторая мас са - гравитационная. Определяет силу притяже ния тела другими телами и его собственную силу притяжения. Эти две массы измеряются в различ ных экспериментах, поэтому совершенно не обя заны быть связанными, а тем более - равными друг другу. Однако экспериментально установлен ное их строгое равенство позволяет говорить о единой массе тела как в негравитационных, так и в гравитационных взаимодействиях. 2. Принцип движения по геодезическим ли ниям. Если гравитационная масса точно равна инертной, то в выражении для ускорения тела, на которое действуют лишь гравитационные силы, обе массы сокращаются. Поэтому ускорение тела, а следовательно, и его траектория не зависят от массы и внутреннего строения тела. Если же все тела в одной и той же точке пространства полу чают одинаковое ускорение, то это ускорение мож но связать не со свойствами тел, а со свойства ми самого пространства в этой точке. Таким об разом, описание гравитационного взаимодействия между телами можно свести к описанию простран ства-времени, в котором двигаются тела [19]. Эйн штейн предположил, что тела движутся по инер ции, то есть так, что их ускорение в собственной системе отсч¨eта равно нулю. Траектории тел то гда будут геодезическими линиями, теория кото рых была разработана математиками ещ¨e в XIX веке. 3. Кривизна пространства-времени. Если запустить из двух близких точек два тела парал лельно друг другу, то в гравитационном поле они постепенно начнут либо сближаться, либо удалять ся друг от друга. Этот эффект называется де виацией геодезических линий. Аналогичный эф фект можно наблюдать непосредственно, если за пустить два шарика параллельно друг другу по резиновой мембране, на которую в центр поло жен массивный предмет. Шарики разойдутся: тот, который был ближе к предмету, продавливающе му мембрану, будет стремиться к центру сильнее, чем более удаленный шарик. Это расхождение (де виация) обусловлено кривизной мембраны. Анало гично, в пространстве-времени девиация геодезиче ских линий (расхождение траекторий тел) связана с его кривизной. Кривизна пространства-времени однозначно определяется его метрикой - метриче ским тензором. 4. Принципы близкодействия и причинно сти. Принцип причинности в теории относитель ности утверждает, что любое событие может ока зать причинно-следственное влияние только на те события, которые происходят позже него, и не может оказать влияния на любые события, совершившиеся раньше него. Инвариантность при чинно-следственной связи в теории относительно сти связана с принципом близкодействия. В отли чие от ньютоновской физики (которая основана на физическом принципе дальнодействия) теория от носительности основана на физическом принципе близкодействия. Согласно ему, скорость передачи причинного взаимодействия конечна и не может превышать скорости света в вакууме. Этот факт является следствием постулата причинности для временной последовательности событий и незави симости скорости света от выбора системы от сч¨eта. 5.Принцип наименьшего действия для сво бодной материальной точки. Принцип наимень шего действия для свободной материальной точ ки в теории относительности утверждает, что она движется так, что е¨e мировая линия является экстремальной (дающей минимальное действие) между двумя заданными мировыми точками [20]. 6. Принцип сохранения энергии. Принцип со хранения энергии играет важную эвристическую роль в ОТО. В СТО требование инвариантно сти законов сохранения энергии и импульса от носительно преобразований Лоренца однозначно определяет вид зависимости энергии и импульса от скорости. В ОТО закон сохранения энергии импульса используется как эвристический прин цип при выводе уравнений гравитационного поля. В настоящее время ОТО - самая успешная теория гравитации, подтвержд¨eнная многочислен ными экспериментами, используемая в астрономии и в инженерных приложениях, таких как систе мы спутниковой навигации. Первый успех к ОТО приш¨eл вместе с решением фундаментальной про блемы АСПМ в 1916 году. Затем в 1919 году Эд дингтон А. сообщил о наблюдении отклонения све тового луча дал¨eкой звезды в гравитационном по ле Солнца в момент полного солнечного затме ния, качественно и количественно согласованного с предсказаниями ОТО. С тех пор многие другие наблюдения и эксперименты подтвердили значи тельное количество предсказаний теории, включая гравитационное замедление времени, гравитацион ное красное смещение, задержку сигнала в грави тационном поле и гравитационное излучение. Бо лее того, большинство зафиксированных ГВ явля ются прямым подтверждением существования од ного из самых таинственных и экзотических объ ектов ОТО - ЧД. 3. Гравитационные волны: проблема их регистрации, открытие и перспективы исследований Согласно ОТО ГВ возникают в случае, ко гда массивные компактные объекты сталкивают ся друг с другом и порождают возмущения про странства-времени, распространяющиеся со скоро стью света по всем направлениям от источника. Для регистрации ГВ необходимо очень чувстви тельное оборудование, так как воздействие, кото- 26 Астрономия Рис. 1. К определению строения детектора LIGO (объяснения в тексте) рое волна оказывает на пространство-время крайне мало, что и является основной проблемой регистрации ГВ. Проект Лазерно-интерферометрической гра витационно-волновой обсерватории (LIGO) был предложен ещ¨e в 1992 году Торном К., Древе ром Р. из Калифорнийского технологического ин ститута и Вайссом Р. из Массачусетского техно логического института. Сегодня LIGO состоит из двух обсерваторий: в Ливингстоне (штат Луизиа на) и в Хэнфорде (штат Вашингтон), удал¨eнных друг от друга на 3002 километра. Поскольку ско рость распространения ГВ равна скорости света, то это расстояние свет проходит за 10 милли секунд. Разница регистрации моментов (порядка 10 мс) появления сигналов на данных обсервато риях, позволяет определить направление на источ ник зарегистрированного сигнала. Основной элемент каждой обсерватории - Г-образная система, состоящая из двух че тыр¨eхкилометровых плеч с высоким вакуумом внутри (рис. 1). Внутри такой системы устанав ливается модифицированный интерферометр Май кельсона, в каждом из плеч которого, благодаря дополнительным зеркалам из кварцевого стекла, образуются резонаторы Фабри-Перо. Эти зеркала на особом подвесе являются пробными массами, расстояние между которыми меняет пришедшая ГВ. Она удлиняет одно плечо и одновременно уко рачивает второе. Луч лазера вначале проходит через односто роннее зеркало, которое пропускает луч от лазе ра и отражает луч, возвращающийся из интерфе рометра, таким образом являясь рециркулятором мощности и позволяя вместо 750-киловаттного ла зера использовать 200-ваттный! Затем луч входит в интерферометр и разделяется светоделителем на два луча, каждый из которых направляется в со ответствующее плечо интерферометра и проходит резонатор Фабри-Перо около 280 раз, многократ но отражаясь в конце и начале плеча, что значи тельно повышает чувствительность интерферомет ра. Затем лучи из двух плеч складываются в фо тодетекторе, и разность хода между ними вызы вает изменение тока в детекторе. Одновременно с основным интерферометром может быть использован ¾малый¿ интерферометр. Длина плеча такого интерферометра вдвое мень ше (2 километра), а резкости резонаторов Фабри Перо в плечах те же, что и у основного интерфе рометра, что соответствует вдвое меньшему време ни затухания. Из-за уменьшения времени затуха ния теоретически рассчитанная чувствительность малого интерферометра совпадает с чувствитель ностью основного интерферометра на частотах вы ше 200 Гц, но вдвое хуже на низких частотах. Обсерватория в Ливингстоне работает с од ним интерферометром в основном режиме. В 2004 году этот интерферометр был успешно усовер шенствован посредством установки, основанной на гидравлических актюаторах активной системы ме ханического шумоподавления. Такая система обес печивает ослабление вибраций на частотах 0, 1 ÷ 5, 0 Гц на порядок. В этой полосе сейсмические Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 27 вибрации обусловлены, в основном, микросейсми ческими волнами и антропогенными источниками (дорожным движением, лесозаготовками и пр.). В Хэнфордской обсерватории наряду с ин терферометром, идентичным Ливингстонскому, ис пользуют также вдвое меньший интерферометр. Благодаря ограниченной сейсмической активности в Хэнфорде допустимо использовать пассивную си стему шумоподавления. 11 февраля 2016 года коллаборации LIGO и Virgo объявили об обнаружении ГВ, произошед шем 14 сентября 2015 года на установках LIGO. Обнаруженный сигнал исходил от слияния двух ЧД c массами 36 и 29 солнечных масс на рассто янии около 1,3 млрд световых лет от Земли при этом три солнечных массы ушли на излучение [2]. Модернизированный Advanced LIGO уже имеет достойных партн¨eров. Во второй половине 2016 года произвед¨eн запуск модифицированного детектора Advanced Virgo, расположенного в Ита лии, неподалеку от Пизы. Это интерферометр с трехкилометровыми плечами, аналогичный LIGO. В 2018 году в Японии должен приступить к рабо те интерферометр KAGRA (Kamioka Gravitational Wave Detector), приспособленный для регистра ции ГВ, возникающих при слиянии нейтронных зв¨eзд [21]. Предполагается также создание ещ¨e од ного детектора проекта LIGO в Индии. Европей ское космическое агентство рассматривает проект космической обсерватории для поиска ГВ eLISA (Evolved Laser Interferometer Space Antenna) с дли ной плеч в 5 млн км, однако е¨e запуск, по послед ним данным, может состояться не ранее середи ны 2030-х годов. Новые гравитационно-волновые обсерватории позволят исследовать детально свой ства нейтронных зв¨eзд и ЧД - основных источни ков ГВ. 4. Формулировка модели физической системы Сформулируем модель физической системы ¾два массивных гравитирующих тела¿. 1. Данную систему составляют два массив ных шарообразных тела с массами M1, M2 и ра диусами R1, R2 соответственно, взаимодействую щих между собой лишь посредством гравитацион ных сил и образующих связанную систему. Дан ные тела имеют сферически симметричный харак тер распределения вещества. 2. В начальный момент времени данные те ла движутся по круговым орбитам с радиусами r1 и r2 соответственно, определ¨eнными относительно их общего центра масс. 3. Для каждого тела, являющегося ЧД, справедлива формула Шварцшильда для радиуса горизонта событий [22]: R{1,2} = 2GM{1,2} c2 , (4.1) где c = 2, 998 ·108 м/c - скорость света в вакууме. 4. Мощность (усредн¨eнная по периоду) из лучения гравитационных волн двумя гравитирую щими связанными телами, движущимися с нере лятивистскими скоростями по круговым орбитам, вокруг их общего центра масс, на расстоянии r друг от друга [23] есть PG = 32 5 G4 c5 (M1M2)2(M1 +M2) r5 . (4.2) 5. Определение масс, радиусов ч¨eрных дыр и расстояния до них Третий обобщ¨eнный закон Кеплера. Рас смотрим движение тел, определ¨eнных в предыду щем параграфе, вокруг общего центра масс по круговым орбитам радиусами r1 и r2 соответствен но. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела: M1 ~w1 = GM1M2 r3 ~r, M2 ~w2 = - GM1M2 r3 ~r, (5.1) где ~w1, ~w2 - ускорения тел относительно центра масс, ~r - вектор, соединяющий данные тела и на правленный от первого тела ко второму; r = r1 + r2. Разделим первое уравнение системы (5.1) на M1, а второе - на M2 и вычтем уравнения. В ито ге получаем ~wr = G(M1 +M2) r3 ~r, (5.2) где ~wr = ~w1 - ~w2 - ускорение первого тела, опре дел¨eнного относительно второго. Первое тело отно сительно второго будет двигаться по окружности радиуса r, следовательно, относительное ускорение будет являться центростремительным ускорением и может быть записано так wr = ω2r, (5.3) здесь ω - угловая скорость обращения системы во круг центра масс. Приравняем правые части (5.2) и (5.3), в итоге получим ω2r = G(M1 +M2) r2 , ⇒ M1 + M2 = ω2 r3 G . (5.4) Уравнение (5.4) - третий обобщ¨eнный закон Кеплера для пары гравитирующих связанных тел. Далее перейд¨eм от ω к частоте обращения ν си стемы посредством формулы ω = 2 π ν. Учт¨eм также, что частота f гравитационной волны свя зана c частотой обращения ν выражением вида: f = 2ν. Введ¨eм параметр x = M2/M1, тогда (5.4) можно записать так M1 = π2 f2 r3 G(1 + x) . (5.5) Заметим, что в момент касания горизонтов (слия ния) двух ЧД расстояние между их центрами (пре небрегая их деформацией) есть rc = R1 + R2 = 2G c2 M1(1 + x), (5.6) здесь были использованы выражения (4.1). В ре зультате (5.5) представляется в виде: M1 = c3 2√2 π fc G(1 + x) , (5.7) 28 Астрономия здесь fc - частота гравитационной волны, испу щенной системой в момент слияния. Закон изменения механической энергии. Полная механическая энергия двух ЧД есть Etot = M1υ2 1 2 + M2υ2 2 2 - GM1M2 r . (5.8) Воспользуемся уравнением (5.1) для данных тел в скалярной форме: υ2 1 = GM2 r1 r2 , υ2 2 = GM1 r2 r2 . (5.9) Подставим (5.9) в (5.8), тогда Etot = - GM1M2 2r . (5.10) Выразим из (5.5) r и подставим его в (5.10). В итоге Etot = - (π G) 2 3 2 M 5 3 1 x (1 + x) 1 3 f 2 3 . (5.11) Продифференцируем уравнение (5.11) по времени: dEtot dt = - 2 3 (π G) 2 3 M1 5 3 x (1 + x) 1 3 1 f 1 3 df dt . (5.12) Согласно рис. 2 с течением времени частота сиг нала увеличивается, следовательно df/dt > 0, а dEtot/dt < 0. Убыль механической энергии си стемы обусловлена е¨e излучением гравитационных волн, то есть dEtot/dt = -PG, где PG определяет ся выражением (4.2). С использованием уравнений (4.2), (5.5) и (5.12), в результате громоздких алгеб раических преобразований получаем df f 11 3 = Adt, где A = 3 αG 5 3 c5 π 8 3 M 5 3 1 x (1 + x) 1 3 , (5.13) здесь α = 32/5. Заметим, что величина A является постоянной величиной вплоть до момента слияния компонентов двойной системы. Тогда полученное дифференциальное уравнение можно проинтегри ровать по частоте f в интервале (fi, ff ) и по вре мени t в интервале (0, t): 3 8 f -8 3 i - f -8 3 f - = At. (5.14) Из (5.14) с уч¨eтом (5.13) следует уравнение вида: M 5 3 1 x (1 + x) 1 3 = 1 8 f -8 3 i - f -8 3 f - c5 αG 5 3 π 8 3 t . (5.15) Амплитуда гравитационной волны. Для е¨e определения учт¨eм, что интенсивность (IG) грави тационной волны должна подчиняться закону об ратных квадратов, следовательно, c одной сторо ны данную величину можно представить в виде [24]: IG = PG 4π 2 , (5.16) где - расстояние до источника гравитацион ных волн. С другой стороны, эту величину можно представить в терминах амплитуды h и соответ ствующей ей частоты fh в виде [25]: IG = π 2 c3 G h2 f2 h. (5.17) Из уравнений (5.16), (5.17), c уч¨eтом (5.5) следует явное выражение для амплитуды ГВ (h): h = 4 √5 π2/3G5/3 c4 M 5 3 1 x (1 + x) 1 3 f2/3 h . (5.18) Расширение Вселенной и эффект Доплера. Все предыдущие результаты были получены в системе покоя центра масс системы (ЦМС). Од нако в экспериментах всегда фиксируются сигна лы от движущихся далеких систем (находящихся от нас на расстояниях, больших 100 Мпк). Все эти источники удаляются от Солнца в силу расшире ния Вселенной. Следовательно, частота f грави тационной волны, фиксируемой на Земле, связа на с собственной частотой гравитационной волны f(0), испущенной данной системой, в системе по коя ЦМС с помощью формулы Доплера [26]: f = f(0)(1 - β), ⇒ f(0) = f (1 - β) , (5.19) где β = vr c , vr - лучевая проекция скорости ЦМС относительно наблюдателя (считается положитель ной, если направлена от наблюдателя). В нереля тивистском приближении параметр β = z, где z - красное смещение излучения источника. Кроме то го, имеет место аналогичная связь между ампли тудами гравитационной волны в движущейся и по коящейся системах отсч¨eта: h = h(0)(1 - z), ⇒ h(0) = h (1 - z) . (5.20) Необходимо также учесть релятивистское замедле ние времени при переходе из системы покоя ЦМС в лабораторную систему отсч¨eта земного наблюда теля: t = t(0) p 1 - β2 , ⇒ t(0) = t p 1 - β2. (5.21) Следовательно, в выражениях (5.7), (5.15) и (5.19) необходимо произвести замену вида: f → f(0), h → h(0), t → t(0) при этом последние опреде ляются формулами (5.19)-(5.21). Как известно, для дистанцированных объек тов Вселенной справедлив статистический закон Хаббла, который можно представить в виде: vr = H , (5.22) Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 29 Рис. 2. Кривые сигналов (strain), полученные на детекторах LIGO 15.09.2014 г (объяснения в тексте) !"лиж&ни& (о *(и+альным 0+а&к0о+иям !лияни& 3+ащ&ни& +&з6ль0и+6ющ&й ч&+ной :ы+ы t h(t) Рис. 3. Эволюция бинарной системы и сигнала в эксперименте Advanced LIGO (объяснения в тексте) здесь H = 66, 93 км/(с·Мпк) - постоянная Хаббла. Следовательно, из (5.18), с уч¨eтом (5.22), получа ется следующее уравнение: z = 4 √5 Hπ2/3G5/3 c5 M 5 3 1 h x (1 + x) 1 3 f2/3 h (1 - z)2/3 . (5.23) Уравнения (5.7), (5.15) согласно тем же действиям представляются в виде: M1 = c3 (1 - z) 2 3 2 π Gfc (1 + x) , (5.24) M 5 3 1 x (1 + x) 1 3 = 1 8 f -8 3 i -f -8 3 f - c5 αG 5 3 π 8 3 t (1 - z)8/3 (1 - z2)1/2 . (5.25) Система уравнений (5.23)-(5.25) является полной и может быть решена численным образом относи тельно переменных M1, x, z. Для е¨e решения необ ходимо задать частоты волн fi, ff , fh, fc и вре мя t между соответствующими моментами. Следу ет помнить, что исходное уравнение (4.2) являет ся нерелятивистским, поэтому частоты fi, ff , fh следует определять на участке плавно нарастаю щей кривой сигнала strain (рис. 2-3), вдали от максимума сигнала. Как было показано в работе [2], в максимуме сигнала strain расстояние меж ду ЧД несколько больше суммы радиусов их го ризонтов событий. Условие (5.6) система достигает в более поздний момент, соответствующий участку кривой, где сигнал уже падает, а частота достига 30 Астрономия ет максимального значения. Именно это значение частоты и следует принимать как fc. Зная массы ЧД, можно определить их ради усы с использованием формулы (4.1) и начальное расстояние между телами с использованием фор мулы (5.5) в момент, когда сигнал детектором стал приниматься: r0 = 3 s GM1(1 + x) π2 f2 0 , (5.26) здесь f0 - частота ГВ на момент начала регистра ции сигнала. Из уравнения (5.11) следует явное выражение для скорости взаимного падения тел системы: r˙ = - 64 5 G3 c5 M1M2(M1 +M2) r3 . (5.27) Решая (5.27) относительно r, можно получить яв ную зависимость искомого расстояния от времени t эволюции системы: r = 4 r r4 i - 8 αG3 c5 M31 x (1 + x)t. (5.28) 6. Определение свойств образовавшейся ч¨eрной дыры Прежде всего, определим энергию, излучен ную в форме гравитационных волн. Будем пола гать, что в начальный момент наблюдений ком поненты рассматриваемой системы находились на расстоянии r0, при этом их полная механическая энергия определялась выражением (5.11), при f = f0. В момент слияния полная механическая энер гия системы представляется формулой (5.10), при r = rc, где rc определяется формулой (5.6), в ито ге: E(f) tot = - 1 4 M1M2 M1 +M2 c2. Тогда искомая энергия гравитационных волн есть EG = E(i) tot - E(f) tot , или EG = 1 4 M1M2 M1 +M2 c2 - (π G) 2 3 2 M 5 3 1 x (1 + x) 1 3 f 2 3 0 . (6.1) Следовательно, соответствующая данной энергии масса есть MG = EG/c2. Далее легко вычислить массу образовавшейся ЧД: M3 = M1 +M2 -MG. (6.2) Радиус образовавшейся ЧД по-прежнему опреде ляется формулой Шварцшильда (4.1). Определим частоту ω3 обращения образовав шейся ЧД, с использованием закона сохранения момента импульса системы (предполагая, что ис ходные ЧД не имели осевого вращения): L1 + L2 = L3, ⇒ I1 ωc + I2 ωc = I3 ω3. (6.3) Здесь I 1,2,3 - моменты инерции исходных и конеч ной ЧД соответственно. С учетом теоремы Гюй генса-Штейнера данные величины представляются в виде: L{1,2} = 2 5 M{1,2} R2 {1,2} +M{1,2} r2 {1,2}, L3 = 2 5 M3 R23 .   (6.4) В последних выражениях r1, r2 - радиусы орбит ЧД в системе центра масс, в момент слияния. По следние удовлетворяют условию: r1 r2 = M2 M1 = R2 R1 , r1 + r2 = R1 + R2, ⇒ r1 = R2, r2 = R1. (6.5) С уч¨eтом (6.4), угловая скорость ω3 представляет ся в виде: ω3 = 2 5 M31 +M21 M2 +M1M22 + 2 5 M32 2 5 M33 ωc, (6.6) здесь ωc = π fc - угловая скорость вращения систе мы в момент, когда расстояние между центрами ЧД равно сумме их радиусов горизонтов. 7. Численные результаты и анализ Выполним численный анализ полученных основных результатов на примере четыр¨eх со бытий GW150914 [2; 27], GW151226 [28; 29], GW170104 [30], GW170814 [31], зафиксированных коллаборациями обсерваторий Advanced LIGO и Advanced VIRGO и характеризующихся наиболее точными данными эксперимента. Общий анализ процесса слияния двух ЧД в рамках ОТО [24] указывает на существование тр¨eх основных этапов в этом процессе. На первом эта пе ЧД движутся вокруг их центра масс по почти круговым орбитам (рис. 3). На этом этапе они те ряют механическую энергию в силу излучения гра витационных волн и плавно сближаются по закру ченной спирали. На втором этапе ЧД сливаются, образуя одну ч¨eрную дыру. На третьем этапе об разовавшаяся ЧД приходит в равновесное состоя ние, называемое ч¨eрной дырой Керра. Излучение энергии в форме гравитационных волн является наиболее интенсивным на втором и третьем эта пе. Описание эволюции данной системы на послед них двух этапах возможно лишь в рамках ОТО с использованием громоздких численных методов и ресурсов суперкомпьютеров. Однако эволюция си стемы на первом этапе является много более ¾до ступной¿ для анализа в рамках классической ме ханики, а оценки искомых величин являются весь ма точными и могут быть получены за считанные минуты даже непрофессионалами в данной обла сти знаний. Именно в этом мы видим главное пре имущество предложенного нового алгоритма экс пресс-оценки. Рассмотрим подробнее методику определе ния величин fi, ff , fh, fc, f0, t, h по данным экспериментов на примере события GW150914. На рис. 4а представлена результирующая кривая сиг нала (strain) для события GW150914, а на рис. 4б Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 31 A B C D a ! E F Рис. 4. Анализ события события GW150914 (данные H1): а - результирующая кривая сигнала (strain); б - распределение амплитуды сигнала (strain) по времени и частоте сигнала (объяснения в тексте) Таблица 1 Основные результаты предшественников и настоящей работы для четыр¨eх событий GW150914, GW151226, GW170104, GW170814 Параметр Событие GW150914 GW151226 GW170104 GW170814 Источник данных [2; 27] [28; 29] [30] [31] f0, Гц 35/35 -/32 -/42 -/52 fi, Гц -/64 -/40 -/55 -/52 ff , Гц -/128 -/128 -/128 -/128 fc, Гц -/320 -/800 -/380 -/410 fh, Гц -/48 -/64 -/64 -/64 h, ×10-21 0,5 0,1 0,2 0,5 t, мс -/25 -/600 -/48 -/70 z 0, 09+0,03 -0,04/0,087 0, 09+0,03 -0,04/0,087 0, 18+0,08 -0,07/0,179 0, 11+0,03 -0,04/0,112 x -/0,838 -/0,338 -/0,657 -/0,757 M1/M⊙ 36+5 -4/35,5 14, 2+8,3 -3,7/19,47 31, 2+8,4 -6,0/29,78 30, 5+5,7 -3,0/30,37 M2/M⊙ 29+4 -4/29,7 7, 5+2,3 -2,3/6,59 19, 4+5,3 -5,9/19,55 25, 3+2,8 -4,2/23,00 R1, км -/104,7 -/57,5 -/87,96 -/89,72 R2, км -/87,7 -/19,5 -/57,76 -/67,93 , Мпк 410+180 -160/390,6 440+180 -190/391,2 880+450 -390/802,6 540+130 -210/501,8 ri, км -/894 -/699 -/722 -/643 MG/M⊙ 3, 0+0,5 -0,5/3,17 1, 0+0,1 -0,2/1,10 2, 0+0,6 -0,7/2,35 2, 7+0,4 -0,3/2,66 M3/M⊙ 62, 2+3,7 -3,4/61,98 20, 8+6,1 -1,7/24,96 48, 7+5,7 -4,6/46,97 53, 2+3,2 -2,5/50,71 R3, км -/183,09 -/73,74 -/138,77 -/149,81 ω3, рад/с -/799,1 -/809,0 -/800,7 -/803,2 32 Астрономия а 50 100 150 200 250 300 f, !" r/c 0.0 0.1 0.2 0.3 P , 10 #$ ´ 0.0 1.0 2.0 3.0 G 50 " 50 100 150 200 250 300 f, !" Рис. 5. Зависимости: а - скорости взаимного сближения (5.27) компонентов системы GW150914 и б - мощности излучения (4.2) гравитационных волн системой от их частоты (объяснения в тексте) соответствующее распределение амплитуды сигна ла (strain) по времени эволюции и частоте сигна ла. На последней картинке отч¨eтливо просматри вается зависимость от времени частоты сигнала f. По данным авторов работы [2] максимум сигнала (strain) был достигнут на частоте fmax = 250 Гц (точка E на рис. 4б ). Чтобы использовать основные результаты данной работы, полученные в рамках классиче ской механики, выберем точки данной зависимо сти вдали от точки E ради простоты вычислений - в точках A (fi = 64 Гц, см. табл. 1) и B (ff = 128 Гц). Далее определим промежуток времени t между данными моментами. Для определения ча стоты fc заметим, что на данном рисунке сигнал пропадает в точке C (fc = 320 Гц). Частота f0 = 35 Гц соответствует точке F. Значение амплитуды волны определим в точке D (fh = 48 Гц, h = 0, 5 · ·10-21), дистанцированной от точки E (по тем же соображениям). Далее полученные значения под ставляем в систему уравнений (5.23)-(5.25). Опре делив параметры z, x, M1, вычисляем массу M2 и радиусы ЧД R1, R2 по формуле (4.1). C использо ванием (5.22) вычисляем расстояние ( ) до систе мы. По формулам (5.26), (6.2) определяем началь ное расстояние между компонентами, массу MG и массу образовавшейся ч¨eрной дыры M3. С исполь зованием формулы Шварцшильда (4.1) рассчиты ваем по аналогии радиус образовавшейся ч¨eрной дыры R3. Наконец, по формуле (6.6) оцениваем е¨e угловую скорость после установления равновесно го состояния. Для полноты картины представлена на рис. 5а зависимость скорости взаимного сбли жения (5.27) компонентов системы GW150914 от частоты гравитационных волн; на рис. 5б зависи мость мощности излучения (4.2) гравитационных волн системой от того же параметра. Из графиков очевидно, что скорость взаимного падения высока и достигает в момент слияния значения ∼ 0, 3 c. А мощность излучения в момент касания ЧД своими горизонтами составляет ∼ 3 · 1050 Вт! Аналогичным образом выполнена обработ ка данных по событиям GW151226, GW170104, GW170814. Результаты работы представлены в табл. 1. Очевидно, что оценочные результаты, по лученные в настоящей работе с использованием нового алгоритма экспресс-оценки, уверенно согла суются с точными результатами (в пределах ошиб ки их определения), полученными в рамках наи более точных моделей ОТО, что является очевид ным доказательством работоспособности данного алгоритма. При этом данный алгоритм не отно сится к классу высокоточных моделей, он лишь является эффективным оценочным и оперативным инструментом. Важно отметить, что все эти результаты были получены на основе классической механи ки с уч¨eтом эффекта Доплера и закона Хаббла на персональном компьютере с использованием си стемы Mathematica [32]. При этом не требуются ¨eмкие ресурсы суперкомпьютеров. Этот факт сви детельствует о том, что данный алгоритм явля ется доступным для проведения самостоятельных оперативных исследований даже непрофессионала ми. Он может также быть эффективным оценоч ным инструментом в руках профессионалов при исследовании новых событий. Отметим, что в данной работе намеренно не исследовались ещ¨e три события: LVT151012, GW170608, GW170817. В случае первого события набор данных оказался неполным, в случае второ го события - имеется очень слабый сигнал с боль шими интервалами неопредел¨eнности частоты, что не позволяет получить над¨eжные оценки частот, а в третьем случае исходная система - пара ней тронных зв¨eзд, для которых некоторые результа ты алгоритма (например, формула (4.1)) не при менимы. Исследование события GW170817 авторы планируют провести в следующей работе с моди фицированным алгоритмом.

About the authors

Jury Petrovich Philippov

Samara University

Email: yuphil@mail.ru
Samara, Russia

Maria Alekseevna Malyugina

Liceum "Sozvezdie" № 131

Email: maliugina.marya@yandex.ru
Samara, Russia

References

Supplementary files