DISCRETE PROBLEM WITH A "FROZEN" ARGUMENT WITH NEUMANN-TYPE CONDITIONS

Full Text

    УДК 519.624.2, 512.643.5           

ДИСКРЕТНАЯ ЗАДАЧА С «ЗАМОРОЖЕННЫМ» АРГУМЕНТОМ С УСЛОВИЯМИ ТИПА НЕЙМАНА

Е.Е. Читоркин¹, Н.П. Бондаренко²

В статье изучена обратная спектральная задача для конечно-разностной аппроксимации задачи Штурма-Лиувилля с «замороженным» аргументом и условиями Неймана. Рассмотрены вырожденный и невырожденный случаи. Для обоих случаев доказаны теоремы единственности и разработаны конструктивные алгоритмы решения обратных задач. Проведены численные эксперименты, демонстрирующие корректность работы развитых методов на тестовых примерах.

Введение и постановка задачи

Рассмотрим задачу Штурма-Лиувилля с «замороженным» аргументом с условиями типа Неймана:

                                    ,                                                                             (1.1)

                                                       ,                                                                             (1.2)

где  – потенциал (в общем случае комплекснозначная функция),  – спектральный параметр,  – «замороженный аргумент» (действительное число из интервала ).

Перейдём к её конечно-разностной аппроксимации, используя метод замены производных разностными соотношениями. Для этого введём следующую сеточную область:

Получим следующую спектральную задачу:

Упрощая, получим эквивалентную задачу:

                                                                                                                       (1.3)

                                                                                                                             (1.4)

где , . Далее будет показано, что краевая задача (1.3)–(1.4) имеет I собственных значений . Данная статья посвящена изучению следующей обратной задачи.

Обратная задача 1: Даны , необходимо найти .

Теория обратных задач спектрального анализа является динамично развивающейся в настоящее время областью математики. Такие задачи состоят в восстановлении операторов по их спектральным характеристикам и имеют приложения в различных областях естествознания и техники (см. [1]). В последние годы значительное внимание российских и зарубежных исследователей привлекают обратные задачи для функционально-дифференциального уравнения Штурма-Лиувилля с «замороженным» аргументом (1.1) (см. [2-8]). Данное уравнение возникает при моделировании физических систем с внешним воздействием, зависящим от состояния системы в фиксированной точке. Некоторые примеры таких моделей процессов теплопроводности и колебательных систем описаны в [4].

Дискретные задачи с «замороженным» аргументом изучены в значительно меньшей степени, чем непрерывные. В частности, в статье [8] была рассмотрена обратная задача для конечно-разностной аппроксимации (1.3) уравнения (1.1) с краевыми условиями Дирихле.

Цель данной работы – провести исследование задачи с условиями Неймана (1.2). Были рассмотрены два случая: невырожденный, в котором коэффициенты    однозначно определяются по спектру краевой задачи, и вырожденный, в котором для единственности решения обратной задачи требуется априори знать часть коэффициентов. Для обоих случаев доказаны соответствующие теоремы единственности и разработаны конструктивные алгоритмы решения обратных задач. Кроме того, были проведены численные эксперименты, иллюстрирующие применение разработанных методов на тестовых примерах.

Основные результаты

Данный раздел посвящён решению обратной задачи для (1.3)–(1.4). Будем использовать подход, развитый в работе [8].

Определим систему линейно независимых решений разностного уравнения (1.3). Таких решений два, т.к. разностное уравнение имеет второй порядок. Определим сеточные функции  и , для которых верны следующие начальные условия:

                                                                                                       (2.1)

Тогда общее решение уравнения (1.3) можно записать как их линейную комбинацию:

                                                                                                                                 (2.2)

Подставляя условия (2.1) в уравнение (1.3), можно определить значения  и  во всех узлах сеточной области. Например:

                                                                                              (2.3)

Далее для краткости записи будем опускать аргумент  у сеточных функций  и . Подставим (2.2) в (1.3):

                                                                                                                       (2.4)

Данная система (2.4) является однородной и имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю.

                                                                                                       (2.5)

Корни уравнения (2.5) совпадают с собственными значениями задачи (1.3)–(1.4). Тогда характеристический многочлен можно записать в следующем виде:

                                                                                                       (2.6)

Определим его степень. Так как  и , то . Отметим также и тот факт, что  и , из чего следует, что . Таким образом, степень характеристического многочлена (2.6) равна I. Нетрудно показать (аналогично (2.3)), что его старший коэффициент равен 1. Поэтому справедливо следующее разложение:

                                                                                                                                (2.7)

Отметим, что формы записи (2.6) и (2.7) эквивалентны.

Исследуем возможность однозначного восстановления  по известным .

Определим функции  с помощью рекуррентного соотношения:

                                                                                                       (2.8)

В силу определения (2.8) получаем, что

                                                       ,                                                                             (2.9)

где  – многочлены Чебышева второго рода.

Выразим найденные сеточные функции, присутствующие в характеристическом многочлене (2.6), через функции (2.9).

                                                                                                                                         (2.10)

                                                                                                                                       (2.11)

                                                                                                                                      (2.12)

                                                                                                                                  (2.13)

                                                                                                                       (2.14)

                                                                                                                     (2.15)

                                                                                                                     (2.16)

                                                                                                                (2.17)

Подставим (2.10)–(2.17) в (2.6), сразу выделив необходимые для дальнейшей работы слагаемые (аргумент  для удобства будем опускать):

                                                                         (2.18)

Проанализируем выражение (2.18). Коэффициент при  равен -1, коэффициент при  равен . С другой стороны, согласно формулам Виета с учётом того, что коэффициент при старшей степени равен -1, этот же коэффициент равен , откуда

                                                                                                                                    (2.19)

Искать остальные значения потенциала аналогичным образом не имеет смысла, т.к. вычисление коэффициентов уравнений будет иметь высокую вычислительную сложность. Используем альтернативный путь. Попробуем выделить серии значений , в которых будет известно точное значение характеристической функции (2.6). Сделать это можно, приравняв к нулю каждое из его слагаемых. Так как функции  имеют более простой вид, то будем работать с ними.

Первое уравнение примет вид:

                                                                                                                                     (2.20)

Его решение можно записать в виде:

                                                                                                                        (2.21)

Аналогично составим второе уравнение и решим его:

                                                                                                                                  (2.22)

                                                                                                                   (2.23)

Рассмотрим невырожденный случай, т.е. случай, когда уравнения (2.20) и (2.22) имеют непересекающиеся множества решений (2.21) и (2.23). Этот случай имеет место, когда выполнено следующее условие:

                                               ,                                                                            (2.24)

где обозначение (.,.) используется для наибольшего общего делителя двух чисел. Подставим (2.21) в (2.6):

                                                                                                         (2.25)

Выразим неизвестную скобку из (2.25) через известные значения ,  и :

                                                                                                                       (2.26)

Полученный многочлен имеет степень m–1, поэтому его нельзя интерполировать, зная значения в m–1 точке. Однако, выражение (2.26) можно преобразовать к виду, который можно будет интерполировать таким набором точек.

                                                                                                                   (2.27)

Теперь подставим (2.23) в (2.6) и сразу преобразуем функцию к виду, который можно интерполировать:

                                                                                     (2.28)

Используя (2.6) и (2.10)–(2.17), преобразуем данные выражения к следующему виду:

                                                                                                         (2.29)

                                                                                                                       (2.30)

Разложим  по базису :

                                                                                                                                  (2.31)

Приравняем выражения (2.29) и (2.31). Тогда для нахождения  достаточно решить следующую систему:

                                                                                                                               (2.32)

Решая данную систему, получим:

                                                                                                                       (2.33)

Разложим  по базису :

                                                                                                                                   (2.34)

Приравняем (2.30) к (2.34). Тогда для нахождения  достаточно решить следующую систему:

                                                                                                                             (2.35)

Решая данную систему, получим:

                                                                                                                           (2.36)

                                                                                                                   (2.37)

Продолжая делать подстановки, аналогичные (2.36) (2.37), придём к выражению

                                                                                                                            (2.38)

Таким образом, получаем следующий алгоритм решения обратной задачи 1.

Алгоритм 1.

1. Построить , используя (2.6).
2. Найти , используя (2.19).
3. Найти , ,  используя (2.10)–(2.13).
4. Найти и , используя (2.21) и (2.23), и  и , используя (2.27) и (2.28).
5. Интерполировать многочлены и .
6. Найти координаты в базисе , составить систему (2.32) и решить её (например, используя (2.33)).
7. Найти координаты в базисе , составить систему (2.35) и решить её (например, используя (2.36) (2.38)).

Заметим, что данный алгоритм позволяет построить коэффициенты  по произвольным числам , причем построение на каждом шаге однозначно. В результате доказана следующая теорема.

Теорема 1. Если , то решение обратной задачи существует, единственно и может быть найдено с помощью алгоритма 1.

Теперь рассмотрим вырожденный случай, т.е. случай, когда множества решений (2.21) и (2.23) имеют непустое пересечение. Это пересечение можно задать следующей формулой:

                                                                                                                                    (2.39)

где .

Отметим, что (2.39) является общей формулой корней многочлена . Тогда:

                                   ,                                                                            (2.40)

где , .

Пусть  – корни . В вырожденном случае рассмотрим следующую обратную задачу.

Обратная задача 2. Будем считать, что  известны. Даны  Необходимо найти .

Подставим  в (2.40), получим следующее выражение:

                                                                                                                        (2.41)

Тогда для интерполяции годится следующий многочлен, полученный на основании (2.41):

                                                                                                 (2.42)

После интерполяции (2.42) получаем:

                                                                                                                          (2.43)

Применяя к (2.43) соображения, аналогичные исследованию невырожденного случая, получаем следующий результат.

Теорема 2. Если , то решение обратной задачи существует и может быть найдено с помощью описанного алгоритма.

Численный эксперимент

Для подтверждения справедливости сформулированных алгоритмов был проведён численный эксперимент в среде Matlab. Были заданы следующие параметры: I=20, m=10.

Эксперимент проводился в несколько этапов. Сначала задавался некоторый конкретный потенциал. Далее находились  как собственные числа матрицы системы уравнений (1.3)–(1.4). Далее строились необходимые для вычислений функции, находились серии точек  и , после чего находилось разложение определённых функций по требуемому базису с помощью решения СЛАУ. Далее применялись соответствующие формулы отыскания . На графиках (рис.1–2) отражена абсолютная погрешность вычислений при применении описанного метода решения обратной задачи.

Рисунок 1 – погрешность вычислений для исходного потенциала .

Рисунок 2 – погрешность вычислений для исходного потенциала .

Заключение

  В работе проведено исследование обратной спектральной задачи для конечно-разностной аппроксимации (1.3)–(1.4) краевой задачи Штурма-Лиувилля с «замороженным» аргументом и краевыми условиями Неймана (1.1)–(1.2). Полученные результаты для дискретной задачи оказались во многом аналогичны результатам для непрерывной задачи, представленным в [2].  А именно, существуют вырожденный и невырожденный случаи. Условием невырожденности является соотношение (2.24). При выполнении этого условия собственные значения однозначно определяют коэффициенты системы (1.3). Рассмотрен также вырожденный случай, в котором необходимо задавать дополнительную информацию о коэффициентах системы. Для обоих случаев разработаны конструктивные алгоритмы решения обратных задач. Проведены численные эксперименты, подтверждающие корректность работы методов на тестовых примерах.

Полученные результаты могут быть использованы для численного решения обратных спектральных задач для функционально-дифференциального уравнения (1.1) и впоследствии могут быть перенесены на другие типы краевых условий.

About the authors

Egor Chitorkin

Author for correspondence.
Email: egor.chitorckin@yandex.ru
Russian Federation

Natalia Bondarenko

Email: bondarenkonp@info.sgu.ru
Russian Federation

Supplementary files