МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО ЛИФТА ПРИ ПОДЪЁМЕ ГРУЗА НА ОРБИТУ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе построена многоточечная модель космического лифта. Трос представлен как совокупность материальных точек, соединённых невесомыми упругими стержнями. Подъёмник и противовес моделируются как материальные точки. С помощью полученной модели проведено исследование влияния движения подъёмника на динамику космического лифта. Установлено, что восхождение подъёмника приводит к возникновению поперечных колебаний в тросе. Проведено сравнение результатов многоточечной модели и ранее опубликованной двухзвенной модели. Показано, что картины колебаний существенно отличаются. В результате движения подъёмника в тросе возникают продольные колебания, которые благодаря воздействию силы инерции Кориолиса приводят к поперечным колебаниям. Двухзвенная модель не позволяет учесть эти явления. Исследовано влияние числа точек на точность получаемого результата.

Полный текст

На сегодняшний день проблема поиска альтернативных способов доставки грузов в космос является актуальной научной зада- чей. Одним из таких способов может стать космический лифт. Идея состоит в том, что- бы протянуть трос от поверхности Земли до космической станции за геостационарной орбитой и доставлять груз в космос на подъ- ёмнике. При этом энергия тратится только на увеличение высоты груза. Увеличение кине- тической энергии груза происходит автома- тически за счёт вращения всей конструкции вместе с Землей. Гравитационные и центро- бежные силы держат конструкцию в натяну- том состоянии [1; 2]. Существует несколько концепций космического лифта [3-5]. Наи- более проработанным является проект, пред- ложенный Bradley Edwards [5]. Данное ис- следование стало широко известным, и поч- image © Ледков А. С., Пикалов Р. С., 2016. Ледков Александр Сергеевич (ledkov@inbox.ru), доцент кафедры теоретической механики; Пикалов Руслан Сергеевич (pickalovrs@gmail.com), аспирант кафедры теоретической механики Самарского университета, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе,34. ти все последующие работы по космическо- му лифту базировались на его концепции. Стоит отметить, что концепция Edwards имеет ряд не до конца проработанных во- просов, в частности почти не затрагиваются вопросы организации систем контроля за со- стоянием оборудования и управления дви- жениями лифта, обеспечивающие живучесть конструкции [6]. Однако эта концепция се- годня остается наиболее проработанной. В исследованиях [6-8] предложена концеп- ция нагруженного космического лифта, оп- ределяющая более реалистичные черты и характеристики лифта. Несмотря на большое количество работ по тематике космического лифта, до сих пор слабоизученным остаётся вопрос моделирова- ния и исследования движения космического лифта с учётом движения подъёмника. Данной проблемой, в разное время, занимался ряд учёных [4-17]. В работах [11-14] было иссле- довано воздействие, оказываемое подъёмни- ком на динамику космического лифта. Уста- новлено, что движение подъёмника приводит к возникновению колебаний лифта, которые не затухают после его остановки. В работах [11; 13] использовались математические моде- ли, в которых трос представлялся в виде стержня. В исследованиях [12; 14-16] по- строены более сложные многоточечные моде- ли. Для исследования поперечных колебаний троса в работах [6-8] использовалась контину- альная модель троса. Результаты [11-14] пока- зывают, что можно снизить или полностью убрать негативное влияние от движения подъ- ёмника. Были предложены разные схемы подъёма, позволяющие в разной степени уменьшить негативное влияние от движения подъёмника. Тем не менее, данная проблема требует дальнейшего изучения. Представленная работа является про- должением наших исследований, где для изучения динамики лифта была предложена двухзвенная математическая модель, в кото- рой трос рассматривался в виде двух нерас- Многоточечная модель лифта Рассмотрим механическую систему пространственного неэкваториального кос- мического лифта (рис. 1). Она состоит из троса, противовеса и подъёмника. Движение происходит в Ньютоновском гравитацион- ном поле. Влияние атмосферы, солнечного ветра, луны и других возмущаемых факторов отсутствует. Трос представим как набор ма- териальных точек, соединённых между со- бой невесомыми упругими стержнями, их число N +1. Масса точек троса, как и пло- щадь поперечного сечения стержней, зави- сит от расстояния до конца. Подъёмник рас- сматривается как материальная точка, дви- жущаяся вдоль троса. Введём системы координат: подвиж- ную вращающуюся вместе с Землёй систему тяжимых стержней переменной длины [18; Oxyz , неподвижную систему Ox0 y0 z0 . Ось 19]. Первый соединял точку закрепления троса и движущийся подъёмник, второй - подъёмник и противовес. Данная модель по- зволяла учитывать изгиб троса, но не учиты- Ox направим по направлению местной вер- тикали, Oz направлена в сторону северного полушария, Oy дополняет систему до пра- вала его упругость. Для получения более полной картины динамики лифта строится вой. Oz0 - направлена по оси вращения Зем- более сложная многоточечная модель кос- ли. Оси Ox0 и Oy0 направлены на непод- мического лифта, учитывающая упругость вижные звёзды и вместе с Oz0 составляют троса. За основу взята математическая мо- дель, предложенная Paul Williams [12]. По- строенная модель может быть использована при моделировании динамики космических тросовых систем при изучении динамики троса. В рамках данной статьи особое вни- мание уделено моделированию влияния подъёмника, вопрос влияния атмосферы и правую систему координат. Начало систем координат в центре Земли, точка O . Уравнения движения точек троса Определим положение j-ой точки троса в системе координат Oxyz с помощью радиус вектора: T нецентральности гравитационного поля ос- тавлен за рамками данной работы. где rj  x j , y j ,z j  j  0,...,N  2 . , (1) image Рис. 1. Многоточечная модель космического лифта Индекс 0 соответствует точке крепления T F g j - сила гравитационного воздействия троса к Земле A: r0  RE ,0,0 , где RE эк- Земли [12]. ваториальный радиус Земли. Индексы 1.N - тросу, N + 1 - противовесу C, N + 2 - подъ- ёмнику В. Движение подвижной системы коорди- нат Oxyz относительно Ox0 y0 z0 , определяется вектором угловой скорости вращения Земли, в системе Oxyz он имеет следующий вид: Распределение массы вдоль троса Конструкция космического лифта предполагает использование троса перемен- ного поперечного сечения, что позволяет минимизировать его массу, обеспечив необ- ходимую прочность. В модели это учитыва- ется тем, что масса сегментов троса разная. Для её определения запишем выражение для ω  E sin ,0,cos T , (2) массы, зависящий от расстояния до конца троса: где E угловая скорость вращения Земли; φ - угол, определяющий широту расположе- ния точки крепления лифта; E и  считаем постоянными. image m s    As  , image где  - средняя плотность материала троса; Абсолютная скорость j-ой точки в под- As функция площади поперечного сече- вижной системе координат будет опреде- ляться по следующей формуле [20]: ния троса, зависящая от расстояния до конца троса [3]. Она определяется по формуле: v j  rj  ω  rj . (3) image   g R  3 R s  R 2  As  Am exp  0 E    R  2 G s  R image  E  2R2  Абсолютное ускорение j-ой точки равно  G  E G  ,(6) a j  rj  ω  rj   2 ω  rj   ω  ω  rj  . (4) где RE экваториальный радиус Земли; Подставляя формулы (1) и (2) пооче- редно в (3) и (4), получим: RG - радиус геостационарной орбиты. Рассмотрим участок троса, представ- ленный на рис. 2. Массу j точки будем опре- делять как интеграл от функции (6), взятый  x j  E y j cos  по параметру s в пределах j  j E j E j  v   y   x cos   z sin   jl j , j  1l j  ,  j  1,N  1 :  z j  E y j sin  ,    x  2 x cos2   2 z cos sin   y cos  m   jl j m s ds,  j  1,N  1 j E j E j E j  a  y  2 y  2  x cos  z sin   j  j1l j ,  j  j E j E j j  z  2 z sin2   2 x cos sin   y sin   j E j E j E j  . где l j  l / N  1 начальная длина одного Используя общее уравнение динамики [20], уравнения движения троса можно запи- сать в следующем виде: сегмента троса после разбиения его на части. Предполагается, что масса рассчитывается для ненагруженного троса, когда его длина соответствует недеформированной длине r  image 1 Fs  Fg   2 ω  r   ω  ω  r  троса l . Масса последнего N -го сегмента m j j j j j j ,(5) троса добавляется к массе противовеса C . За площадь поперечного сечения Aj где s j  1,N , m j масса j-ого сегмента троса; j-ого сегмента троса будем принимать значе- ние площади, вычисленное в центре этого Fj - сила натяжения; сегмента (рис. 2). image Рис.2. Распределение массы троса То есть в формуле (6) будем использовать при деформации троса, и для полноты анали- значение параметра s  jl j  l j / 2 расстоя- за её следует учитывать. Демпфирование пропорционально скорости деформации, вы- ние от точки закрепления троса к Земле до се- редины j сегмента для ненагруженного троса. числяемой как производная по времени от величины деформации (7): Силы, действующие на точки троса Вектор, определяющий смещение j j image  q j  q j точки относительно j 1 , в подвижной сис- q j l j . теме координат Oxyz имеет вид: Суммарная сила натяжения, дейст- j q j  rj  rj1 . вующая на точку, складывается из силы натяжения, действующей на сегмент троса j Удлинение j-ого элемента троса: и j  1 , с учётом знаков будет иметь сле- image image  q j  l j  / l j , image image q j  l j , дующий вид [9]:    j   0, image image q j  l j , (7) F s j  Tj1 image q j1 q j1 q j image  T j q j ,  j  1,N  . (8) где j  1,N  1, а нумерация сегментов начи- нается с 1. Первый сегмент соединяет точку креп- В рамках модели рассматривается цен- тральное Ньютоновское гравитационное по- ле. В этом случае сила гравитационного воз- j ления троса к земле  x0 , y0 ,z0  и первую точ- действия Земли, действующая на троса, будет определяться формулой: точку ку троса  x1 , y1 ,z1  , последний - конечную точку троса  xN , yN ,zN  и противовес image Fg   m j r  xN 1 , yN 1 ,zN 1  . С учетом (6) сила упругости в j эле- j 3 j rj , (9) менте троса будет определяться как: Tj  EAj j  Cj , где первое слагаемое отвечает за упругость, а второе - за демпфирование; E - модуль Юнга для материала троса; C - коэффициент демпфирования. Трение между волокнами в тросе при- где  - гравитационный параметр Земли. Подставляя силы (8) и (9) в систему (5), получим систему дифференциальных урав- нений, описывающую движение троса. Уравнения движения противовеса Движение противовеса будет описы- ваться уравнением: водит к возникновению силы демпфирова- r image  1 Fs  Fg   2 ω  r   ω  ω  r  ния, которая стремится погасить продольные колебания троса. Она неизбежно возникает m C C C C C C , (10) s где FC сила натяжения, действующая со Пусть подъёмник находится на j сег- менте троса (рис. 3). При его движении стороны троса; g вдоль троса происходит деформация послед- FC - сила тяжести. него. Вектора p1 и p2 определяются на ос- нове текущего положения подъёмника в сис- Эти силы определяются формулами: Oxyz p1 j  1 F  T s C N 1 image qN 1 теме ; - соединяет p точку троса qN 1 , и подъёмник, 2 подъёмник и j точку. C Fg   image r mC 3 C rC , Данные вектора можно найти по формулам [12]: p1  rB  rj1. где rC радиус вектор противовеса во вра-  2 p  rj  rB . щающейся системе координат; mC - масса противовеса, которая складыва- ется из массы самого противовеса и массы последнего сегмента троса. Системы (5) и (10) составляют замкну- тую систему дифференциальных уравнений движения космического лифта без учёта подъёмника. Уравнения движения подъёмника Движение подъёмника будет описы- Для определения реакции, силы трения и движущей силы используется нормальная Bnb , спрямляющая Bτb и соприкасающаяся с Bτn плоскостью [12]. При определении данных сил для удобства будем проектиро- вать их на оси естественной системы коор- динат [12] Bτnb (рис. 3). Здесь b - единич- ный вектор бинормали, n - единичный век- тор нормали, τ - единичный вектор каса- тельной, определяются формулами [9]: ваться уравнением: p  p n 1  b  p b  p  b  n b  1 2 , n  B , n  1  2 , τ  image p  p n image image image image image B  b  p b  p  b  n . r  image 1 FN  F f  FP  Fg   2 ω  r   ω  ω  r  1 2 B 2  1 2  m B B B B B B B B ,(11) Подъёмник деформирует j сегмент тро- са, меняя тем самым значение силы натяже- где mB N масса подъёмника; ния на этом участке. Изменённое натяжение FB - сила реакции троса; F f B - сила трения; будет рассчитываться следующим образом: EA FB - движущая сила; image e image 1 image image 2 image j  l P F g B - сила гравитационного воздействия T  m p  p  l j . (12) Земли. Уравнение (11) строится по схеме, предложенной в работе [12]. Это значение предполагается постоян- ным по всему локальному сегменту лифта. image Рис.3. Сегмент троса с подъёмником Формула (12) должна применяться для определения силы натяжения используемых в уравнениях соседних с подъёмником точек троса. Суммарная реакция троса на подъём- ник будет определяться двумя компонентами вектора силы натяжения: ния, действующую на трос со стороны подъ- ёмника. Для этих точек сила натяжения троса будет определяться следующими соотноше- ниями: Fs  T image p2  T image q j  F f  Fg  Fk  Fc  p  n p  n  j e p j q j B B B N 1 2 2 j image image FB  Te  p image image   n p , (16)  1 2  . (13) F s j1  T q j 1 image q j1 j 1 p1 image p  Te 1  F f j1 B B B  Fg  Fk  Fc f f Реакция троса на подъёмник проециру- ется на направление нормального вектора. , (17) Когда напряжение в сегменте равно нулю, где Fj и Fj1 силы трения для j и j  1 реакция отсутствует. Кроме того, реакция точек, которые определяются следующими равна нулю, если вектора p1 и p2 парал- формулами: лельны, то есть сегмент не деформирован. При движении подъёмника возникает image F f   p1 image q j F f сила трения, деформирующая трос. Она дей- j p  p q B ствует по касательной к тросу по направле- нию вектора τ . Отметим тот факт, что в F f   1 2 j image p2 q j 1 , (18) image F f рамках данной работы подъёмник рассмат- ривается только во время движения вдоль троса. В этом случае сила трения определя- j1 p  p q B 1 2 j 1 ется формулой: Отметим, что в отличие от работы [9], в формулах (16) и (17) добавлены силы инер- Fmax  k FB , (14) ции Кориолиса B B  image image B  и центро- N Fk  2m   r с 2 бежная сила инерции FB  mB rB , дейст- где k коэффициент трения между тросом вующие на трос со стороны подъёмника. и подъёмником. Окончательный вид силы трения опре- Собирая 3N уравнений для точек троса и добавляя к ним три уравнения от подъёмни- ка и 3 от противовеса, получим замкнутую деляется формулой: систему из 3(N  2) дифференциальных урав- f FB  sign v B  τ Fmax τ , (15) нений, описывающих динамику космического лифта с учётом движения подъёмника. где vB - вектор относительной скорости Особенности моделирования движения подъёмника движения подъёмника вдоль троса. Сила трения направлена вдоль вектора τ . При подходе подъёмника к j  1 точке величина модуля вектора p1 уменьшается, а 1.6. Уравнения движения соседних с подъёмником точек троса Наличие подъёмника на j сегменте тро- са приводит к необходимости внесения из- менений в уравнения движения соседних с при прохождении через точку он обращается в ноль (рис. 4). Это создаёт проблему, поскольку из формул (13)-(19) видно, что модуль вектора p1 входит в знаменатель, и в этом случае воз- ним j и j  1 точек. Во-первых, следует из- никает неопределённость. Подобная ситуация происходит и после прохождения подъёмника менить выражения для сил натяжения, дей- ствующих на эти точки. Во-вторых, для дан- j  1 точки, в этом случае малой величиной ных точек необходимо добавить силу тре- становится модуль вектора p2 . image image Рис. 4. Подход/отход подъёмника к точкам троса Для решения данной проблемы будем отслеживать подход/отход подъёмника к точкам троса, а также момент выполнения одного из условий: Знак минус выбран из-за того, что вектор p1 направлен в противоположную движению подъёмника сторону. Учитывая введённый кинематический закон, движущая сила подъ- FP imagep1 image   , imagep2 image   , ёмника B может быть определена так: где  - величина, определяемая из требуе-  p   FP  m r (t) 1  FN  F f  Fg   2m ω  r   m ω  ω  r  мой точности расчётов. image p B B  B  .  1  tt B B B B B B B Поменяем вектора p1 и p2 на вспомо- Анализ влияния движения гательные вектора p1н и p2н (рис. 4). Такой подъёмника на динамику лифта подход позволяет избежать появления нулей в знаменателе, а следовательно, и появления ошибок при численном моделировании. Предложенный подход отличает данную мо- Будем рассматривать космический лифт, имеющий следующие параметры: средняя плотность материала троса image   1300 кг/м3, предел прочности дель от работы [12], в рамках которой пред-    ГПа, модуль Юнга E  630 ПА. Длилагалось удалять точки, фактически разбина недеформированного троса вать заново трос при подходе подъёмника к точке троса, что приводит к дополнительным l  1, 44 108 м, максимальная площадь повозмущениям системы за счёт перераспредеперечного mC  30000 сечения Am  10 мм2, ления массы. Это может сильно сказываться на результате при моделировании троса немасса противовеса 30 000 кг, масса подъёмбольшим числом точек. ника    м. mB  1000 кг. Примем величину Кинематический способ задания Для моделирования троса используем движения подъёмника вдоль троса N  10 точек. То есть трос будет разделён на Движение подъёмника в данной работе задается кинематическим законом. В этом случае необходимо заменить уравнения дви- жения подъёмника следующим уравнением: r  r (t) p1 11 сегментов. Начальным положением троса будет его стационарное состояние, которое определено уравнениями (5) и (10) путём подстановки в них первых и вторых произ- водных, которые равны нулю, а также реше- ния получившейся системы относительно image p B B x 1 , j  j  1, N  1 . Для заданных параметров полная масса где rB (t) заданный кинематический закон 3 движения подъёмника вдоль троса. троса составила 1197,110 кг. Полученное значение соответствует значениям, приво- будет равна 1,529 108 м. Временной интер- димым в работе [12]. Отметим, что к массе противовеса добавляется масса последнего сегмента, и при данных параметрах его масса вал моделирования движения составит в обоих случаях 34 дня. Будем рассматривать   0 mC  34790  30000  64790 кг. экваториальный лифт, . В качестве rB (t) будем использовать Для сравнения будет рассчитывать на основание положения подъёмника и проти- закон, использованный в работах [18, 19], согласно которому подъёмник движется с постоянной скоростью 50 м/с. В начале и вовеса в подвижной системе коорди- нат Oxyz , значения углов отклонения от ме- конце восхождения он разгоняется либо стной вертикали: 1 для подъёмника, 2 - тормозится до заданных значений скоростей. для противовеса (рис. 5). На рис. 6-7 приведены графики зави- Сравнение результатов симости углов 1 , 2 от времени t , для мно- с двухзвенной моделью Проведём сравнение результатов, по- лученных с помощью многоточечной модели и модели, описанной в работах [18, 19]. Па- раметры системы выберем одинаковыми, указанными выше. В случае многоточечной модели, стационарному положению лифта соответствует растянутое состояние троса, то есть начальная длина троса будет отличаться от длины используемой в двухзвенной моде- ли. Для сравнения будем использовать раз- готочечной - линия а и двухзвенной [18, 19] - б модели. На рис. 8 приведён график изменения относительной длины троса от времени. Из рис. 6-7 видно, что, с одной сторо- ны, амплитуды колебаний космического лифта в обоих случаях сопоставимы, а с дру- гой, - характер колебаний существенно раз- личается. Различия обусловлены влиянием силы Кориолиса на точки троса, масса кото- рых в рассматриваемом примере существен- биение на N  10 точек, длина троса в на- но превосходит массу противовеса. чальный момент времени для этого случая image Рис. 5. Углы 1 и 1 (пояснения в тексте) image Рис. 6. График изменения угла 1 (пояснения в тексте) image Рис. 7. График изменения угла 2 (пояснения в тексте) image Рис. 8. График изменения относительной длины троса (пояснения в тексте) image Рис.9. График зависимости i N , i  1, 2 от числа N (пояснения в тексте) Из рис. 8 видно, что движение подъём- ника приводит к возникновению продольных колебаний в тросе. Сила Кориолиса перево- дит эти колебания в поперечную плоскость. Двухзвенная модель [18; 19] не учитывает описанные эффекты. Исследование влияния числа точек на колебания космического лифта Исследуем влияния числа точек, ис- пользуемых для моделирования троса, на ко- лебания космического лифта. Для этого рас- смотрим космический лифт с параметрами приведенными выше, варьируя число точек Благодарности троса N  1..20 , с шагом 1. Для сравнения Работа выполнена при поддержке Рос- результатов, для углов 1 , 2 будем вычис- сийского фонда фундаментальных исследо- ваний (15-01-01456 А). лять абсолютную погрешность: t i N   max image1N t   1 N 1 t image, i  1, 2 . Литература Aslanov V. S., Ledkov A. S. Dynam- ics of the tethered satellite system. Cambridge: Wood-head Publishing Limited. 2012. 331 p. Графики зависимости i N , i  1, 2 Белецкий В. В., Левин Е. М. Дина- от величины N представлены на рис. 9, из которого видно, что с ростом числа точек N мика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990. 329 с. Pearson J. The orbital tower: a space- величина i N , i  1, 2 убывает. Данный craft launcher using the Earth's potential ener- рисунок позволяет определить необходимое число точек троса, исходя из требуемой точ- ности расчёта. Неравномерность графиков при малых N указывает на то, что внесение дополнительной точки сильно сказывается на изменении геометрии всей системы. gy // Acta Astronautica. 2010. Vol. 2. № 9-19. P. 785-799. Smitherman D. V. Jr. Space elevator: an advanced Earth - space infrastructure for the millennium. NASA/CP-2000-210429. 2000. 48 p. Заключение В работе построена математическая модель, описывающая динамику космиче- ского лифта с учётом движения подъёмника. Трос был представлен как набор материаль- ных точек, соединенных невесомыми упру- гими стержнями. В модели учтена перемен- ная площадь поперечного сечения троса. Проведено исследование динамики космиче- ского лифта с учётом движения подъёмника. Результаты показывают, что равномер- ное восхождение подъёмника приводит к возникновению поперечных колебаний в тро- се. Было проведено сравнение полученных результатов с полученными нами ранее [18; 19]. Установлено, что амплитуда колебаний в обоих случаях сопоставима, но картина коле- баний отличается. Отличия связаны с упруго- стью троса, которая учитывается в многото- чечной модели. Движение подъёмника при- водит к возникновению продольных колеба- ний в тросе, которые, благодаря воздействию силы инерции Кориолиса, приводят к его рас- качке в поперечном направлении. Исследовано влияние числа точек, ис- пользуемых для моделирования троса, на точность полученных результатов. Получен график зависимости абсолютной погрешно-
×

Об авторах

Александр Сергеевич Ледков

Самарский университет

Email: ledkov@inbox.ru
443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе,34

Руслан Сергеевич Пикалов

Самарский университет

Email: pickalovrs@gmail.com
443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе,34

Список литературы

  1. Aslanov V. S., Ledkov A. S. Dynamics of the tethered satellite system. Cambridge: Wood-head Publishing Limited. 2012. 331 p
  2. Белецкий В. В., Левин Е. М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990. 329 с.
  3. Pearson J. The orbital tower: a spacecraft launcher using the Earth's potential energy // Acta Astronautica. 2010. Vol. 2. № 9-19. P. 785-799.
  4. Smitherman D. V. Jr. Space elevator: an advanced Earth - space infrastructure for the millennium. NASA/CP-2000-210429. 2000. 48 p
  5. Edwards B. C. The space elevator. NIAC Phase Final Report. 2003. 43 p.
  6. Садов Ю. А., Нуралиева А. Б. О концепции нагруженного секционированного космического лифта // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. 2011. № 39. С. 1-24.
  7. Садов Ю. А., Нуралиева А. Б. Нелинейные поперечные колебания троса космического лифта // Математическое моделирование. 2011. Т. 23. № 12. С. 3-19.
  8. Садов Ю. А., Чернов А. В. Исследование равновесных форм гибкого нерастяжимого троса с учётом гравитационных и аэродинамических факторов // Модели и методы обработки информации: сб. ст. М.: МФТИ, 2009. С. 1-4.
  9. Jung W., Mazzoleni A. P., Chung J. Dynamics analysis of a tethered satellite system with a moving mass // Nonlinear Dynamics. 2014. Vol. 75. № 1. P. 267-281.
  10. Kojima H., Sugimoto Y., Furukawa Y. Experimental study on dynamics and control of tethered satellite systems with climber // Acta Astronautica. 2011. Vol. 69. № 1-2. P. 96-108.
  11. Cohen S. S., Misra A. K. The effect of climber transit on the space elevator dynamics // Acta Astronautica. 2009. № 64. № 5-6. P. 538-553.
  12. Williams P. Dynamic multibody modeling for tethered space elevators // Acta Astronautica. 2009. Vol. 65. № 3-4. P. 399-422.
  13. Williams P., Ockels W. Climber motion optimization for the space elevator // Acta Astronautica. 2010. Vol. 66. № 9-10. P. 1485-1467.
  14. Woo P., Misra A. K. Dynamics of partial space elevator with multiple climbers // Acta Astronautica. 2010. Vol. 67. № 7-8. P. 753-763.
  15. Dynamics of space elevator after tether rupture / V. S. Aslanov, A. S. Ledkov, A. K. Misra [et al.] // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2013. Vol. 36. № 4. P. 986-992.
  16. Сазонов В. В. Математическое моделирование развертывания тросовой системы с учётом массы троса // Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша РАН.2006. С. 1-36.
  17. Burov A., Kosenko I. On planar oscillations of a body with a variable mass distribution in an elliptic orbit // Journal of Mechanics Engineering Science. 2011. Vol. 225. № 10. P. 2288-2295.
  18. Ледков А. С, Пикалов Р. С. Исследование влияния движения подьёмника на динамику космического лифта // Наука и Образование. 2014. № 5. С. 206-216.
  19. Пикалов Р. С. Исследование влияния движения подьёмника на динамику неэкваториального космического лифта // Труды МАИ. 2015. № 79. С. 1-16.
  20. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: ЧеРо. 1999. 569 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета, 2016

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета

Сетевое издание, журнал

ISSN 2782-2982 (Online)

Учредитель и издатель сетевого издания, журнала: федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева» (Самарский университет), Московское шоссе, 34, 443086,  Самарская область, г. Самара, Российская Федерация.

Сетевое издание зарегистрировано Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций, регистрационный номер ЭЛ № ФС 77-86495 от 29.12.2023

Выписка из реестра зарегистрированных СМИ

Устав сетевого издания

Главный редактор: Андрей Брониславович Прокофьев, доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой теории двигателей летательных аппаратов

2 выпуска в год

0+. Цена свободная. 

Адрес редакции: 443011, Самарская область, г. Самара, ул. Академика Павлова, д. 1, Совет молодых учёных и специалистов, каб. 513 корпуса 22 а.

Адрес для корреспонденции: 443086, Самарская область, г. Самара, Московское шоссе, 34, Самарский национальный исследовательский университет (Самарский университет), 22а корпус, каб. 513.

Тел: (846) 334-54-43

e-mail: smuissu@ssau.ru

Доменное имя: VMUIS.RU (справка о принадлежности домена)электронный адрес в сети Интернет:  https://vmuis.ru/smus.

Прежнее свидетельство – периодическое печатное издание, журнал «Вестник молодых учёных и специалистов Самарского университета», зарегистрировано Управлением Федеральной службы по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций по Самарской области, регистрационный номер серии ПИ № ТУ63-00921 от 27 декабря 2017 г.

© Самарский университет

 

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах