Spectral analysis of differential operators on graphs

Full Text

Введение

В статье исследуется задача Штурма-Лиувилля на графе-звезде. Рассмотрим следующий граф , состоящий из трёх рёбер и четырёх вершин вида, представленного на рис. 1:

Рис. 1. Топология рассматриваемого графа [1]

Пусть длины всех ребер равняются π, а ассоциированные с ними переменные  изменяются от граничных вершин (  в сторону внутренней , то есть в граничных вершинах , а во внутренней . На каждом ребре  также зададим функции , удовлетворяющие следующим условиям склейки:

Зададим на ребрах графа уравнения Штурма-Лиувилля:

где , ,  – вещественная функция на ребре , именуемая потенциалом,  – спектральный параметр.

Статья посвящена исследованию свойств собственных значений и собственных функций системы уравнений Штурма-Лиувилля (1.4) с краевыми условиями (1.1)-(1.3) при помощи аналитических и численных методов. Дифференциальные операторы на графах, также называемые квантовыми графами, впервые начали применяться химиками для моделирования органических молекул [2]. В настоящее время квантовые графы активно находят приложения и в различных других математических моделях, например, в качестве моделей распространения волн в тонких структурах [3] или малых поперечных колебаний сетки из струн [4]. Свойства оператора Штурма-Лиувилля на графе-звезде исследовались в других работах, но в основном для условий Дирихле или Неймана: так, в частности, в [5] были получены асимптотики собственных значений задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде с условиями Дирихле.

В данной работе доказана теорема об асимптотиках собственных значений задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде с краевыми условиями Дирихле-Неймана (1.1)-(1.3). Кроме того, были разработаны численные методы нахождения собственных значений и собственных функций, а также проведён численный эксперимент с использованием этих методов. В числе используемых подходов в численных методах можно выделить метод Рунге-Кутта четвёртого порядка, метод дихотомии и метод нахождения ядра матрицы при помощи сингулярного разложения.

Постановка задачи

Перейдем к заданию дифференциального оператора на графе. Рассмотрим следующее пространство:

Иначе говоря,  – пространство вектор-функций , где каждая компонента  задана на ребре  принадлежит классу .

Рассмотрим оператор  с областью определения

действующий по правилу

Полученный оператор называется оператором Штурма-Лиувилля на графе.

Здесь под  мы понимаем множество функций  на графе , таких, что каждая компонента  принадлежит соответствующему классу .  определяется следующим образом:

То есть это класс функций, абсолютно непрерывных вместе с первой производной и со второй производной из класса  на отрезке .

Собственными значениями оператора  на графе  называются значения параметра , при которых уравнение

имеет нетривиальные решения , называемые собственными функциями.

Асимптотические формулы для собственных значений

Основным результатом, полученным в ходе проделанной работы, является доказательство следующей теоремы:

Теорема 1. Оператор  имеет счетное множество собственных значений, которые можно занумеровать как  с учетом кратностей, так чтобы для    выполнялись асимптотические формулы

Доказательство данной теоремы в целом подобно доказательству, изложенному в [1], аналогичной теоремы для графа с условиями в граничных вершинах типа Дирихле, так что в настоящей работе оно не будет приведено.

Отметим, что главная часть в формулах (3.1)-(3.3) соответствует собственным значениям оператора  с нулевыми потенциалами, взятыми под знаком квадратного корня, а именно:

Таким образом, члены последовательностей  оператора  с произвольными потенциалами по мере увеличения  оказываются всё ближе к членам последовательности , причём разница между ними убывает как .

Численный метод нахождения собственных значений

Данный раздел посвящен описанию численного метода нахождения собственных значений дифференциального оператора .

Для дальнейшего изложения также потребуются понятия решений типа косинуса и синуса, характеристического определителя.

Общее решение дифференциального уравнения  для фиксированного  имеет следующий вид [1]:

где  – решения типа синуса и косинуса, соответственно, такие, что

Подставляя (4.1) в (1.1)-(1.3), получим однородную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), представимую в следующем матричном виде:

где  –  матрица, элементами которой являются значения функций , , , , а  – вектор-столбец коэффициентов  и . Определитель данной системы обозначим  и будем называть характеристическим определителем. Заметим также, что  может быть вычислен и как определитель матрицы  следующим образом:

Действительно, подставив (4.1) в (1.3) и приняв во внимание (4.2), можно убедиться, что , , и, таким образом, прийти к системе с тремя неизвестными, определитель которой будет соответствовать (4.4).

Численный метод основывается на следующей теореме [1]:

Теорема 2. Собственные значения оператора  на графе совпадают с нулями характеристического определителя .

Таким образом, задача поиска собственных значений оператора  сводится к задаче поиска корней характеристического определителя.

Собственные значения  (и, соответственно, корни характеристического определителя) будем искать на заданном промежутке . Так как отрезок  может содержать внутри себя сразу несколько собственных значений, то разобьём его на несколько более мелких отрезков фиксированной длины  каждый и будем искать по одному собственному значению уже внутри каждого такого отрезка. Значение  следует подбирать таким образом, чтобы предполагаемое расстояние между любыми двумя подряд идущими собственными значениями не было меньше . Для компактности описания алгоритма сделаем предположение о том, что  – целое число.

Перейдем к непосредственно описанию самого алгоритма.

Алгоритм 1.

1) Инициализируем  – множество собственных значений на .

2) Вычисляем  и  по формуле (4.4). Если вычисленные значения имеют различные знаки, то переходим к шагу 3, иначе – к шагу 5.

3) Находим корень  функции  в промежутке  при помощи алгоритма бинарного поиска.

4) Добавляем  во множество : .

5) Если , то  и переходим к шагу 2, иначе завершаем алгоритм.

По окончанию алгоритма множество  будет содержать в себе все найденные на промежутке  собственные значения.

Для поиска корней не является обязательным использование именно алгоритма бинарного поиска – можно использовать любой другой метод поиска корней уравнения нулевого порядка (использование методов более высоких порядков влечёт за собой дополнительные затраты на вычисление производных , так что их применение не рекомендуется).

Для вычисления значений характеристического определителя  необходимо получить значения , , . Для этого рассмотрим для фиксированного  следующее уравнение:

Переходя к эквивалентной системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, получим:

где , . Численно находя решение этой системы, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка, с различным набором начальных условий (соответствующих (4.2)), получим все требуемые значения.

Численный метод поиска собственных функций

Будем искать собственные функции для заданного собственного значения . Так как  – собственное значение оператора , то, согласно теореме 2, . Следовательно, система (4.3) имеет множество нетривиальных решений, которые образуют линейное подпространство в . Очевидно, что каждому такому решению будет соответствовать своя собственная функция. Действительно, отыскав решение нетривиальное системы (4.3), подставим его в (4.1) для каждого ребра. Полученная функция, в силу построения, будет удовлетворять (1.1)-(1.3) и являться собственной для оператора . Таким образом, мы свели задачу нахождения собственной функции для заданного собственного значения к задаче поиска нетривиального решения системы (4.3).

Опишем, наконец, и сам алгоритм поиска собственных функций.

Алгоритм 2.

1) Инициализируем  – множество линейно независимых решений системы (4.3) и зададим некоторое значение .

2) Находим сингулярное разложение матрицы системы (4.3) при заданном :

3) Инициализируем .

4) Если , то добавляем в  соответствующую -ю строку матрицы :

5) Если , то  и переходим к шагу 4, иначе переходим к шагу 6.

6) Находим для каждого ребра решения  и  в виде сеточных функций при помощи метода Рунге-Кутта, как это описано в предыдущем разделе.

7) Поставляем для каждого элемента множества  в соответствие собственную функцию по формуле (4.1) и образуем таким образом множество собственных функций. Конец алгоритма.

По завершению алгоритма мы получим множество собственных функций для заданного собственного значения  в виде сеточных функций.

Выбор значения  обуславливается тем, насколько малым по модулю должно быть значение, чтобы его можно было считать равным нулю. Эмпирически, для чисел с плавающей точкой двойной точности было получено оптимальное значение для этого параметра, равное .

Для уменьшения количества вычислений разумным решением будет рассмотрение вместо матрицы системы    матрицы  следующего вида:

Обоснование возможности перехода к матрице меньшей размерности обсуждалось в предыдущем разделе.

Численный эксперимент

Алгоритмы 1 и 2, описанные в настоящей статье, были реализованы на языке программирования C++ с использованием библиотек Boost.Odeint (метод Рунге-Кутта), Mathter (сингулярное разложение) и Matplot++ (визуализация графиков).  В ходе численного эксперимента были получены последовательности собственных значений на промежутке  и собственные функции для одного из найденных собственных значений трёх графов ( ) со следующими потенциалами:

Первые десять полученных собственных значений представлена в табл. 1.

Табл. 1. Собственные значение графов

По таблице хорошо видно выполнение асимптотических формул (3.1)-(3.3) из теоремы 1. Качественно их выполнение ещё более наглядно можно проследить на рис. 2, где показана зависимость модуль разности между квадратными корнями собственных значений графов  и  от номера .

Рис. 2. Демонстрация выполнения асимптотических формул для графа

Графики компонент собственных функций представлены на рис. 3.

Рис. 3. Графики компонент собственных функций графов (красный), (синий), (зелёный)

На графике хорошо видно выполнение условий (1.1) и (1.3) для всех трёх компонент вектор-функции.

Заключение

В данной работе были изучены спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля на графе-звезде, состоящим из четырёх вершин и трёх рёбер, с условиями в граничных вершинах типа Дирихле-Неймана. Были получены асимптотические формулы для собственных значений рассматриваемого оператора с произвольным потенциалом. На основе полученных формул был сделан вывод о стремлении квадратных корней из собственных значений оператора с произвольным вещественным потенциалом к квадратным корням из собственных значений оператора с нулевым потенциалом. Были разработаны численные методы нахождения собственных значений и собственных функций оператора, которые впоследствии были реализованы на ЭВМ. Был проведен численный эксперимент, демонстрирующий корректность разработанных численных методов и показывающий выполнение доказанных асимптотических формул.

Разработанные алгоритмы могут быть перенесены на графы с отличной от рассматриваемой в данной работе топологией и различными условиями в граничных вершинах.

About the authors

Damir R. Khismatov

Author for correspondence.
Email: hdamir163@gmail.com

студент, институт информатики и кибернетики, 3 курс

References

Supplementary files