A QUANTITATIVE ANALYSIS OF THE EVOLUTION OF THE WASP 1 SYSTEM WITH USING NON MINIMAL MODEL OF TIDAL INTERACTION. ANALYSIS OF THE EFFECTS OF THE EXOPLANET FALLING

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In th t a quantitative analysi evolution of a binary system e given paper we presen s of the WASP 1 WASP 1b with using a Non Minimal Model of Tidal Interaction. It is a logical continuation of the research of the system, the beginning of which was presented in [1]. Within the framework of the energy approach the potential corresponding to the tidal force acting on the element of a celestial body with mass dm and the magnitude of the static deformations of the spherical body surface were calculated here. The potential energy of the tidal interaction of a homogeneous weakly elongated ellipsoid of rotation and a massive point body was constructed. The Non Minimal model of tidal interaction of the two massive gravitating bodies was formulated. In the framework of the Lagrangian approach, using the results obtained above, the formulas for radial tidal force and it’s moment acting on the weakly elongated ellipsoid were built and closed system of differential equations describing evolution of the binary system were constructed. The initial conditions were seted and the procedures for the dimensioning and algebraic reduction of the equations system were realised for a unique solution of the equations system. A numerical analysis of the WASP 1 system evolution has been confirmed the conclusion of [1] - the exoplanet will inevitably fall on the surface of the star and will be terminated. The rest of the exoplanet lifetime is 887 million years, which is 14 million years more then estimation of the work [1] and is a more accurate result. The dependences of the radius of the orbit, stellar period of the star and exoplanet and its orbital period from time are demonstrated graphically. It is shown that orbital period will decrease from 2,52 days to 9,22 hours as a result of the exoplanet fall. The stellar period of the star will decrease on 5,6 days. After the fall, the period of rotation of the star will decrease to 18,25 37 days, and dissipation of the mechanical energy will be 4, 58 · 10 J! The latter value is comparable to energy explosion of nova star.

Full Text

25 сентября 2006 года международной ко широкоугольных телескопов, в широком диапазоне мандой астрофизиков из Франции и Южной Аф электромагнитных волн, расположенных на Канар рики было объявлено об обнаружении за пре ских островах и в Южной Африке), одной из са делами Солнечной системы, в рамках проекта мых горячих (T = 1800 К, и потому больших eff SuperWASP (Wide Angle Search for Planets, проек по размеру R = 1.483 R ) и самых быстрых (пе 2 J (r) та нацеленного на поиск экзопланет с использова риод обращения планеты равен T = 2, 520 сут, нием транзитного метода, при помощи двух сверх см. табл. 1 2) экзопланет [2]. Высокая температу ра обусловлена близостью экзопланеты к материн c Филиппов Ю. П., Бильданов С. З., 2019. ской звезде, - расстояние между ними всего лишь Филиппов Юрий Петрович, a = 0, 0382 а.е., что более чем в 26 раз меньше (yuphil@mail.ru), большой полуоси Земли. Расстояние от Солнца до доцент кафедры общей и теоретической физики звезды WASP 1 составляет 1330 световых лет (см. Самарского университета, табл. 3 4). 443086, Россия, Самара, Московское шоссе, 34; Эти факты являются главными причинами Бильданов Сергей Зявдатович, приливных явлений как на самой звезде, так и на (bildanov@inbox.ru), планете, в частности, приливного трения вещества ученик XI класса Лицея Созвездие №131, этих тел. Последнее, в свою очередь, приводит к 443083, Россия, Самара, ул. Промышленности, 319. Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 31 Таблица 1 Основные характеристики экзопланеты WASP 1b, вычисленные предшественниками по данным ее наблюдений -2 3 a,×10 а.е. ε T, сут i, град M , M R , R ρ, кг/м 2 J 2 J +0,053 +0,057 +0,024 +29 3, 889 -0,073 0 0, 854 -0,052 1, 483 -0,034 348 -32 2, 5199454±-0, 0000005 90, 0 ±-1, 3 Примечание: a, ε - большая полуось и эксцентриситет орбиты экзопланеты, T - е¨ e орбитальный период; i - наклонение орбиты планеты к лучу зрения, M2 - е¨ e радиус (в e масса (в массах Юпитера MJ ), R2 - е¨ радиусах Юпитера RJ ), ρ - средняя массовая плотность экзопланеты. Таблица 2 Вычисленные в работе [1] значения некоторых параметров экзопланеты WASP 1b 2 42 2 ω, рад/сут V , км/с w , м/с p c L , ×10 кг м /с 2,4933 168,22 4,863 1,5869 Примечание: ω, V - угловая и линейная скорости орбитального движения экзопланеты; wc - е¨ e центростре мительное ускорение, Lp - момент количества движения экзопланеты. Таблица 3 Основные характеристики звезды WASP 1, вычисленные предшественниками по данным е¨ e наблюдений 9 3 †- †- †- τ , 10 лет T , 10 K R, R m r , пк Спектральный класс M , M age eff ⊙- ⊙- V +1,2 +0,022 m +0,05 3, 4 -0,6 1, 470 -0,032 F7V 1, 24 -0,07 6, 20 ±-0, 20 (11, 79 ±-0, 21) 408 ±-27 Примечание: τage - текущий возраст звезды, Teff - эффективная температура поверхности звезды; mV - е¨ e видимая зв¨ e радиус, M - масса звезды. eздная величина, r - гелиоцентрическое расстояние до звезды, R - е¨ Таблица 4 Вычисленные в работе [1] значения некоторых параметров звезды WASP 1 9 3 2 τ , 10 лет L, L M M ρ, кг/м g, м/с V , км/с V , км/с life ⊙- V b I II m m 6,50 2,671 4,299 4,252 549,12 157,28 400,88 566,93 Примечание: τ life - ожидаемое время жизни звезды, L - светимость звезды; MV - е¨ e визуальная абсолютная зв¨ b - болометрическая абсолютная зв¨ eздная величина, M eздная величина; ρ - средняя массовая плотность звезды, g, VI, VII - ускорение свободного падения, первая и вторая космические скорости у е¨ e поверхности соответственно. неминуемой потери механической энергии системы чительных приливных эффектов не только на по и плавному падению экзопланеты на центральное верхности центрального тела, но и на поверхности тело. Проведенный обзор литературных источни самой экзопланеты. ков [2] [6], посвященных исследованию данной эк В связи со сказанным, главной целью на зопланеты, указал на отсутствие каких либо иссле стоящей работы является количественный анализ дований в отношение эволюции системы WASP 1 эволюции орбит тел системы WASP 1 с исполь в будущем. Также в работах предшественников от зованием Неминимальной модели приливного вза сутствует оценка оставшегося времени жизни пла имодействия, новая оценка оставшегося времени неты WASP 1b. жизни экзопланеты WASP 1; анализ последствий Регулярные наблюдения системы WASP 1 падения экзопланеты на поверхность звезды. позволили существенно повысить точность опреде 1. Определение потенциала ления основных параметров планеты, определяю приливообразующей силы щих ее динамику. В работе [1] вычислено время В данном параграфе будет построен потен жизни данной экзопланеты, как с учетом уточнен циал приливообразующей силы (ПОС), действую ных данных [7], так и с учетом эффекта разру щей на элемент массы dm небесного тела. Рассмот шения небесного тела в полости Роша, в рамках рим в качестве примера систему Солнце Земля Минимальной модели приливного взаимодействия. (см. рис. 1а). Введем декартову систему координат Следует отметить, что в данной модели не учи (OXY) так, чтобы ось OX содержала центры дан тывались приливные эффекты, проявляющиеся на ных тел и при этом была направлена от Солнца самой экзопланете, последняя моделировалась то к Земле, начало координат (точка О) совпадает с чечным телом. Однако, размеры планеты очень центром Земли. Перейдем в полярную систему ко большие для объекта такого класса, а ее близость ординат, начало которой совпадает с центром Зем к звезде является серьезным основанием для зна ли, а полярная ось - с осью ОХ. Данная система 32 Астрономия n ‘ n r Y q da A r ‘ B r j S q R da A Å a O i X олн З мля а а ′- Рис. 1. К определению: а - полярных координат r и θ, задающих структуру приливообразующей силы (без сохранения масштаба), б - величины статической деформации (объяснения в тексте) координат характеризуется двумя ортами ( , n ′ n ), ца представляется в виде: r θ аналогично ортам декартовой системы координат ′- ⊙- n ′ определяет направление вектора t ′- 3 G M r 2 1 (1.4) (i, j). Вектор ′-′- ϕ (r , θ) = -- a a cos 2θ + 3 . r ′- 4 ⊕- ⊕- и задается выражением ′ = /r . Вектор r n r n r θ 2. Оценка величины статической есть единичный вектор, перпендикулярный векто ру и направленный в сторону увеличения угла n r ′ деформации поверхности шарообразного тела в рамках энергетического подхода θ (см. рис. 1а). Согласно работе [1], проекции ПОС Рассмотрим случай невращающейся Земли. dF , действующей со стороны Солнца на элемент t тела Земли массы dm, на направления, задавае Полная потенциальная энергия пробного тела мас мые данными ортами, представляются в виде: сы ∆m у ее поверхности определяется суммой двух слагаемых: энергией поля силы тяжести пла  (r ) , dF x cos 2θ + dF = g t  t ′ 3 3 0 1 неты U и потенциальной энергией ПОС U Солн      (θ) = 2 2 0 3  (1.1) ца: U ′- g ′- t ′- dF x sin 2θ, где  tot (r , θ) = U (r ) + U (r , θ), (2.1) dFt --   где U (r ) = ∆m g(r --R ),   r  ⊙-  dF = G dm M , x = ′- g ′- ′- ′- ⊕-    0 , 2 a  U = ∆m ϕ (r , θ). ⊕-  a ⊕- t t ⊕-  ′-  У поверхности Земли r = R + h, где h - вы здесь G - универсальная гравитационная постоян сота точки наблюдения над поверхностью Земли ная, M - масса Солнца, a - большая полуось ⊙- ⊕- земной орбиты. ′ (h ≪-R ). Тогда энергию U можно представить ⊕- tot (r ) в виде: Проекция приливной силы dF перпенди t кулярна поверхности Земли, поэтому традиционно tot 3 G M 2 cos 2θ + 1 R ⊙- ⊕- называется вертикальной составляющей; проек U ≈∆m g h --∆m a a 3 . 4 ⊕- ⊕- (θ) ция dF направлена параллельно горизонту, по R t U 3 G M 2 ⊙- ⊕- (h, θ) = ∆m g h -- этому ее называют горизонтальной составляющей tot ∆m cos 2θ. (2.2) 4 a a ⊕- ⊕- приливной силы [8]. При записи последнего выражения учтено, что по Поскольку ПОС определяется как суперпо тенциальная энергия всегда определяется с точно зиция двух сил притяжения, которые являются по стью до постоянной величины, поэтому последнее тенциальными, то и сама сила является потенци постоянное слагаемое было отброшено. альной. Следовательно для нее можно построить ′- С учетом явного выражения для ПОС (1.1) скалярную функцию ϕ (r , θ), градиент от кото t можно легко убедиться в том, что последняя стре рой, взятый со знаком - и домноженной на dm, мится растянуть шарообразное тело Земли вдоль даст саму ПОС dF , то есть t оси OX и сдавить в направлениях, перпендикуляр ′- dF = -dm∇ϕ (r , θ), где  (1.2) ных данному. В результате тело планеты приобре t t ∂ n + 1 ∂ .  тает форму слабо вытянутого эллипсоида враще ∇-= ∂r ′ ′- n ния, большая полуось которого равна a = R + δa ′-r r ∂θ θ  где R ⊕- ⊕- Последнее выражение, с учетом (1.1), удобно рас (h = δa), а малая полуось - b = R --δa (h = -δa), - радиус шарообразного, невозмущенного ⊕- писать в виде двух уравнений в проекциях: тела Земли; δa - величина статической деформа ′- ции поверхности шарообразного тела Земли, обу ∂ϕ 3 G M r 1  (1.3) словленной действием ПОС Солнца. t ⊙- = -- cos 2θ + ,  ∂r a  ⊕- ⊕- G M ∂ϕ r 3 1 ′-t = 2 2 a ′- 3  Поскольку форма тела Земли не меняется, ⊙- sin 2θ. то ее поверхность должна быть эквипотенциаль  ′- 2 2 a взятия  ной, то есть потенциальная энергия U во всех r ∂θ a ⊕-  tot ⊕- Путем непосредственного производной точках ее поверхности должна быть величиной по можно убедиться в том, что потенциал ПОС Солн стоянной. Следовательно, потенциальные энергии Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 33 в точке А (см. рис. 1б ), лежащей на большой оси, Элементарный объем в обобщенных сферических и в точке B, лежащей на малой оси, равны между координатах представляется так собой 2 dV = ˜ 1 r dθ dφ . (3.2) r a b c sin θ d˜ 1 1 1 1 U tot tot (h, π) = U (-h, π/2), ⇒- Тело массой M будем моделировать матери 2 3 G M 2 = альной точкой, движущейся относительно эллип R ⊙- ⊕- ∆m ∆mgh -- a a соида по круговой орбите радиуса r, лежащей в 4 ⊕- ⊕- R ⊙- ⊕- -∆mgh + 3 G M 2 , плоскости ОХY, что и экватор эллипсоида. Поло ∆m жение точечного тела в данной системе координат 4 a a ⊕- ⊕- определяется радиусом вектором r: R ⊙- ⊕- gδa = 3 G M 2 . (2.3) (3.3) r = (r cos∆ϕ, r sin∆ϕ, 0). 4 a a ⊕- ⊕- Учитывая, что ускорение свободного падения у по Далее определим в терминах данных координат 2 верхности Земли есть g = GM /R , тогда величи cos θ (здесь θ - угол между радиусами векторами ⊕-⊕- r и на статической деформации представляется в ви - r , см. рис. 2.а): 1 де: cos θ = -( - n n ), (3.4) M R ⊙- ⊕- R . δa = 3 3 ⊕- (2.4) где = r r1 4 M a ⊕- ⊕- r n = (cos∆ϕ, sin∆ϕ, 0), r Очевидно, последняя величина пропорциональна r массе приливообразующего тела (Солнца) и чет r 1 вертой степени радиуса тела, испытывающего при = a sin θ cos φ , ˜ b sin θ sin φ , ˜ n = r 1 r 1 1 r1 1 1 1 r r r ливы (Земли). 1 1 1 3. Расчет потенциальной энергии r c 1 ˜ cos θ . 1 приливного взаимодействия однородного r 1 слабо вытянутого эллипсоида вращения и 2 2 2 2 2 r = ˜ a 1 1 1 1 1 массивного точечного тела 1 2 r 2 sin θ cos φ + b sin θ sin φ + 1 2 1/2 2 2 r R (1 + 2β) sin θ cos φ + Для достижения сформулированной цели + c cos θ ) 2 ≈-˜ 2 2 1 1/2 1 1 1 1 необходимо вычислить потенциальную энергию +(1 --2β)(sin θ sin φ + cos θ ) ≈- приливного взаимодействия однородного слабо вы r R λ, 1 1 (3.5) тянутого эллипсоида вращения (полуоси которого 1 1 есть a = R + δa, b = R --δa, c = R --δa, а мас 1 1 1 ≈-˜ 2 2 λ = 1 + γ(2 sin θ cos φ --1) , са - M ) и массивного точечного тела. Согласно 1 1 1 (3.6) 1 определению, потенциальной энергией приливного здесь γ = δa/R , причем γ ≪-1 для большинства взаимодействия бесконечно малого элемента мас рассматриваемых физических систем. При записи сы dm тела эллипсоида и массивного точечного последнего выражения было использовано биноми тела массы M , с учетом (1.4), можно записать альное приближением вида [9]: 2 так α 2 3 G dm M r 1 (1 + x) ≈-1 + α x, при x ≪-1. (3.7) 2 1 dU = dm ϕ (r , θ) = -- r 2 cos 2θ + 3 = Следовательно, проекции вектора на декарто t t 1 n 4 r r1 вы оси можно представить в виде: r 2 1 3 cos θ --1 , = -- 2 r 2 r sin θ cos φ ≈-(1 + 2γ(1 --sin θ ×- r1 x λ здесь r 1 G dm M 2 2 (3.1) (n ) = 1 + γ 1 1 2 1 вектора элемента, 1 - величина радиуса 2 1 1 1 определенного относительно центра эллипсоида; ×-cos φ )) sin θ cos φ , r - расстояние между телами; угол θ определяется (n ) = 1 --γ 1 1 2 1 2 1 согласно рис. 1.a. r1 y λ sin θ sin φ ≈-(1 --2γ sin θ cos φ ) ×- 1 1 Выберем декартову систему координат, ×-sin θ sin φ , жестко связанную с телом эллипсоида так, что (n ) = 1 --γ 1 2 1 2 1 1 r1 z λ cos θ ≈-(1 --2γ sin θ cos φ ) cos θ . б´ ольшая полуось эллипсоида совпадает с осью ОХ (см. рис. 2a). Положение бесконечно малого Следовательно, cos θ представляется в виде: элемента объемом dV и массой dm = ρdV будем 2 2 cos θ = --sin θ (1 + 2γ(1 --sin θ cos φ )) cos φ ×- определять радиусом вектором = (x , y , z ) в 1 2 1 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 1 ×-cos∆ϕ + (1 --2γ sin θ cos φ ) sin φ sin∆ϕ = обобщенных сферических координатах (˜ --sin θ 1 1 1 r , θ , φ ). 1 1 1 2 cos(φ --∆ϕ) + 2γ(cos φ cos∆ϕ --sin θ ×- Последние координаты связаны с декартовыми по 2 1 1 (3.8) средством выражений вида: ×-cos φ cos(φ --∆ϕ)) .  x = ˜ 1 1 1 t 1 r a cos φ sin θ , 1 В итоге потенциал dU можно представить в виде:  y = ˜ 1 1  t 1 G dm M r 2 1 cos (φ  1 r b sin φ sin θ , 1 z = ˜ 1 1 1 dU ≈--- r 2 2 3 sin θ 2 1 --∆ϕ)+ 1 r c cos θ , 1 1  0 6 ˜  2 2 r 6 1, 0 6 θ 6 π, 0 6 φ 6 2π. r 1  34 Астрономия Z 1 w Y M 1 1 M A 2 E 2 r 1 j Dj 2 q 2 O R 2 1 Y 1 E C j f M 1 3 1 Dj 1 X j Dj 1 r 1 O r 1 X 2 R 2 1 w 2 M 2 а а Рис. 2. К определению а - потенциальной энергии приливного взаимодействия однородного слабо сплюснутого эллипсоида вращения и массивного точечного тела, б - основных параметров физической системы (объяснения в тексте) 2 +4γ cos(φ --∆ϕ)(cos φ cos∆ϕ --sin θ ×- 2 1 1 1 1 1 ×-cos φ cos(φ --∆ϕ)) = 2 1 1 (3.9) 3 G M M 2 π(3 cos 2∆ϕ + 1) = = -- 1 2 R 8 ×-cos φ cos(φ --∆ϕ)) --1 . Для получения искомой потенциальной энергии 40π 3 1 ×- r 3 необходимо проинтегрировать (просуммировать) R последний результат по всем элементам dm послед 3 G M M 1 2 1 (3.12) 1 2 cos 2∆ϕ + . 5 него: = -- r r 3 1 G M 2 2 3 sin θ cos dmr U = dU =-- 1 1 t t 2 3 2 2 (φ --∆ϕ)+ Последний двухкратный интеграл был вычислен 1 r аналитически с использованием системы аналити 2 2 ческих вычислений Mathematica [10]. Окончатель +4γ cos(φ --∆ϕ)(cos φ cos∆ϕ --sin θ cos φ ×- но имеем следующее выражение для искомой по 1 1 1 1 тенциальной энергии U : 2 R ρ a b c r d˜ ˜ r ×-cos(φ --∆ϕ))] --1] ≈--- 1 1 1 1 G M 2 1 4 t 3 G M M t 1 cos 2∆ϕ + 1 , или 1 3 2 r 0 R U = -- π 2π r sin θ dθ 1 2 1 2 1 5 γ 1 2 r 2 3 5 0 1 1 0 dφ 1 + 2γ(2 sin θ cos φ --1) ×- 2 R 2 U = -- . 2 1 1 1 t 9 G M 1 cos 2∆ϕ + 1 (3.13) 1 2 2 1 2 1 1 20 r r 3 ×-3 sin θ cos (φ --∆ϕ) + 4γ cos(φ --∆ϕ)×- 4. Неминимальная модель приливного ×(cos φ cos∆ϕ --sin θ cos φ cos(φ --∆ϕ)) -1 = (3.10) = K-+ γK-, взаимодействия 0 1 Рассмотрим физическую систему двух тел 1 2 где K-= -- sin θ R 1 1 0 3 G M M 2 π dθ ×- (здесь и далее первое тело - звезда WASP 1, вто 1 3 40π r 0 рое тело - экзопланета WASP 1b) с массами M 1 2 1 2 2π и M соответственно (M > M ), взаимодейству 2 2 3 3 sin --∆ϕ) --1 = ×- dφ θ cos (φ -- ×- ющих между собой посредством гравитационных 1 1 1 сил. Для описания взаимодействия этих тел и эво 0 40π люции их движения будем использовать следую G M M 2 π 2π 1 + 3 π 3 θ dθ ×- щую модель - Неминимальную модель приливного 1 2 sin θ ×- 3 1 -- dθ 0 dφ sin 1 1 R 1 1 r 0 0 взаимодействия. 2π 3 G M M 1. Данные тела будем моделировать одно 2 1 1 40π 1 2 2 родными (с постоянной массовой плотностью ρ и ×-cos (φ --∆ϕ)dφ = -- 3 1×- 1 R 0 r ρ соответственно) трехосными эллипсоидами (сла 2 (3.11) ×(-4π + 4π) = 0. бо отличающимися по форме от шаров с радиуса 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 sin θ dφ K-= -- R 1 1 1 3 G M M 2 π dθ 2π 1 ми R и R ) c полуосями (a , b , c ) и (a , b , c ), 1 40π 3 которые представляются в виде: r 0 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  a = R + δa , a = R + δa ,  (4.1) 2(2 sin θ cos φ --1)(3 sin θ cos (φ --φ ) --1)+ 1 1 2 2 b = R --δa , b = R --δa , 1 2 2 1 1 1 2  1 1 1 2 2 2  +12 sin θ cos(φ --∆ϕ)(cos φ cos∆ϕ --sin θ ×- c = R --δa , c = R --δa ,  1 1 1 2 2 2  Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 35 где δa - значения статической деформации 6. Со стороны тела 2 на тело 1 действу {1,2}- сферических поверхностей данных тел (в отсут ют приливные силы, порождающие момент M , 1 ствии второго тела), обусловленной действием при лишь z проекция которого способна изменять пе ливных сил со стороны второго тела, и определя риод вращения первого тела. Сила гравитационно емые по аналогии с (2.4) выражениями вида: го притяжения между телами помимо ньютонов ского слагаемого должна содержать дополнитель M R  δa = 3 2 1 3 1  (4.2) ные слагаемые δF , обусловленные слабой вы  1 R , {1,2}-  1 3 литические выражения для M и δF будут по 3 M R 1 {1,2}- 1 2  R2.  δa = 4 M r  тянутостью эллипсоидов данных тел. Явные ана 2 4 M r  лучены в следующем параграфе. 2  7. Со стороны тела 1 на тело 2 действу 2. Выберем декартову систему координат ют приливные силы, порождающие момент M , 2 так, чтобы центр масс системы совпадал с нача лишь z проекция которого способна изменять пе лом координат, а плоскость OXY - с плоскостью риод вращения второго тела. Явное аналитическое орбит тел (см. рис. 2б ). При этом в начальный выражение для M будет получено в следующем 2 момент времени данные тела находятся на оси параграфе. OX. Ось OZ образует правый винт с направлени ем обращения системы тел относительно их цен 5. Лагранжев подход к выводу уравнений тра масс. эволюции физической системы 3. Будем полагать, что тело массой 2 дви Центральным объектом Лагранжева подхо жется относительно тела 1 по круговой орбите ра да в теоретической механике является функция диуса r, лежащей в плоскости ОХY. Орбиты дви Лагранжа, которая для замкнутой системы из N жения этих тел относительно центра масс, следо взаимодействующих тел представляется в наибо вательно, также есть окружности с радиусами R лее общем виде [11]: 1 и R соответственно. Из определения радиуса век 2 N N тора центра масс следует, что T ( ˙ , t) --U q, t) = i j i R = M = α < 1. L(q, ˙ i q ij (q , q , t), (5.1) 1 2 i=1 i,j=1 R M 2 1 где T - кинетическая энергия i того тела, U - i ij При этом потенциальная энергия взаимодействия i того те R + R = r. ла с j ым телом рассматриваемой физической си 1 2 стемы (предполагается, что данная физическая си Из двух последних выражений следует, что стема состоит из N тел, в нашем случае N = 2), q = {q }-- обобщенные координаты i того тела, r, R = r. R = α 2 1 (4.3) i a a i 1 1 + α 1 + α где a - индекс характеризующий порядковый но q }-- обобщенная скорость i 4. Положения центров данных тел в выбран мер измерения, q˙ = {-˙i i того тела, t - время. ной системе координат определяются радиусами Выбор обобщенных координат диктуется со векторами: ображениями удобства в описании физической си 2 1 3 3 2 1 3 3 (4.4) стемы, для которой четко определены независи r = (-R cos ϕ ,-R sin ϕ , 0), 1 мые степени свободы. Для физических систем, в r = (R cos ϕ , R sin ϕ , 0), 2 которых присутствуют силы трения и сопротивле где ϕ - азимутальный угол второго тела отно 3 ния (диссипативные силы), имеют место уравне сительно центра масс, его можно представить в ния Лагранжа второго рода (для каждой обобщен случае кругового характера движения как ϕ = 3 a 2π ной координаты q ), представляемые в виде: i ω t, где t - время движения, ω = (r) - угловая 3 3 T скорость обращения системы относительно центра d ∂L- -- = Q ,  масс, T  i a dt ∂ ˙ q ∂q , i i мы. (r) - орбитальный период обращения систе a ∂L- a  (5.2) -----→- i = 1, . . . , N ; a = 1, . . . , D,  5. Будем полагать, что данные тела враща a -----→- ется вокруг осей, параллельных OZ, c угловыми где Q - обобщенные диссипативные силы, присут i (s) (s) скоростями и (ω = 2π/T , T - пе ствующие в системе, D - максимальное число из ω ω i 1 2 i i риод осевого вращения i го тела) соответственно. мерений (число степеней свободы для одного тела) Направления вращений образуют правый винт с для данной физической системы. осью OZ. Данным вращательным движениям со Построим функцию Лагранжа и выведем ди ответствуют моменты импульса (моменты количе намические уравнения эволюции физической си (s) (s) стемы, определенной в рамках Неминимальной ства движения, МКД) L и L , которые можно 1 2 представить в виде: модели приливного взаимодействия, в предыду щем параграфе. Для этого определим обобщен (s) (s) (s) 2 2 (4.5) ные координаты системы. В роли таковых удобно L = (0, 0, L ), L = M R ω , 1 1z 1z 5 1 1 1z (s) (s) (s) 2 2 L = (0, 0, L ), L = M R ω . взять полярные углы точек экваторов тел 1 и 2 и 2 2z 2z 5 2 2 2z 36 Астрономия прямой их соединяющей - ϕ , а также рассто первое тело посредством приливных сил, соответ {1,2,3}- яние между телами r. Выберем эти точки (см. рис. ствующая энергия взаимодействия для которых 2б, точки E и E ) и направление полярной оси представляется в виде: 1 2 таким образом, чтобы начальные значения всех по 2 1 R 1 1 U1 -- cos(2∆ϕ ) + . лярных углов были равны нулю. (t) = 3 γ GαM r 2 1 (5.8) 1 5 r 3 Далее определим кинетическую энергию си Аналогично рассуждая в случае второго тела, име стемы. Для этого учтем, что тела 1 и 2 участвуют ем: в двух видах движения: 1) в обращении вокруг об G M 1 R щего центра масс; 2) во вращении вокруг собствен (t) = 3 2 2 r 2 2 2 1 1 γ αβ U ной оси. Следовательно, кинетические энергии тел 2 -- r cos(2∆ϕ ) + 3 . 5 представляются в виде: (5.9) (t) (t) (r) (s) Важно отметить, что U , U зависят от 1 2 T = T + T , (5.3) 1 1 1 углов ∆ϕ , которые на больших временных ин {1,2}- 1 1 2 2 тервалах не являются уже постоянными, а явля (r) = 2 (r) = 2 M ˙ 1 2 2 ются функциями обобщенных скоростей ω i и T M V 1 R + ω R = 1 1 1 3 1 {1,2,3}- 2 1 α 2 2 обобщенных координат - r (как минимум ∆ϕ ∼- 2 = 2 M 1 + α r + ω r , (ω --ω )t), что для энергии взаимодействия, со 1 ˙ 3 i 3 ответствующей потенциальной силе, нехарактерно [12]. Особый характер зависимости указывает на 2 (s) = 1 2 1 2 2 1 2 2 присутствие диссипации механической энергии в T I ω = M R ω = M R ω , 1 2 1 1 2 - 1 1 1 5 1 1 1 5 системе и на необходимость определения обобщен (r) a где V - скорость орбитального движения перво ных диссипативных сил Q (что будет сделано ни 1 i го тела, ω - угловая скорость орбитального дви же). Следовательно, полная потенциальная энер 3 жения первого тела, r - расстояние между телами, гия есть U = U . В итоге функция Лагранжа рас G I - момент инерции первого тела (шар). сматриваемой физической системы есть 1 Аналогично для второго тела можно запи 1 α r + ω + ˙ r 1 сать: 2 (r) (s) , (5.4) L-= T --U = 2 M (1 + α) 2 2 2 2 3 T = T + T 2 2 1 α G M 1 ω + αβ + ω M R 1 1 1 2 2 (r) 1 (r) 2 = 1 M ˙ 2 2 2 = + 5 2 2 2 2 r . (5.10) T = M V 2 R + ω R 2 2 2 3 2 2 2 Вычислим производные от функции Лагранжа, 1 α стоящие в левой части уравнений (5.2): r + ω , ˙ r = 2 M 2 2 2 2 2 d ∂L- = 2 2 ˙ , ∂L- 1 3 (1 + α) 1 1 1 dt ∂ω 1 (s) 1 2 1 2 2 = 1 5 M R ω ∂ϕ = 0, T = I ω = M R ω 2 2 2 2 2 -5 2 2 2 d 2 ∂L- = αβ M R ω = 0, 1 1 2 dt ∂ω ∂ϕ 2 αβ M R ω , = 1 2 2 2 2 5 2 2 ˙ , ∂L- 1 1 2 5 d ∂L- где β = R . (5.5) 1 α 2 ˙ + 2rω r), ∂L- = M (r ω 3 ˙ = 0, 3 3 3 2 dt ∂ω (1 + α) ∂ϕ R 1 ∂L- = M ¨ Полная кинетическая энергия системы определяет d 1 α r, dt ∂ ˙ (1 + α) r ся выражением: 2 α 2 α G M 1 M α ∂L- 1 r 2 1 . = M 2 2 2 T = T + T = 1 r 3 ∂r (1 + α) ω3 -- r 1 2 ˙ + ω r + 2 (1 + α) a Для определения обобщенных сил Q учтем, i 1 что элементарная работа, совершаемая обобщен ω + αβ ω + 5 2 2 2 2 (5.6) ной силой на элементарном перемещении δq , есть M R 1 1 1 2 i и является функцией только обобщенных скоро δA = Q δq , i i стей: ω r и координаты r. , ˙ {1,2,3}- иначе ее можно представить Определим потенциальную энергию взаимо (t) (t) (t) действия тел физической системы. Здесь домини δU j i i j i )) = δA = -- j = --(U (q +δq )+U (q рующее слагаемое - потенциальная энергия грави j=1,2 j=1,2 тационного взаимодействия двух однородных ша (t) j рообразных тел: G M M 2 ∂U δq . = -- ∂q i i j=1,2 1 2 α G M 1 = -- U = -- G . (5.7) Откуда следует r r (t) (t) q j j i Очевидно, что U является лишь функцией обоб i ∂U ∂U ∂ ˙ . (5.11) G Q = -- ∂q = -- ∂ ˙ ∂q щенной координаты r. Второе тело действует на i i q i j=1,2 j=1,2 Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 37 Следовательно, внешней газовой оболочкой - атмосферой. Именно 2 2 R атмосфера в наибольшей степени подвержена дей 1 Q = 6 γ GαM 1 sin(2∆ϕ ), ствию приливных сил. Поскольку атмосфера звез ϕ1 1 1 5 r r ды (экзопланеты) представляет собой смесь ча Gαβ M R 1 Q = 6 γ 2 2 1 2 sin(2∆ϕ ), стично или полностью ионизованных газов (пре ϕ2 2 2 имущественно водорода и гелия), то как и любое 5 r r массивное тело, она с некоторым запаздыванием Q = -Q --Q , реагирует на возмущение приливной силы (инерт ϕ3 ϕ 1 ϕ 2 ность отклика), то есть горб приливной волны дол GαM R 1 Q = -- cos(2∆ϕ ) + -- r 9 γ 2 2 1 2 1 1 жен формироваться с некоторым запаздыванием 1 5 r r 3 (на малый угол δϕ ) по отношению к прямой, со i единяющей тела 1 и 2 или прямой, перпендику Gαβ M 9 γ 2 2 1 2 2 1 лярной последней. i R 1 -- 2 cos(2∆ϕ ) + . 2 5 r r 3 В общем случае величина δϕ является ква С учетом явного вида параметров γ , γ мож зистатичной, т.е. очень медленно и незначитель 1 2 но записать итоговую систему дифференциальных но меняющейся во времени. Однако, в дальнейшем уравнений: мы будем пренебрегать слабой зависимостью δϕ i 2 2 ˙ = 9 2 2 1 5 sin(2∆ϕ ), (5.33) от времени, по аналогии с работами предшествен Gα M R 1 M R ω 1 1 1 1 ников (смотри, например, работу [13]). Данную ве 5 10 r r личину, согласно [1], можно представить выраже 2 2 2 ˙ = 9 5 2 5 2 2 2 (5.34) нием вида: δϕ = 1 arcctg 1 , (6.2) Gβ M R 1 1 αβ M R ω sin(2∆ϕ ), 1 1 2 5 10 r r i R i 1 (r ω ˙ -- M α 2 ˙ + 2rω r) = 9 Gα M 1 5 ×- 2 i Q 1 3 3 в последнем выражении Q - добротность i го те (1 + α) 10 r r ла как колебательной системы, в которой присут Gβ M R 1 ×-sin(2∆ϕ )-- 2 1 9 5 2 1 5 sin(2∆ϕ ), (5.35) ствует диссипация механической энергии (в силу 10 r r наличия приливного трения). 2 Планетарные системы, где центральная звез α α 2 α G M 1 ¨ M (1 + α) r --M (1 + α) ω r + 2 = да схожа по своим характеристикам с Солнцем, 1 1 3 r а экзопланета является горячим Юпитером (ка 27 2 2 1 5 1 1 ким и является WASP 1b) уверенно описываются Gα M R 1 = -- 2 r cos(2∆ϕ ) + 3 -- теоретическими моделями приливного взаимодей 20 r ствия, если добротности центральной звезды и эк Gβ M 27 5 2 1 5 2 1 (5.36) зопланеты принимают значения [13]: R 1 cos(2∆ϕ ) + . -- 2 r 3 20 r 6 7 Q = 10 , Q = 10 . 1 2 Для численного решения полученной системы дифференциальных уравнений необходимо опреде Эти величины задают значения δϕ : {1,2}- лить углы ∆ϕ (что будет сделано в следую {1,2}- -7 -8 δϕ = 5 -10 , δϕ = 5 -10 щем параграфе), задать начальные условия, вы 1 2 . (6.3) полнить процедуры обезразмеривания и алгебра В выражении (6.1) Ω - собственная частота i ической редукции системы (что будет сделано в обращения приливной волны по поверхности i го параграфе 7). тела. Очевидно, ее можно представить так 6. Расчет углов запаздывания ∆ϕ ,∆ϕ V 1 2 i Ω = . (6.4) i приливных горбов R i Согласно работе [1], параметр ∆ϕ можно i здесь V - линейная скорость распространения i определить системой вида: приливной волны в атмосфере i го тела. Учт¨ eм, ω ω |-< Ω i 3z iz 3 i ∆ϕ = π δϕ S(ω --ω ), 2| -- i i i что экзопланета WASP 1b в круговом движении i вс¨ e положение по отношению e время меняет сво¨ ( i 3z iz ω ω |-> Ω , 3 2 --δϕ )S(ω --ω ), 2| -- к звезде. В соответствии с этим меняется вес раз (6.1) личных частей атмосферы как звезды, так и эк где зопланеты. Давление смеси газов, которое проти x > 0, S(x) = sign(x) = 1, востоит гравитационному сжатию небесного тела, , -1, x < 0 не может измениться мгновенно. Перестройка кар δϕ - величина угла "запаздывания" горба при i тины распределения давления в атмосфере небес ливной волны на поверхности i го тела от линии, ного тела (а следовательно и величина скорости соединяющей центры тел 1 и 2 (или ей перпенди V ) ограничена скоростью распространения упру i кулярной), обусловленный конечностью скорости гих продольных волн в газах [14]: распространения волны в поверхностном слое и приливным трением (всегда 0 6 δϕ ≪-1). По V = γ R T (6.5) i s M , верхность WASP 1 (как и WASP 1b) ограничена 38 Астрономия Таблица 5 Основные параметры плазмы атмосферы WASP 1 -3 Компонента кг/моль n,(в ед. n ) γ M , ×10 p протон (p) 1 1 5/3 α частица (α) 4 0.1 5/3 -3 электрон (e) 1.2 5/3 5.45 -10 здесь γ - показатель адиабаты атмосферного га и в этой ситуации реализуется первый случай си за, T - абсолютная температура атмосферы, M - стемы (6.1), то есть в данном случае приливной молярная масса газа (плазмы), R - универсальная горб бежит позади прямой "звезда планета". газовая постоянная. ω 2 В случае, когда | -- 3 ω |-→-0 то, соглас Согласно данным наблюдений эффективная 2 ω 2 но выше сказанному ∆ϕ ∼-| -- 3 ω |. При суще температура поверхности звезды составляет T = ственном различии угловых скоростей, например 1 6200 К (см. табл. 3). При таких температурах 2 3 2 3 2 ω ≪-ω , ∆ϕ ∼-ω →-δϕ . В итоге искомый угол плазма является почти полностью ионизованной. следует представить так Как известно, возраст звезды невелик (но не ме 2z нее 3,4 млрд. лет), при этом масса звезды близка 2 ω 2 (6.6) δϕ . ∆ϕ = 1 --3z ω к массе Солнца, следовательно, можно полагать, что WASP 1 является молодой звездой, где в ат 7. Редукция и обезразмеривание системы мосфере основными компонентами являются водо уравнений род и гелий в пропорциях (10:1) [15]. Следователь Для решения системы уравнений (5.33) (5.36) но, основными компонентами зв¨ eздной плазмы яв выполним предварительно их алгебраическую ре ляются протоны, α частицы (ядра атомов гелия) дукцию и обезразмеривание. Для этого введем и электроны. Нетрудно убедиться в том, что мо систему безразмерных параметров: лярная масса и показатель адиабаты смеси газов ω ω ω 1z 2z 3z представляются в виде: w = ω , w = ω , w = ω ,  (7.1) 1 2 3  N t r , τ = . , M = N M n n x = 0 t 0 0   1 i=1 i i i=1 i R 0  Тогда уравнение (5.33) можно представить в виде: i . n γ = 1 + N N i n 2 2 ω dw = 9 2 1 2 R sin 2∆ϕ , G M i=1 i i=1 γ --1 5 M R 0 1 10 α 1 1 5 1 1 1 t dτ R x R x 0 1 C использованием последних результатов и дан G M t α ных для плазмы WASP 1, представленных в dw = 9 3 1 0 2 sin 2∆ϕ . (7.2) 1 1 табл. 3, легко убедиться в том, что молярная мас dτ 4 R ω 6 1 0 x -4 са водородной плазмы - M = 6, 364 10 кг/моль, Потребуем выполнение следующих условий: а показатель адиабаты - γ = 5/3. В итоге V = 1 9 11, 615 км/c, и Ω = 1, 14 -10 -5 рад/c. eн G M t 0 0 1 0 1 К сожалению, осевой период вращения звез 4 3 = 1, ω t = 1 ⇒- R ω 1 0 ды не известен, однако из наблюдений определ¨ спектральный класс и подкласс звезды - F7. По 0 1 , t = 2 R R 1 (7.3) 1 ω = 0 1 . скольку звезда по спектральному классу весьма t 3 G M 0 близка к Солнцу (G2), далее мы будем полагать, В итоге уравнение (7.2) представляется в виде: что период е¨ e вращения равен периоду вращения Солнца вокруг оси - T = 25, 38 суток = 2,193 - dw = 2 sin 2∆ϕ . (7.4) 1 1 α 6 1 10 с. Согласно данным наблюдений (см. табл. 1) dτ 6 x 5 T = 2, 18 -10 с. В результате 2|ω --ω |-= 5, 2 - Уравнение (5.34) можно представить в виде: 3 3 1 -5 -1 -10 с и 2|ω --ω |-> Ω , следовательно реали 3 1 1 π зуется второй случай (6.1) и ∆ϕ = 1 2 ω dw 2 --δϕ . 2 2 0 2 = αβ M R 1 1 В силу относительно близкого расположения 5 t dτ 0 тел бинарной системы и как следствие наличия значительных приливных эффектов является ра = 9 5 1 2 R 5 sin 2∆ϕ , ⇒- G M 1 1 β 2 зумным предполагать, что к настоящему моменту 10 R x R x 1 вращательные движения экзопланеты синхронизи G M t β ровались, тогда ω = ω . dw = 9 3 1 0 3 sin 2∆ϕ . 2 2 6 1 0 2 3 dτ 4 R ω αx Следовательно, в случае WASP 1b выполняется В итоге неравенство: 3 dw δ β 2 2| -- ω = sin 2∆ϕ , где δ = . (7.5) 3 ω |-< Ω , dτ 6 2 α 2 2 x Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 39 Рассмотрим уравнение (5.35): G(M + M ) ω dx 3 2 α 0 2 dw + 2xw ω = 1 3 2 , M R x 3 = 3 1 1 r (1 + α) t dτ dτ 0 и выполняя алгебраические преобразования, в ре G M 9 1 2 R 5 ×- зультате получаем выражение для производной 1 1 = -- R x R x dx (0): 10 1 dτ 1 + α 2 5 dx 3 √- 1 ×-α sin 2∆ϕ + β sin 2∆ϕ (0) = -- α 5 11/2 ×- 1 2 , ⇒- dτ 10 x используя замены переменных (7.3), в итоге полу ×-α sin(2∆ϕ ) + β sin (2∆ϕ ) . чаем 3 + 2xw dx 2 (1 + α) α sin 2∆ϕ + 2 1 2 2 dw x dτ 3 dτ = -- 6 2 1 (7.6) Решение полученной системы обезразмерен 5 α x ных дифференциальных уравнений имеет физиче 5 + β sin 2∆ϕ . 2 ский смысл лишь при τ 6 τ , где τ - момент вре f f Рассмотрим уравнение (5.36): мени, удовлетворяющий условию x(τ ) = 1+ β. По f 2 d x (1 + α) G M t 1 R 2 следнее условие определяет феномен столкновения 1 2 2 2 1 0 ω w x + 2 2 --t0 0 3 3 2 = тела 2 с телом 1. Здесь и далее будем называть t dτ R x 0 1 τ - временем падения тела 2 на тело 1. f GM 9 α(1 + α) 1 2 R 5 ×- R Как известно, если R < R (здесь 1 Roche 1 1 = -- 2 2 R x Roche - радиус полости Роша), то тело 2 будет 20 R x 1 5 разрушено в полости Роша приливными силами, 1 β 2 (7.7) порожд¨ ×-(1 + 3 cos 2∆ϕ ) + (1 + 3 cos 2∆ϕ ) . eнными гравитационным полем тела 1 до 2 α момента его падения. В силу выше сказанного, мо В результате получаем мент времени τ , отвечающий попаданию те Roche 2 2 2 x + 4 (1 + α) 5 1 (1 + α) 1 ×- ла 2 в полость Роша, будем называть временем d x dτ --w3 9 2 = -- α 7 падения тела 2 в полость Роша, созданную те x 5 x лом 1. Моменту времени τ отвечает расстоя 2 1 2 ние x = R /R = 2 1/3 3 ρ /ρ , здесь ρ , ×-α (1 + 3 cos 2∆ϕ ) + β (1 + 3 cos 2∆ϕ ) . 2 Roche Roche 1 Roche 1 2 1 (7.8) ρ - средние массовые плотности тел 1 и 2 (при В итоге система обезразмеренных дифференциаль записи последнего выражения использована фор ных уравнений представляется в виде: мула для радиуса полости Роша). 2 dw α 1 = 6 sin 2∆ϕ ,  Следовательно, временем жизни тела 2,  dτ = x 1  будем называть величину, определяемую условием    dw δ sin 2∆ϕ ,  вида:    dτ x     Roche Roche dw   life 2 2 3 6 dx 2 2 (1 + α)  τ = τ , если x > 1, . (7.9)  x + 2xw τ , если x < 1 dτ 3 dτ = -- 6 ×- f Roche 5 α x 2 2 1 4 5 2 (1 + α) 1  8. Численные результаты и анализ ×-α sin 2∆ϕ + β sin 2∆ϕ ,  В настоящем параграфе будут представле      2 d x x + (1 + α) 1  ны основные численные результаты и их анализ   ×-  2 --w3 9 2 = -- α 7  для системы WASP 1-WASP 1b с использовани dτ x 5 x   2  ×-α (1 + 3 cos 2∆ϕ ) + β (1 + 3 cos 2∆ϕ ) . 1 5 2  ем значений вспомогательных параметров и на Для однозначного решения полученной системы чальных условий, представленных в таблице 6. нелинейных связанных дифференциальных урав Согласно таблице 6 значение x > 1, то Roche нений необходимо задать начальные условия (при есть полость Роша для WASP 1b лежит вне те τ = 0): ла звезды и, следовательно, время жизни плане ты определяется временем τ . Согласно числен Roche ω (0) 2π r(0) a 1z w (0) = = , x(0) = = , ным расчетам в системе Mathematica [10], остав 1 (s) R R ω 1 1 0 ω T 0 1 шееся время жизни экзопланеты составляет t = life ˙ ω (0) 2π dx r(0) 8 w (0) = w (0) = 2z = (r) , (0) = R . 8, 869 -10 лет, что незначительно больше оценки 2 3 8 ω ω T dτ 1 02 0 (8, 731 -10 лет) работы [1]. После падения в по Для определения начального условия для лость Роша WASP 1b будет скорее всего разорва dx воспользуемся уравнением (7.6). Заметим, что на приливными силами, и в течение последующих dτ в начальный момент экзопланета находится на 235,5 тысяч лет (согласно работе [1] 143,3 тысяч значительном расстоянии от звезды и движет лет) останки планеты будут образовывать торо ся по круговой орбите, тогда слагаемым в ле идальное кольцо раскал¨ eнного аккрецирующего га вой части уравнения (7.6), пропорциональным за вокруг WASP 1, плавно падая на поверхность dw /dτ , можно пренебречь. Используя также тре звезды по плотно закрученной спирали. По проше 2 тий обобщ¨ ствии указанного интервала останки экзопланеты eнный закон Кеплера для данной физи ческой системы в виде: полностью погрузятся в тело звезды. 40 Астрономия Таблица 6 Численные значения некоторых вспомогательных параметров расч¨ eтов (объяснения в тексте) 3 3 ω (0), рад/cут ω (0), рад/ сут r(0), км ρ , кг/м ρ , кг/м α x 1 {2,3}- 1 2 Roche 6 -4 0, 2476 2, 4934 550,938 324,793 1,502 5, 795 -10 6, 574 ×-10 ω , рад/cут t , c w (0) w (0) x(0) x(0) Q Q β 0 0 1 {2,3}- ˙ 1 2 -3 -2 -14 6 7 -1 50,7231 1698,71 5,690 10 10 4, 881 -10 4, 916 -10 -5.232 -10 1, 037 -10 25 r, млн. км T , 5 1 24 4 23 22 3 21 2 20 1 0 200 400 600 800 0 200 400 600 800 t, млн. л t, млн. л a б 2.5 3 м о , / T , 3 2 2.0 0 2 1.5 lg r/V), V=1 0 • ( 1 1.0 0.5 0 0 200 400 600 800 0 200 400 600 800 t, млн. л t, млн. л в г Рис. 3. Зависимости от времени: а) астроцентрического расстояния WASP 1b, б) периода обращения WASP 1 вокруг своей оси, в) периодов вращения WASP 1b вокруг своей оси и системы вокруг центра масс, г) радиальной скорости падения WASP 1b (в логарифмическом масштабе) на центральное тело (объяснения в тексте) На рис. 3 а в представлены зависимости Периоды вращательного движения экзопла r(t), T (t), T (t), T (t) от времени t, полученные неты и ее орбитального движения изменяются еще 1 2 3 с использованием системы аналитических исчис более существенным образом - с 2,52 суток до лений Mathematica [10]. Очевидно, что при t 6 9,241 и 9,216 часа соответственно (см. рис. 4.в), 600 млн. лет все переменные меняются крайне сла т.е. искомые величины уменьшились в 6,54 и 6,56 бо и по квазилинейному закону, это объясняется раза. относительно большой удаленностью экзопланеты Существенным образом изменяется и ско от центрального тела и как следствие относитель рость падения экзопланеты за последние 60 млн. 2 ной малостью приливных эффектов. Однако при лет своего существования - более чем в 10 раз и t > 600 млн. лет все зависимости принимают су в момент погружения в тело звезды составит око щественно нелинейный характер и быстро изменя ло 1.1 км/год. ются со временем. 8. Оценка последствий катастрофы Заметим, что в результате эволюции систе На момент падения экзопланеты на поверх мы в течение времени жизни WASP 1b период ность центрального тела угловые скорости всех звезды уменьшается в 1,28 раза, а именно с 25,4 вращательных движений достигают своих макси до 19,77 суток (см. рис. 4.б ). Таким образом, при -6 мальных значений: ω ливные силы оказывают существенное влияние на 1 max = 3, 689 -10 рад/c, -4 2 max 3 max вращение звезды. ω -4 = 1, 889 -10 рад/c, ω = 1, 893 - -10 рад/c. Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета. 2019. №1 (14) 41 Таблица 7 Численные значения искомых параметров WASP 1 после катастрофы (объяснения в тексте) ¯ ε , % ε , % ε , % T , сут ∆Q, Дж M1 R1 ω1 1 -2 -2 37 6.57 -10 2.19 -10 8.32 18.248 4.577 -10 Процесс падения можно рассматривать как Из данных таблицы 7 очевидно, что масса абсолютно неупругий удар, при этом выполняется и радиус звезды меняются незначительно (их от закон сохранения момента импульса: носительные изменения составляют соответствен -2 -2 (s) (s) (r) ¯ (s) но 6.57 -10 % и 2.19 -10 %), однако период вра L L + L + L = , или 1 2 1 щения последней вокруг собственной оси умень шается с 19.77 сут до 18.25 сут (что соответству 2 2 2 2 M R ω + M R ω + 1 1 1 max 2 2 2 max ет относительному изменению угловой скорости - 5 5 8.32%). При этом переходит в тепло огромное ко 2 +M ω α 2 1 2 ¯ 2 ¯ , личество энергии - 4.577 -10 37 Дж! Именно энер R = (M + M ) R ω 1 3 max 1 1 1 1 + α 5 гия такой величины выделяется при взрыве новых 2 звезд. Данная энергия будет затрачена на нагрев M R 1 1 3 ω ⇒-¯ = ¯ 2 1 max + ω αβ + верхних слоев звезды, большая часть которой за ω 2 max 1 (1 + α)M R 1 1 тем будет вынесена электромагнитным излучением в окружающее пространство. В указанный период, , +ω 5 α (8.1) очевидно, светимость звезды существенно возрас 3 max 2 (1 + α) тет, что ознаменует окончание существования эк здесь ¯ 1 - угловая скорость вращения WASP 1 ω зопланеты WASP 1b и демонстрацию редкого аст ¯ после падения WASP 1b, R - ее новый радиус. 1 рономического явления - звездного каннибализ Определим последний параметр из закона сохра ма - поглощения звездой планет из своей пла нения массы вещества бинарной системы: нетной системы. 4 3 4 3 4 3 ¯ ρ πR + ρ πR = ρ , 1 3 1 2 3 2 1 3 πR1 ⇒- Литература 1. Филиппов Ю. П., Ойлер А. П., Бильда ¯ 1 1 β 3 , (8.2) нов С. З. Количественный анализ эволюции систе 3 R = R 1 + 2 x Roche мы WASP 1 c использованием Минимальной мо здесь учтено, что в силу малости параметра α, дели приливного взаимодействия. Оценка оставше средняя плотность звезды не может измениться гося времени жизни WASP 1b // Вестник моло значительно при падении экзопланеты на ее по 3 дых ученых и специалистов Самарского государ верхность и потому ρ =const; ρ /ρ = 2/x . 1 2 1 Roche В итоге угловую скорость ¯ можно представить ственного университета. 2018. №2(13). С. 5-20. ω 1 в виде: 2. Collier Cameron A., Bouchy F., Hebrard G., 1 Maxted P. et al. WASP 1b and WASP 2b: Two new ω [ω + ¯ = 1 max 1 β 3 2/3 transiting exoplanets detected with SuperWASP and (1 + α) 1 + 2 x Roche SOPHIE // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2007. 375. P. 951 957. +ω 3 3 max 5 α (8.3) 3. Charbonneau D., Winn J., Everett M., 2 max αβ + ω . 2 (1 + α) Latham D., Holman M., et al. Precise Radius Определим величину механической энергии, кото Estimates for the Exoplanets WASP 1b and рая перешла в тепло: WASP 2b // The Astrophysical Journal. 2007. 658. 1 2 2 1 2 2 ∆Q = M R ω + M R ω + P. 1322 1327. 1 1 1 max 2 2 2 max 5 5 4. Shporer A., Tamuz O., Zucker S., Mazeh T. -- M R ω (M + M ) R ω + 1 1 2 2 α 1 1 2 ¯ 2 2 Photometric follow up of the transiting planet 1 3 max ¯ = 1 1 2 1 + α 5 WASP 1b // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2007. ω + ω αβ ω = 1 2 2 2 2 + 5 2 α --376. P. 1296. M R 1 1 1 max 2 max 3 max 5 2 (1 + α) 5. Mardling R. M. Long term tidal evolution of short period planets with companions // Mon. Not. 2 ω + ω 3 3 max 5 α  (8.4) Roy. Astron. Soc. 2007. 382. P. 1768. 1 max 2 max αβ + ω 2 (1+α) -- (1 + α) 1 + 2 x β  6. Smith A., Hebb L., Collier Cameron A.,  3 2/3  . Anderson D. et al. SuperWASP search for additional Roche  42 Астрономия transiting planets in 24 known systems // Mon. Not. 11. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Roy. Astron. Soc. 2009. 398. P. 1827. ФИЗМАТЛИТ, 2010. Т. I. Механика. 560 с. 7. Wheatley P., Collier Cameron A., 12. Маркеев А. П. Теоретическая механи Harrington J., Fortney J., et al. The thermal ка. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, emission of the exoplanets WASP 1b and WASP 2b. 2007. 592 с. - 2010. - astro ph.EP:arXiv:1004.0836. - 10p. 13. Jackson B., Greenberg R., Barnes R. Tidal 8. Бутиков Е. И. Физика океанских прили Evolution of Close in Extra Solar Planets // Ap. J. вов в компьютерных моделях. СПб.: СПбГУ, 2007. 2008. 678. 1396 p. 16 с. 14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теорети 9. Выгодский М. Я. Справочник по высшей ческая физика. Теория упругости. М.: Наука, Гл. математике // М.: ACT: Астрель, 2006. 991 с. ред. физ. мат. лит., 1987. 248 с. 10. Дьяконов В. П. Mathematica 5/6/7. Пол 15. Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий ное руководство. М.: ДМК Пресс, 2010. 624 с. курс астрономии. М.: УРСС, 2001. 544 с.
×

About the authors

Jury Petrovich Philippov

Samara University

Email: yuphil@mail.ru
Russia, Samara

Sergey Zyavdatovich Bildanov

Liceum Sozvezdie №131

Email: bildanov@inbox.ru
Russia, Samara

References

  1. Филиппов Ю. П., Ойлер А. П., Бильданов С. З. Количественный анализ эволюции системы "WASP-1" c использованием Минимальной модели приливного взаимодействия. Оценка оставшегося времени жизни WASP-1b // Вестник молодых ученых и специалистов Самарского государственного университета. 2018. №2(13). С. 5-20.
  2. Collier Cameron A., Bouchy F., Hebrard G., Maxted P. et al. WASP-1b and WASP-2b: Two new transiting exoplanets detected with SuperWASP and SOPHIE // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2007. 375. P. 951-957.
  3. Charbonneau D., Winn J., Everett M., Latham D., Holman M., et al. Precise Radius Estimates for the Exoplanets WASP-1b and WASP-2b // The Astrophysical Journal. 2007. 658. P. 1322-1327.
  4. Shporer A., Tamuz O., Zucker S., Mazeh T. Photometric follow-up of the transiting planet WASP-1b // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2007. 376. P. 1296.
  5. Mardling R.-M. Long-term tidal evolution of short-period planets with companions // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2007. 382. P. 1768.
  6. Smith A., Hebb L., Collier Cameron A., Anderson D. et al. SuperWASP search for additional transiting planets in 24 known systems // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2009. 398. P. 1827.
  7. Wheatley P., Collier Cameron A., Harrington J., Fortney J., et al. The thermal emission of the exoplanets WASP-1b and WASP-2b. 2010. astro-ph.EP:arXiv:1004.0836. 10 p.
  8. Бутиков Е. И. Физика океанских приливов в компьютерных моделях. СПб.: СПбГУ, 2007. 16 с.
  9. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике // М.: ACT: Астрель, 2006. 991 с.
  10. Дьяконов В. П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство. М.: ДМК Пресс, 2010. 624 с.
  11. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. Т. I. Механика. 560 с.
  12. Маркеев А. П. Теоретическая механика. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2007. 592 с.
  13. Jackson B., Greenberg R., Barnes R. Tidal Evolution of Close-in Extra-Solar Planets // Ap. J. 2008. 678. 1396 p.
  14. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Теория упругости. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. 248 с.
  15. Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. М.: УРСС, 2001. 544 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2019 Proceedings of young scientists and specialists of the Samara University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Proceedings of young scientists and specialists of the Samara University

ISSN 2782-2982 (Online)

Publisher and founder of the online media, journal: Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

The online media is registered by the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technology and Mass Communications, registration number EL No. FS 77-86495 dated December 29, 2023

Extract from the register of registered media

Regulation of the online media

Editor-in-chief: Andrey B. Prokof'yev, Doctor of Science (Engineering), associate professor,
head of the Department of Aircraft Engine Theory

2 issues a year

0+. Free price. 

Editorial address: building 22a, room 513, Soviet of Young Scientists and Specialists, 1, Academician Pavlov Street, Samara, 443011, Russian Federation.

Address for correspondence: room 513, building 22a, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

Tel.: (846) 334-54-43

e-mail: smuissu@ssau.ru

Domain name: VMUIS.RU (Domain ownership certificate), Internet email address: https://vmuis.ru/smus.

The previous certificate is a printed media, the journal “Bulletin of Young Scientists and Specialists of Samara University”, registered by the Office of the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technologies and Mass Communications in the Samara Region, registration number series PI No. TU63-00921 dated December 27, 2017.

© Samara University

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies