A QUANTITATIVE ANALYSIS OF THE EVOLUTION OF THE WASP 1 SYSTEM WITH USING MINIMAL MODEL OF TIDAL INTERACTION. ESTIMATION OF THE WASP 1b LIFETIME

Full Text

Первые попытки поиска планет вне Солнеч ной системы были связаны с наблюдениями за по ложениями ближайших к Солнцу зв¨eзд. Ещ¨e в 1916 году Э. Барнард обнаружил тусклую крас- ную звезду-карлик, которая ¾быстро¿ смещалась по небосводу относительно других зв¨eзд. Астроно мы назвали е¨e Летящей звездой Барнарда. Это одна из ближайших к нам зв¨eзд, масса которой составляет всего лишь M⊙/7 (здесь и далее M⊙ - масса Солнца). Если данная звезда обладала бы планетной системой, то гравитационное влияние на не¨e дочерних массивных планет должно было быть заметным. В 1969 году Питер Ван де Камп объявил [1] научному миру об открытии у этой звезды спут ника с массой, близкой к массе Юпитера. Одна ко последующие наблюдения [2] этой звезды, вы полненные Дж. Гейтвудом, окончательно его убе дили (1973 год) в отсутствии массивных планет у данной звезды. Несмотря на то, что итоговый ре зультат был отрицательным, он стал тем роковым толчком научного сообщества к поиску и исследо ванию планет, не принадлежащих Солнечной си стеме, - экзопланет. В конце 80-х годов ХХ столетия откры лись принципиально новые возможности в изуче 6 Астрономия нии движения ближайших к Солнцу зв¨eзд, в част ности, была радикальным способом усовершенство вана методика определения скорости движения зв¨eзд (основанная на эффекте Доплера) в про странстве, где погрешность определения простран ственной скорости достигла значений V = 10 ÷ 15 м/с. Это позволило фиксировать возмущения в движении зв¨eзд, вызванные небесными телами, масса которых меньше 0, 08 ·M⊙, то есть телами, не являющимися зв¨eздами (коричневые карлики, горячие юпитеры) [3]. Впервые внесолнечная планета была обнару жена [4] в 1988 году канадскими уч¨eными Б. Кэм пбеллом, Г. Уолкером и С. Янгом у оранжевого субгиганта Гамма Цефея A, однако е¨e существова ние долгое время оставалось под вопросом. Лишь в 2003 году этот вопрос наш¨eл положительное ре шение [5]. На начало июля 2018 года обнаружено и подтверждено всего 3798 экзопланет в 2841 пла нетных системах, из которых в 633 имеется более одной планеты. В настоящее время поиск и изуче ние природы экзопланет - одно из приоритетных направлений современной астрофизики. 25 сентября 2006 года международной ко мандой астрофизиков из Франции и Южной Аф рики было объявлено об обнаружении за преде лами Солнечной системы одной из самых горя чих (Teff = 1800 К) и самых быстрых (период обращения планеты равен T (r) = 2, 520 сут) эк зопланет [6]. Открытие сделано в рамках проек та SuperWASP (Wide Angle Search for Planets), ко торый нацелен на поиск экзопланет с использова нием транзитного метода при помощи двух сверх широкоугольных телескопов в широком диапазоне электромагнитных волн, расположенных на Канар ских островах и в Южной Африке. Высокая тем пература поверхности экзопланеты обусловлена ее близостью к материнской звезде, расстояние меж ду ними всего лишь a = 0, 0382 а.е., что более чем в 26 раз меньше большой полуоси Земли. Расстоя ние от Солнца до звезды WASP-1 составляет 1330 световых лет. Эти факты являются главными причинами приливных явлений как на самой звезде, так и на планете, в частности, приливного трения вещества этих тел. Последнее, в свою очередь, приводит к неминуемой потери механической энергии системы и плавному падению экзопланеты на центральное тело. Пров¨eденный обзор литературных источни ков [6-10], посвящ¨eнных исследованию данной эк зопланеты, указал на отсутствие каких-либо иссле дований в отношении эволюции системы WASP-1 в будущем. Также в литературе отсутствует оцен ка оставшегося времени жизни планеты WASP-1b. Регулярные наблюдения системы WASP-1 уже позволили существенно повысить точность определения основных параметров планеты, опре деляющих е¨e динамику. Следовательно, является весьма разумным вычислить время жизни данной экзопланеты, как с уч¨eтом уточн¨eнных данных [11], так и с уч¨eтом эффекта разрушения небес ного тела в полости Роша. В связи со сказанным, главной целью на стоящей работы является количественный анализ эволюции орбиты WASP-1b с использованием Ми нимальной модели приливного взаимодействия и оценка оставшегося времени жизни экзопланеты WASP-1b. 1. Транзитный метод поиска и исследования экзопланет. Наиболее значимые проекты Транзитный метод или метод транзитной фотометрии - это метод обнаружения экзопла нет, основанный на наблюдениях за прохождением экзопланеты по диску центральной звезды. Дан ный метод часто используется совместно с мето дом лучевых скоростей, что помогает определить плотность планеты. Также этот метод позволяет получить информацию о наличии и составе атмо сферы. Следует отметить, что транзитный метод использовался в рамках многих астрофизических проектов, например: Kepler, COROT, SuperWASP, HATNet, TrES и других. Рассмотрим подробнее несколько наиболее значимых проектов. Главным инструментом проекта ¾Kepler¿ является космическая обсерватория НАСА, кото рая оснащена сверхчувствительным фотометром, специально предназначенным для поиска экзопла нет, подобных Земле. Это первый космический ап парат, созданный с такой целью. Обсерватория могла одновременно наблюдать более чем 100 тыс. зв¨eзд. В данный момент она находится в откры том космосе и уже закончила основную програм му исследований, изначально рассчитанную на 3,5 года, по причине непредвиденной поломки 12 мая 2013 года. За три года работы телескопом ¾Кеплер¿ были сделаны важные и даже сенсационные от крытия, например, были обнаружены планеты раз мером с Землю и меньше. К началу 2014 года им было открыто более 3500 кандидатов в планеты, из которых более 1000 оказались подтверждены различными научными группами исследователей. Главными целями проекта ¾Kepler¿ явля лись: 1. Определение доли от всех известных пла нет, находящихся в зоне обитаемости, их возмож ных размеров и форм их орбит. 2. Оценка количества планет, находящихся в мультипланетных системах, и изучение свойств звезд, обладающих планетными системами. 3. Определение областей допустимых значе ний для большой полуоси и эксцентриситета орби ты, яркости, диаметра, массы и плотности корот копериодических планет-гигантов. Основой проекта ¾COROT¿ является косми ческий телескоп, созданный усилиями Националь- ного центра космических исследований Франции. Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 7 Таблица 1 Основные характеристики звезды WASP-1, вычисленные предшественниками по данным е¨e наблюдений τage, 109 лет Teff, 103K R, R⊙ m† V r†, пк Спектральный класс M†, M⊙ 3, 4+1,2 -0,6 6, 20 ± 0, 20 1, 470+0,022 -0,032 (11, 79 ± 0, 21)m 408 ± 27 F7V 1, 24+0,05 -0,07 Примечание: age - текущий возраст звезды, Teff - эффективная температура поверхности звезды; mV - е¨e видимая зв¨eздная величина, r - гелиоцентрическое расстояние до звезды, R - е¨e радиус, M - масса звезды. Главными целями проекта являлись: 1. Открытие новых экзопланет и исследова ние кривых изменения блеска зв¨eзд в результате прохождения перед ними экзопланет. 2. Изучение внутреннего строения зв¨eзд и регистрация изменений их яркости, обусловлен ных акустическими волнами, прошедшими через поверхность зв¨eзд. Данный проект был запущен в 2006 году. С использованием данных наблюдений этого теле скопа можно определить массу, химический состав и возраст звезды. Находясь на орбите, телескоп COROT наблюдал за выбранным участком неба непрерывно в течение 150-ти дней. Дважды в год телескоп поворачивался на 180◦ в плоскости, пер пендикулярной его орбите и перенацеливался на другую область зв¨eздного неба, чтобы начать но вый цикл исследований. Телескоп COROT прора ботал на орбите в два раза больше запланирован ного срока (6 лет вместо 3-х) и был затоплен в Тихом океане летом 2013 года. В результате рабо ты проекта ¾COROT¿ было открыто 24 планетные системы и 25 экзопланет. Проект ¾SuperWASP¿ реализуется c по мощью двух роботизированных обсерваторий: ¾SuperWASP-North¿ в Роке-де-лос-Мучачос на Ка нарских островах и ¾SuperWASP-South¿ в Южно- африканской астрономической обсерватории. Каж дая обсерватория состоит из набора восьми объек тивов Canon 200 mm c f/1,8 и апертурой в 111 мм, оснащ¨eнных панорамными матрицами - прибора ми с зарядовой связью (ПЗС-матрицами). Поле обзора каждого из 8-ми телескопов 7, 8◦ × 7, 8◦. Каждая обсерватория может определить яркость 105 зв¨eзд на площади 450 квадратных градусов. Телескоп непрерывно следит за небом, делая се рию снимков приблизительно раз в минуту, общий объ¨eм данных достигает 100 гигабайтов за ночь. Проект курируется группой телескопов Иса ака Ньютона и шестью научно-исследовательски- ми институтами: Канарским Институтом Астро физики, Килским Университетом, Университетом Лестера, Открытым Университетом, Королевским университетом и Сент-Эндрюсским Университе том. 26 сентября 2006 года было объявлено об от крытии первых экзопланет WASP-1b и WASP-2b, обнаруженных в рамках проекта. На данный мо мент (лето 2018 года) проект SuperWASP обнару жил 157 планетных систем. 2. Основные свойства звезды WASP-1 Звезда WASP-1 находится в созвездии Ан дромеды на расстоянии 1330 световых лет от Земли. Е¨e экваториальные координаты - α∗ = 00h20m40, 08s, δ∗ = 31◦59′24′′. Она является ж¨eлтой звездой главной последовательности спек трального класса F7V. Данная звезда имеет ви димую зв¨eздную величину, равную mV = 11, 79m. Эффективная температура е¨e поверхности равна Teff = 6200 К. Радиус звезды равен R = 1, 47R⊙ (здесь и далее R⊙ - радиус Солнца), а масса со ставляет M⊙ = 1, 24M⊙, (здесь и далее M⊙ - масса Солнца). Атмосфера звезды содержит боль шое количество металлов. Основные характеристи ки звезды WASP-1 [12], вычисленные предшествен никами по данным е¨e наблюдений, представлены в табл. 1. C использованием значений массы Солнца и его среднего времени жизни τ⊙ life = 1010 лет мож но оценить среднее время жизни звезды согласно формуле: τ life = τ⊙ life M⊙ M 2 = 0, 650 · τ⊙ life = 6, 50 · 109 лет. Светимость звезды определим с использованием эффективной температуры и радиуса звезды: L = 4πR2σT 4 eff = L⊙ R R⊙ 2 Teff T⊙ eff 4 = 2, 851 L⊙, где L⊙ = 3, 827 · 1026 Вт - светимость Солнца, T⊙ eff = 5785 K - эффективная температура Солн ца. Как известно, абсолютной визуальной зв¨eздной величиной (MV ) принято называть види мую зв¨eздную величину звезды, которую бы она имела, находясь на расстоянии 10 пк от наблю дателя. Е¨e можно вычислить с использованием видимой зв¨eздной величины mV и расстояния до звезды r: MV = mV + 5 - 5 lg r = 3, 73m. Для оценки мощности излучения звезды во вс¨eм диапазоне электромагнитных волн использу ют болометрическую абсолютную зв¨eздную вели чину (Mb): Mb = MV + Mb. Для спектрального класса F7V величина поправки Mb = -0, 047m, следовательно Mb = 3, 68m. Полагая, что данная звезда имеет форму шара, можно легко вычислить е¨e среднюю 8 Астрономия Таблица 2 Вычисленные в настоящей работе значения искомых параметров звезды WASP-1 τ life, 109 лет L, L⊙ MV Mb ρ, кг/м3 g, м/с2 V(I), км/с V(II), км/с 6,50 2,671 4,299m 4,252m 549,12 157,28 400,88 566,93 Таблица 3 Основные характеристики экзопланеты WASP-1b, вычисленные предшественниками по данным ее наблюдений a,×10-2 а.е. ε T, сут i, град M2, MJ R2, RJ ρ, кг/м3 3, 889+0,053 -0,073 0 2, 5199454± 0, 0000005 90, 0 ± 1, 3 0, 854+0,057 -0,052 1, 483+0,024 -0,034 348+29 -32 массовую плотность в виде: ρ = ρ⊙ M M⊙ R⊙ R 3 = 0, 39 ρ⊙ = 549 кг/м3, где ρ⊙ = M⊙/( 4 3πR3 ⊙) = 1408 кг/м3 - средняя мас совая плотность Солнца. Ускорение свободного падения у поверхно сти звезды представляется в виде: g = GM R2 = g⊙ M M⊙ R⊙ R 2 = 0.574 g⊙ = 157 м/c2, где g⊙ = GM⊙/R2 ⊙ = 274 м/c2, G = 6, 673·10-11 H· ·м2/кг2 - гравитационная постоянная, g⊙ - уско рение свободного падения в фотосфере Солнца. Зная ускорение свободного падения, легко вычис лить первую и вторую космические скорости у по верхности звезды: V (I) = p g R = V (I) ⊙ s M M⊙ R⊙ R = 0, 918 · V (I) ⊙ , V (II) = p 2gR = 0, 918 · V (II) ⊙ , где V (I) ⊙ = p GM⊙/R⊙ = 436, 69 км/с, V (II) p ⊙ = 2GM⊙/R⊙ = 617, 57 км/с - первая и вторая космические скорости Солнца (в е¨e фотосфере). Сводка итоговых значений искомых величин пред ставлена в табл. 2. 3. Основные свойства экзопланеты WASP-1b WASP-1b - это экзопланета, подобная плане там-гигантам Солнечной системы и обнаруженная у звезды WASP-1 в сентябре 2006 года. В литера туре исследователи дали ей альтернативное назва ние ¾Garafia-1¿. Масса WASP-1b составляет M2 = 0, 854MJ, (здесь и далее MJ = 1, 8986 · 1027 кг - масса Юпитера). Из-за близости экзопланеты к материн ской звезде эффективная температура поверхно сти WASP-1b высока и составляет Teff = 1812 K. Радиус планеты составляет R2 = 1, 483RJ (здесь и далее RJ = 6, 9911 · 107 м - радиус Юпитера), а средняя массовая плотность планеты составляет ρ = 348 кг/м3. Значения массы и радиуса планеты указыва ют на то, что она принадлежит к классу планет, называемых горячими Юпитерами. Ускорение сво бодного падения у поверхности WASP-1b составля ет 0, 982 от земного или 9,64 м/c2. Планета движется вокруг центральной звез ды по круговой орбите (эксцентриситет - ε = 0) с большой полуосью a = 3, 889·10-2 а.е., с периодом T = 2, 520 земных суток. Наклонение орбиты экзо планеты близко к значению 90, 0◦. Дата транзита отвечает моменту 2453912, 515 юлианских дней. Далее выполним численный расч¨eт неко торых кинематических параметров экзопланеты WASP-1b. Для этого воспользуемся значениями ос новных параметров экзопланеты, представленны ми в табл. 3. Угловую скорость орбитального движения можно представить в виде: ω = 2π T = ω⊕ T⊕ T = 144, 95 · ω⊕ = 2, 4933 рад/сут, где ω⊕ = 2π T⊕ = 1, 720 · 10-2 рад/сут - угловая ско рость обращения Земли вокруг Солнца. Линейная орбитальная скорость экзоплане ты определяется выражением: V = r GM1 a = V⊕ s M1 M⊙ a⊕ a - = 5, 647 · V⊕, где V⊕ = p GM⊙/a⊕ = 29, 79 км/с - средняя ор битальная скорость Земли. Центростремительное ускорение экзоплане ты можно представить так wc = GM1 R2 = w⊕ c M1 M⊙ a⊕ a -2 = 819, 87 · w⊕ c , где w⊕ c = GM⊙/a2 ⊕ = 5, 931 · 10-3 м/с2 - центро стремительное ускорение Земли в сво¨eм орбиталь ном движении. Наконец, орбитальный момент количества движения экзопланеты равен L = M2 a V = 1, 5869 · 1042 кг· м2/c. Сводка значений вычисленных величин представлена в табл. 4. Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 9 Таблица 4 Вычисленные в настоящей работе значения искомых параметров экзопланеты WASP-1b ω, рад/сут V, км/с wc, м/с2 L, ×1042 кг·м2/с 2,4933 168,22 4,863 1,5869 S a Z N A B E F F r r i b а a S E A r r q ‘ " Рис. 1. К определению: а - приливообразующих сил, вызванных гравитацией Солнца, б - параметров r′ и θ, задающих структуру приливообразующей силы (объяснения в тексте) 4. Основы теории приливного взаимодействия. Его роль в эволюции систем небесных тел На побережьях больших водных бассейнов (морей и океанов) регулярно наблюдаются прили вы и отливы - периодические вертикальные коле бания уровня воды, являющиеся результатом из менения положений Луны и Солнца относительно Земли совместно с эффектами вращения Земли и особенностями данного рельефа. Они проявляются как периодические горизонтальные смещения вод ных масс и называются приливными течениями. Они обусловлены изменяющимися со временем си лами тяготения Луны и Солнца, которые действу ют на земной шар и покрывающие его воды морей и океанов. Для определения физической природы при ливной силы в гравитационном поле рассмотрим систему двух тел: ¾Солнце-Земля¿ (см. рис. 1а). Ради простоты рассуждений будем представлять оба тела однородными шарами с радиусами R⊙ и R⊕ соответственно. Будем полагать, что Зем ля движется по круговой орбите радиуса a⊕. При движении по окружности планета обладает цен тростремительным ускорением w⊕, направленным строго к центру Солнца. Оно обусловлено грави тационным притяжением к Солнцу, то есть ~w⊕ - это ускорение свободного падения Земли на Солн це, явный вид которого определяется вторым зако ном Ньютона, записанным в инерциальной гелио центрической системе отсч¨eта (ИСО): M⊕w⊕ = GM⊙M⊕ a2 ⊕ , ⇒ w⊕ = GM⊙ a2 ⊕ , (4.1) где G = 6, 673 · 10-11 Н·м2/кг2 - универсальная гравитационная постоянная; M⊕ - масса Земли. Для объяснения поведения пробного тела в окрестности Земли рассмотрим его движение в си стеме отсч¨eта, связанной с центром Земли, - в геоцентрической неинерциальной системе отсч¨eта (НСО). Начало координат такой системы движет ся по окружности вокруг центра масс системы ¾Солнце-Земля¿, сама система не вращается и на правления осей координат неизменны по отноше нию к далеким зв¨eздам. По отношению к ИСО все точки НСО дви жутся с одним и тем же ускорением ~w⊕. Это зна чит, что на любое пробное тело массы m в НСО действует сила инерции ~Fi = -m~w⊕, величина и направление которой не зависят от положения те ла на Земле. Если бы тело находилось точно в цен тре Земли, эта сила инерции в точности уравно вешивала бы силу притяжения тела к Солнцу. Сила притяжения к Солнцу ( ~F⊙), действую щая на любое пробное тело, всегда направлена к его центру, а е¨e величина обратно пропорциональ на квадрату расстояния до центра. Если тело не находится в центре Земли (например, находится в точке A, см. рис. 1а), то сила притяжения ~F⊙, за висящая от положения тела, и всюду одинаковая сила инерции ~Fi уже не будут полностью компен сировать друг друга. Результирующую этих двух сил принято называть приливной (или приливооб разующей) силой ( ~F(A) t ) [13]. Сила ~F(A) t в точке A отлична от нуля и направлена к центру Земли (см. рис. 1а). Иными словами, приливная сила - это век торная разность силы гравитационного притяже ния тела к Солнцу в данном месте и силы при тяжения к Солнцу, которую это тело испытывало бы, будучи помещенным в центр Земли, то есть ~Ft = ~Fat - ~F(c) at = - GmM⊙ r3 ~r + GmM⊙ a3 ⊕ ~a⊕. (4.2) Использование последнего определения при вы воде выражения для приливной силы позволяет обойтись без применения НСО и сил инерции. Важно отметить, что в самом общем смысле под приливными силами традиционно понимают силы, которые вызывают эффекты, проявляющие ся при воздействии неоднородного силового поля на протяж¨eнный объект, независимо от того, какое движение он совершает и чем это поле вызвано [14]. Силовое поле может иметь либо гравитаци онную, либо электромагнитную природу. 10 Астрономия Определим явное выражение для вектора приливной силы ~Ft, действующей на пробное тело массы m в точке с радиусом-вектором ~r. Согласно рис. 1б ~r = ~a⊕ +~r ′ ⇒ r = q ~a2 ⊕ +~r ′2 + 2~a⊕~r ′. В данном случае имеет место неравенство r′ ≪ a⊕, следовательно, параметр r можно пред ставить в виде: r ≈ q ~a2 ⊕ + 2~a⊕~r ′ ⇒ r-3 ≈ a-3 ⊕ 1 + 2 ~a⊕~r ′ a2 ⊕ -3 2 ≈ a-3 ⊕ 1 - 3 ~a⊕~r ′ a2 ⊕ . При записи последнего результата было использо вано приближение вида: (1 + x)α ≈ (1 + αx), при x → 0. (4.3) В итоге вектор приливной силы (4.2) можно пред ставить в виде: ~Ft ≈ - GmM⊙ a3 ⊕ ~r ′ - 3~a⊕(~a⊕~r ′) a2 ⊕ . (4.4) Учитывая далее, что ~r′ = r′ ~n ′, ~a⊕ = a⊕~n⊕, ~a⊕ · ~r ′ = a⊕ · r′ cos θ, где ~n⊕, ~n ′ - единичные вектора, определяющие на правления в пространстве векторов ~a⊕ и ~r ′ соот ветственно; θ - угол между векторами ~a⊕ и ~r ′. Введ¨eм переменную вида: x = r′ a⊕ ≪ 1, следова тельно, приливную силу (4.4) можно представить в виде: ~Ft = - GmM⊙ a2 ⊕ x (~n ′ - 3 cos θ · ~n⊕) . (4.5) Удобно представить приливную силу ~Ft в виде двух взаимно перпендикулярных составляющих: ~F(v) t - вертикальной и ~F(h) t - горизонтальной со ставляющей [13]. Вертикальная составляющая все гда коллинеарна вектору ~n′, горизонтальная со ставляющая всегда перпендикулярна последнему. Вектор ~n⊕ можно разложить по двум взаимно пер пендикулярным векторам: ~n′ и ~nθ - единичному вектору, определяющему направление увеличения угла θ, а именно ~n⊕ = cos θ · ~n′ - sin θ · ~nθ, следовательно, данные составляющие можно пред ставить в виде: ~F(v) t = -F0 x ???? 1 - 3 cos2 θ ~n′, (4.6) ~F(h) t = - 3 2 F0 x sin 2θ ~nθ, где F0 = GmM⊙ a2 ⊕ . (4.7) Первый член в правой части выражения (4.6) оди наков при данном r′, и потому он оста¨eтся посто янным даже при уч¨eте суточного вращения Зем ли. Это значит, что к происхождению приливов он не имеет отношения, и в формуле (4.6) его можно опустить. Таким образом, для составляющих при ливной силы можно принять следующие выраже ния: F(v) t = 3 2 F0x cos 2θ, F(h) t = - 3 2 F0x sin 2θ. (4.8) Согласно выражениям (4.8), приливная сила представляет собой вектор, модуль которого 3 2F0x не зависит от угла θ: приливные силы во всех точ ках, лежащих на одинаковых расстояниях от цен тра Земли, одинаковы по модулю и отличаются только направлениями. Очевидно, что приливная сила, действующая на любое тело, прямо пропор циональна расстоянию r′, на которое это тело уда лено от центра планеты, и обратно пропорциональ на третьей степени расстояния a⊕ до небесного те ла - источника приливов. Данная сила также пря мо пропорциональна массе этого источника. Все выше привед¨eнные рассуждения и ре зультаты для приливных сил, создаваемых Солн цем, справедливы и для других бинарных систем, в частности для системы WASP-1 (с соответству ющей заменой параметров). 5. Определение величины статической деформации поверхности тела Вновь рассмотрим физическую систему ¾Солнце - Земля¿ в гипотетической ситуации невращающейся планеты. При этом приливооб разующая сила Солнца практически не зависит от времени. Согласно (4.8), составляющие прилив ной силы определяются гармоническими функци ями от аргумента 2θ, следовательно, они имеют квадрупольный характер действия, то есть на по верхности Земли под действием приливной силы будут возникать два горба и две впадины (как вид но из рис. 2а, система приливных сил стремится растянуть Землю и покрывающую е¨e водную обо лочку вдоль линии Солнце-Земля и сжать е¨e в поперечном направлении). Следовательно, поверх ность Земли, испытывая статическое искажение, должна принимать форму слабо вытянутого эл липсоида вращения, уравнение профиля которого в полярных координатах можно представить в ви де: r(θ) = R⊕ + δR⊕ cos 2θ. (5.1) Здесь δR⊕ - амплитуда статической деформа ции поверхности Земли, удовлетворяющая усло вию δR⊕ ≪ R⊕. В соответствии с уравнением (5.1), искаж¨eнная поверхность образует следую щий угол с горизонтом недеформированной пла неты: α = 1 r dr(θ) dθ ≈ - 2δR⊕ R⊕ sin 2θ. (5.2) Отсюда следует, что поверхность горизонтальна (то есть α = 0◦) при θ = 0◦ и при θ = 90◦ (на гор бах). Угол α максимален и равен (2δR⊕)/R⊕ при θ = 45◦ и при θ = 135◦, где приливная сила имеет горизонтальное направление. В состоянии равнове сия искаж¨eнная приливной силой поверхность пла неты перпендикулярна линии отвеса. Линия отве са направлена вдоль векторной суммы силы само гравитации и приливной силы. Малое отклонение линии отвеса от направления на центр вызвано го ризонтальной составляющей F(h) t приливной силы. Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 11 S Z N A B E r r a ‘ ‘ C X O 1 O 2 j 2 y 1 j 1 E2 E1 а " Рис. 2. К определению а - квадрупольного характера приливообразующих сил, вызванных гравитацией Солнца, б - расстояния между телами и их полярных углов (объяснения в тексте) Поэтому угол α равен отношению F(h) t к Fg = mg. Приравнивая α = 2δR⊕/R⊕ при θ = 45◦ к F(h) t /Fg, получаем значение амплитуды статиче ской деформации поверхности δR⊕ под действием приливообразующей силы звезды: δR⊕ = 1 2 F(h) t mg R⊕ = 3 4 M⊙ M⊕ R⊕ a⊕ 3 R⊕. (5.3) 6. Минимальная модель приливного взаимодействия Рассмотрим физическую систему двух тел (здесь и далее первое тело - звезда WASP-1, вто рое тело - экзопланета WASP-1b) с массами M1 и M2 соответственно (M1 > M2), взаимодейству ющих между собой посредством гравитационных сил. Для описания взаимодействия этих тел и эво люции их движения будем использовать следую щую модель - Минимальную модель приливного взаимодействия. 1. Тело большей массы M1 будем моделиро вать однородным эллипсоидом вращения c полу осями a, b, c, которые представляются в виде: a = R1 + δR1, b = c = R1 - δR1, (6.1) где δR1 - величина статической деформации по верхности первого тела - шара (в отсутствие вто рого тела) радиуса R1, обусловленная действием приливных сил со стороны второго тела и опреде ляемая по аналогии с (5.3) выражением вида: δR1 = 3 4 M2 M1 R1 r 3 R1, (6.2) здесь r = O1O2 - расстояние между центрами дан ных тел (см. рис. 2б ). 2. Выберем декартову систему координат так, чтобы центр масс системы совпадал с нача лом координат, а плоскость OXY - с плоскостью орбит тел. При этом в начальный момент времени данные тела находятся на оси OX. Ось OZ обра зует правый винт с направлением обращения си стемы тел относительно их центра масс. 3. Тело массой M2 будем моделировать ма териальной точкой, движущейся относительно пер вого тела по круговой орбите радиуса r, лежащей в плоскости ОХY, как и экватор первого тела. 4. Орбиты движения тел системы относи тельно центра масс, следовательно, также есть окружности с радиусами R1 и R2 соответствен но. С использованием определения радиуса-векто ра центра масс системы нетрудно установить сле дующую аналитическую связь между этими пара метрами [15]: R1 R2 = M2 M1 = η < 1, при этом R1 + R2 = r. (6.3) Из двух последних уравнений следует, что R1 = η 1 + η r, R2 = 1 1 + η r. (6.4) 5. Координаты центра i-ого тела в данной системе координат определяются радиусом-векто ром ~ri: ~r1 = (R1 cosϕ1,R1 sin ϕ1, 0), ~r2 = (R2 cosϕ2,R2 sin ϕ2, 0), ) где ϕ{1,2} - полярный угол {1, 2}-ого тела (см. рис. 2б ); в случае равномерного движения по окружности данные углы представляются как ϕ2 = ω2t, ϕ1 = ϕ2 +π, где t - время, ω2 = 2π T2 - уг ловая скорость обращения системы относительно центра масс, T2 - соответствующий данному дви жению период обращения. 6. Будем полагать, что первое тело вращает ся вокруг своей оси с периодом T1 (угловой скоро стью ω1 = 2π/T1), а направление вращения образу ет правый винт с осью OZ. Второе тело движется относительно первого в том же направлении с пе риодом T2 (угловой скоростью ω2 = 2π/T2, прич¨eм T1 > T2). 7. Со стороны тела 2 на тело 1 действуют приливные силы, порождающие момент, лишь про екция Mz на ось OZ которого способна изменять период вращения первого тела. Сила гравитацион ного притяжения между телами помимо ньютонов ского слагаемого должна содержать дополнитель ное слагаемое δF, обусловленное слабой сплюсну тостью эллипсоида вращения первого тела. Явные аналитические выражения для M1 и δF будут по лучены в следующем параграфе. 12 Астрономия f M M X Y Z а Dj Dj " # Dj O Рис. 3. К определению а - проекции Mz момента приливной силы; угла запаздывания ϕ в случае б - 0 > 2ω, в - 0 < 2ω (объяснения в тексте) 7. Расч¨eт момента приливной силы и полной силы притяжения слабо сплюснутым эллипсоидом вращения В настоящем параграфе будет выполнен расч¨eт проекции Mz на ось OZ полного момен та приливообразующей силы для слабо вытянуто го эллипсоида вращения и добавочного члена δF к ньютоновскому выражению для силы притяже ния, обусловленных слабой вытянутостью эллипсо ида вращения первого тела. Для вычисления проекции Mz перейд¨eм в систему координат O1X1Y1Z1, ж¨eстко связанную с телом эллипсоида, прич¨eм плоскость O1X1Y1 кото рой совпадает с плоскостью OXY, а начало коор динат совпадает с геометрическим центром эллип соида первого тела. Б´ольшая полуось эллипсоида совпадает с осью ОХ. Положение бесконечно малого элемента те ла эллипсоида объ¨eмом dV и массой dm = ρdV бу дем определять радиусом-вектором ~r1 = (x1, y1, z1) в обобщ¨eнных сферических координатах (˜r1, θ1, φ1) [16] (см. рис. 3а): x1 = ˜r1a cosφ1 sin θ1, y1 = ˜r1b sin φ1 sin θ1, z1 = ˜r1c cos θ1.   (7.1) Прич¨eм элементарный объ¨eм и интервалы допу стимых значений для данных параметров пред ставляются в виде: dV = ˜r2 1 · a · b · c · sin θ1d˜r1dθ1dφ1, 0 6 ˜r1 6 1, 0 6 θ1 6 π, 0 6 φ1 6 2π. Согласно определению элементарный момент d ~M приливной силы d ~Ft, действующей со стороны те ла 2 на элемент массы dm тела 1 относительно точки О, можно записать так d ~M = h ~r1, d ~Ft i = ~i ~j ~k x1 y1 z1 dFt x dFt y dFt z = dMx~i+ +dMy~j + dMz~k, где dMx = y1dFt z - z1dFt y, dMy = -x1dFt z + z1dFt x, dMz = x1dFt y - y1dFt x.   Для явного определения dMz необходимо предста вить в явном виде проекции приливной силы dFt x, dFt y. Согласно результату (4.4) элементарная при ливная сила представляется формулой: d ~Ft = - GdmM2 r3 ~r1 - 3~r(~r ~r1) r2 , (7.2) а е¨e искомые проекции есть dFt x = - GdmM2 r3 [˜r1R1(cos φ1 sin θ1 - 3 cos ϕ× ×sin θ1 cos(φ1 - ϕ)) + δR1 · ˜r1(cos φ1 sin θ1- -3 cos ϕ sin θ1 cos(φ1 + ϕ))] , dFt y = - G · dm·M2 r3 [˜r1R1(sin φ1 sin θ1 - 3 sin ϕ× ×sin θ1 cos(φ1 - ϕ)) - δR1 · ˜r1(sin φ1 sin θ1+ +3 sin ϕ sin θ1 cos(φ1 + ϕ))] . Здесь учтено, что проекции радиуса-вектора тела 2 в системе O1X1Y1Z1 определяются набором ви да: ~r = (r cos ϕ, r sin ϕ, 0). (7.3) Следовательно, z-проекцию момента приливной си лы можно представить в виде: Mz = Z dMz = Z (x1dFy - y1dFx) = J0 + βJ1 + β2J2, где β = δR1 R1 ≪ 1. Факторы J0, J1, J2 представля ются выражениями: J0 = -3 GM2 r3 R21 Z dm˜r2 1 sin2 θ1 cos(φ1 - ϕ) × ×sin(φ1 - ϕ), Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 13 J1 = 3 GM2 r3 R21 Z dm˜r2 1 sin2 θ1 sin 2 ϕ, J2 = GM2 r3 R21 Z dm˜r2 1 sin2 θ1 cos(φ1 + ϕ) × ×sin(φ1 + ϕ). Выполняя громоздкие математические преобразо вания, можно строго показать, что факторы J0 = J2 = 0. Фактор J1 и момент Mz определяется вы ражением вида: J1 = 6 5 GM1M2 r R21 r2 sin 2 ϕ, Mz = βJ1 = 9 10 GM22 r R1 r 5 sin(2 ϕ), (7.4) здесь ϕ - угол между направлением на прилив ной горб и на второе тело, если смотреть из цен тра первого тела. Связь данного параметра с меха нической добротностью Q тела звезды будет опре делена в следующем параграфе. Определим явное выражение для δF. Со гласно работе [17], выражение для силы притя жения внутренней материальной точки с массой m эллипсоидом вращения массой M1 и полуося ми a, b, c можно представить в виде: ~Fat = Fat x~i + Fat y~j + Fat z~k, (7.5) где проекции силы ~Fat записываются так ~Fat {x,y,z} = - 3 2 G mM1 {I1 x, I2 y, I3 z}, (7.6) I1 = Z ∞ 0 ds (a2 + s)R(s) , I2 = I3 = Z ∞ 0 ds (b2 + s)R(s) , R(s) = p (a2 + s)(b2 + s)(c2 + s).   (7.7) Согласно теореме Айвори-Лапласа-Маклоре на [18] можно получить силу притяжения для внешней материальной точки M эллипсоидом вра щения, если произвести замену нижнего предела в интегралах (7.7) вида: 0 → λ, где λ - параметр, удовлетворяющий условию x2 a2 + λ + y2 b2 + λ + z2 b2 + λ = 1. (7.8) Здесь x, y, z - координаты материальной точки M. Полуоси эллипсоида определяются выражени ями (6.1). Будем полагать, что материальная точ ка лежит в плоскости O1X1Y1, положение которой задано радиусом-вектором (7.3). Тогда уравнение (7.8) запишется так r2 cos2 ϕ R2(1 + 2β) + λ + r2 sin2 ϕ R2(1 - 2β) + λ = 1, ⇒ γ2 + γ(2α2 - 1) + (α4 - α2 + 2α2β cos 2 ϕ) = 0, где α = R r , β = δR1 R1 , γ = λ α2r2 . Корни последнего уравнения запишутся в виде: γ1,2 = - 1 2 2 - 1 α2 ± 1 α2 p 1 - 8α2β cos 2 ϕ . Поскольку α < 1, β ≪ 1, то один из корней явля ется отрицательным, и нефизическим. Тогда име ется только один корень, который при помощи ли нейного приближения (4.3) можно представить в виде: γ = 1 α2 - (1 + 2β cos 2 ϕ). (7.9) Далее рассмотрим подынтегральную функцию f1 интеграла I1: f1(s) = 1 (a2 + s)3/2(b2 + s) , а при ν = s α2r2 f1(s) = 1 r5α5((1 + β)2 + ν)3/2((1 - β)2 + ν) . Далее разложим функцию f1 по формуле Макло рена с точностью до линейного члена по парамет ру β: f1(β) ≈ f1(0) + df1 dβ β=0· β. (7.10) В результате f1(β) = 1 r5α5 1 (1 + ν)5/2 - β (1 + ν)7/2 . Переходя в интеграле I1 к переменной ν и вычисляя его с уч¨eтом последнего результата с помощью системы аналитических вычислений Mathematica [19], в итоге получаем: I1 = α2r2 Z ∞ γ f1(ν)dν ≈ 1 r3 2 3 + 2 5 α2(5 cos 2 ϕ - 1)β . Рассмотрим подынтегральную f2 интеграла I2: f2(s) = 1 (a2 + s)1/2(b2 + s)2 = = 1 r5α5((1 + β)2 + ν)1/2((1 - β)2 + ν)2 . Рассуждая аналогично случаю с f1, получаем сле дующие результаты: f2(β) ≈ 1 r5α5 1 (1 + ν)5/2 - 3β (1 + ν)7/2 , I2 = 1 r3 2 3 + 2 5 α2(5 cos 2 ϕ + 3)β . Найд¨eм полную силу притяжения слабо вытянуто го эллипсоида: Fat = q F2 at x + F2 at y + F2 at z = = 3 2 G mM1r q I2 1 cos2 ϕ + I2 2 sin2 ϕ. С использованием полученных результатов и по вторного разложения полученной функции по фор муле Маклорена с точностью до линейного члена по β получаем модуль полной силы притяжения: Fat = G mM1 r2 " 1 + 3 5 R1 r 2 β(1 + 3 cos 2 ϕ) # . (7.11) 14 Астрономия Первое слагаемое в (7.11) есть ньютоновская сила притяжения, а второе слагаемое является поправ кой δF за эллиптичность тела, обусловленную дей ствием приливной силы. Запишем δF в терминах параметров системы: δF = 27 20 GM22 r2 R1 r 5 1 3 + cos 2 ϕ . (7.12) 8. Расч¨eт угла запаздывания ϕ приливного горба В настоящем параграфе будет получено ана литическое выражение для угла запаздывания ϕ приливного горба. Рассмотрим малый элемент пер вого тела (звезды WASP-1) с массой m. Пусть его начальный радиус-вектор был ~r0 и под дей ствием приливной силы ~Ft данный элемент сме стился на вектор ~r = ~r - ~r0. В процессе переме щения его движению препятствует сила сопротив ления среды, которая при малых скоростях опре деляется выражением вида [20]: ~Fd = -κ · ˙~r = -κ · ˙~r, (8.1) здесь κ - коэффициент сопротивления. Кроме то го, перемещение данного элемента приводит к де формациям соседних элементов. При малых де формациях на данный элемент со стороны окру жающей среды действует результирующая сила (аналог силы упругости) давления вида [20]: ~Fp = -k · ~r, (8.2) стремящаяся вернуть данный элемент в исходное положение; здесь k - коэффициент пропорциональ ности, определяемый физическими свойствами сре ды. Следовательно, второй закон Ньютона для данного элемента можно представить в виде: m ¨~r = ~Fd + ~Fp + ~Ft, ⇒ m ¨~r + κ · ˙~r + k · ~r = ~Ft. (8.3) В полярных координатах (r, θ) начальное по ложение элемента в поверхностном слое первого тела можно представить в виде (R1, θ0). Следова тельно, уравнение (7.3) можно записать в проек циях на направление радиуса-вектора: m r¨+ κ · r˙ + k · r = F(v) t ⇒ ¨r + 2γ · ˙ r + 20 · r = F(v) t m , (8.4) где 2γ = κ m , 20 = k m . Очевидно, что 0 определяет частоту собственных колебаний малого элемента (по аналогии с моде лью ¾груз на пружине¿). Здесь и далее F(v) t - радиальная проекция приливной силы, действую щей на малый элемент первого тела. Согласно (4.8) для WASP-1 можно записать вертикальную проекцию приливной силы так F(v) t (R1) = 3 2 F0 R1 r cos(2ωt - 2θ0), (8.5) где ω = (ω2-ω1) - угловая скорость относительно го движения WASP-1b относительно поверхности звезды. В стационарном случае при t = θ0 ω уравне ние (8.4) с уч¨eтом (8.5) запишется так: 20 δR = F(v) t ???? θ0 ω m = 3 2 F0 m R1 r . В итоге уравнение (8.4) представляется в виде: ¨r + 2γ · ˙ r + 20 · r = 20 δRcos (2ωt - 2θ0). (8.6) Согласно общей теории дифференциальных уравнений [21] общее решение неоднородного диф ференциального уравнения второго порядка (8.6) можно представить в виде: r = rодн + rч, где rодн - полное решение соответствующего од нородного дифференциального уравнения; rч - частное решение данного неоднородного диффе ренциального уравнения. Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение: ¨r + 2γ · ˙ r + 20 · r = 0. (8.7) Будем искать решение уравнения в виде: rодн = Ceλ t, здесь параметры λ,C подлежат определению. По сле подстановки последнего результата в (8.7) по лучим уравнение вида: (λ2 + 2γ λ + 20 )Ceλ t = 0, ⇒ λ2 + 2γ λ + 20 = 0. Решение последнего уравнения можно представить в виде: λ± = -γ ± q γ2 - 20 = -γ ± i q 20 - γ2. (8.8) Решение с комплексными корнями является наи более предпочтительным, поскольку, как правило, малые колебания зв¨eздной плазмы характеризуют ся малой диссипацией механической энергии, кото рая достигается в случае γ < 0. Используя фор мулы Эйлера [16] вида: e±iα = cos α ± i sinα, полное решение однородного уравнения можно представить в виде: rодн(t) = e-γ t (C1 · cos ωd t + C2 · sin ωd t) , (8.9) где ωd = p 20 - γ2. Параметры C1,2 определяются из начальных условий. Частное решение уравнений системы (8.6) будем искать в виде (по аналогии со структурой правой части уравнения): rч = Acos(2ωt - 2θ0 - 2 ϕ), (8.10) здесь A - амплитуда, ϕ - начальная фаза, под лежащие определению. Подставим частное реше ние в (8.6) и рассмотрим его в момент времени t0 = (θ0 + π 4 )/ω: -4Aω2 cos ???? π 2 - 2 ϕ - 4Aωγ sin ???? π 2 - 2 ϕ + +A 20 cos ???? π 2 - 2 ϕ = 0 ⇒ Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 15 4ω2 sin 2 ϕ + 4ωγ cos 2 ϕ - 20 sin 2 ϕ = 0, ⇒ tg 2 ϕ = 4ωγ 20 - 4ω2 . (8.11) Рассматривая тоже уравнение в момент времени t0 = θ0/ω, можно найти амплитуду A: A = 20 p δR1 ( 20 - ω2)2 + 4γ2 ω2 . (8.12) Таким образом, полное решение уравнения (8.6) представляется в виде: r = e-γ t (C1 · cos ωd t + C2 · sin ωd t)+ +Acos(2(ωt - θ0 - ϕ)). На больших временных интервалах (103÷106 лет) собственные колебания должны полностью затух нуть и, следовательно, lim t→∞ r = Acos(2(ωt - θ0 - ϕ)). (8.13) Из последнего выражения очевидно, что макси мум (горб) приливной волны находится в точке θmax = ωt - ϕ. Таким образом, горб бежит по поверхности с постоянной угловой скоростью ω и всегда отста¨eт от направления на приливооб разующее тело на угол ϕ. Согласно (8.11) возможны две альтернатив ные ситуации в отношении возможных значений параметра ϕ в случае малой диссипации меха нической энергии (γ ≪ ω, 0). Случай 1. 0 > 2ω, то есть если синодиче ский период приливообразующего тела будет бо лее чем в два раза больше периода собственных колебаний поверхности звезды (TS > 2T0), то со гласно (8.11) ϕ - малая положительная величи на и, следовательно, приливной горб расположен вблизи прямой, соединяющей центры тел системы (см. рис. 3б ). Случай 2. 0 < 2ω, то есть если синодиче ский период приливообразующего тела будет мень ше удвоенного периода собственных колебаний ми рового океана (TS < 2T0), то tg 2 ϕ - малая отри цательная величина (поскольку из физических со ображений 0 6 ϕ 6 π), следовательно ϕ ≈ π/2, и приливной горб расположен вблизи прямой, пер пендикулярной линии, соединяющей центры дан ных тел (в этом месте на поверхности звезды при ливообразующее тело находится почти на горизон те, см. рис. 3в). Важной характеристикой колебательной си стемы, совершающей свободные затухающие коле бания, является добротность колебательной системы Q, определяемая как отношение макси мальной энергии E0, запас¨eнной в колебательной системе, к энергии Ec, теряемой системой за один период колебаний, домноженное на 2π [22]: Q = 2π E0 Ec . (8.14) Энергия системы Ec, теряемая за один период колебаний, равна модулю работы силы трения за тот же промежуток времени. Последняя в слу чае установившихся вынужденных колебаний рав на работе приливной силы за тот же промежуток времени (в силу закона сохранения полной энер гии; здесь и далее ради простоты вычислений бу дем полагать, что θ0 = 0◦ и пренебрегать горизон тальными перемещениями элемента): Ec= |Aтр| = At = Z F(v) t d r = Z F(v) t r˙dt = =-2Dω Z cos 2ωt sin(2ωt - 2 ϕ)dt =-D Z 2π 0 cos x· · sin(x - 2 ϕ)dx = πDsin(2 ϕ), (8.15) где D = m 20 AδR1. Максимальная энергия E0, запас¨eнная в системе, есть положительная рабо та приливной силы. Эта работа положительна при 0 6 2 ϕ 6 π/2 на интервале (2 ϕ, π/2). E0= Z F(v) t | r˙|dt =2Dω Z cos 2ωt sin(2ωt - 2 ϕ)dt = = D Z π/2 2 ϕ cos x sin(x - 2 ϕ)dx= 1 2 D[cos 2 ϕ- - π 2 -2 ϕ - sin 2 ϕ i . (8.16) Рассуждая аналогично в случае, π/2 < 2 ϕ 6 π получаем следующее выражение для энергии E0: E0= 1 2 D h -cos 2 ϕ + π 2 -2 ϕ - sin 2 ϕ i . (8.17) В итоге величина добротности системы Q пред ставляется в виде: Q =   - 1 - ???? π 2 - 2 ϕ tg 2 ϕ tg 2 ϕ , 0 6 ϕ 6 π/4, - -1 + ???? π 2 - 2 ϕ tg 2 ϕ tg 2 ϕ , π/4 < ϕ 6 π/2   . (8.18) В случаях 2 ϕ ≪ 1 и |π - 2 ϕ| ≪ 1 имеем | 1 tg 2 ϕ| ≫ π 2 и тогда Q ≈ ± 1 tg 2δϕ , ⇒ δϕ = ± 1 2 arcctg 1 Q . (8.19) В итоге угол ϕ можно записать в виде: ϕ = ( δϕ sign(ω2z - ω1z), 2|~ω2 - ~ω1| < 0 (π 2 + δϕ)sign(ω2z - ω1z), 2|~ω1 - ~ω2| > 0, ) (8.20) Для зв¨eзд главной последовательности, имею щих горячие Юпитеры, к которым принадлежат WASP-1, согласно [23] добротность принимает зна чение Q1 ∼ 106, ⇒ |δϕ| = 5 · 10-7. Собственную частоту обращения приливной волны по поверхности звезды 0 можно представить так: 0 = Vs R1 , здесь Vs - линейная скорость распространения приливной волны в атмосфере звезды. Учт¨eм, что экзопланета WASP-1b в круговом движении вс¨e время меняет сво¨e положение по отношению к 16 Астрономия звезде. В соответствии с этим меняется вес раз личных частей атмосферы звезды. Давление смеси газов, которое противостоит гравитационному сжа тию тела звезды, не может измениться мгновен но. Перестройка картины распределения давления в атмосфере звезды (а, следовательно, и величина скорости Vs) ограничена скоростью распростране ния упругих продольных волн в газах [24]: Vs = r γ RT M , здесь γ - показатель адиабаты плазмы зв¨eздной атмосферы, T - абсолютная температура атмосфе ры звезды, M - молярная масса плазмы, R = 8, 31 Дж/K·моль - универсальная газовая посто янная. Согласно данным наблюдений эффективная температура поверхности звезды составляет T1 = 6200 К (см. табл. 1). При таких температурах плазма является почти полностью ионизованной. Как известно, возраст звезды невелик (но не ме нее 3,4 млрд. лет), при этом масса звезды близ ка к массе Солнца, следовательно, можно пола гать, что WASP-1 является молодой звездой, где в атмосфере основными компонентами являются водород и гелий в пропорциях (10:1) [25]. Следо вательно, основными компонентами зв¨eздной плаз мы являются протоны, α-частицы (ядра атомов гелия) и электроны. Нетрудно показать, что мо лярная масса водородной плазмы - M = 6, 364 · · 10-4 кг/моль, а показатель адиабаты - γ = 5/3. В итоге Vs = 11, 615 км/c, и 0 = 1, 14·10-5 рад/c. К сожалению, осевой период вращения звез ды не известен, однако из наблюдений определ¨eн спектральный класс и подкласс звезды - F7. По скольку звезда по спектральному классу весьма близка к Солнцу (G2), далее мы будем полагать, что период е¨e вращения равен периоду вращения Солнца вокруг оси - T1 = 25, 38 суток = 2,193· ·106 с. Согласно данным наблюдений (см. табл. 2) T2 = 2, 18 · 105 с. В результате 2|ω2 - ω1| = 5, 2 · · 10-5 с-1 и 2|ω2 - ω1| > 0, следовательно реали зуется второй случай (8.20) и ϕ = π 2 - |δϕ|. 9. Вывод основных уравнений эволюции бинарной системы с использованием динамического подхода Рассматриваемая система двух тел движет ся вокруг общего центра масс. Тело массой M1 участвует в двух видах вращательного движения: 1) вращении вокруг собственной оси (s), 2) обра щении вокруг общего центра масс (r); тело массой M2 участвует в одном движении - обращении во круг общего центра масс (r). Каждому вращательному движению этих тел можно приписать момент количества (МКД). Данная система двух тел является замкнутой, по этому полный МКД должен быть постоянной ве личиной. Поскольку все виды вращательного дви жения выполняются против часовой стрелки отно сительно осей, параллельных оси OZ, то полный МКД системы есть скалярная сумма МКД всех видов движения: Ltot = L(s) 1 + L(r) 1 + L(r) 2 = const1, где L(s) 1 = T1 · ω1, T1 = 2 5 M1R21 , L(r) 1 = M1 · R2 1 · ω2 = M1 · ω2 · η 1 + η 2 · r2, L(r) 2 = M2 · R2 2 · ω2 = M2 · ω2 · 1 1 + η 2 · r2,⇒ L(r) = L(r) 1 + L(r) 2 = M1 ω2 r2 η 1 + η . Взяв производную по времени от левой и правой части, в итоге получим: dLtot dt = dL(s) 1 dt + dL(r) dt = 0. Согласно основному уравнению вращательного движения абсолютно тв¨eрдого тела (или матери альной точки на невесомом стержне) относительно неподвижной оси dL(s) 1 dt = M1z, dL(r) dt = M2z, ⇒ M2z = -M1z, здесь M1z - момент приливной силы (7.4), опре деляющий вращательное движение первого тела; M2z - момент силы, определяющий вращательное движение системы двух тел как целого относи тельно центра масс. Таким образом последние два уравнения можно явно представить в виде: ω˙ 1 = 9 4 Gη2M1 r3 R1 r 3 sin(2|δϕ|), (9.1) (2ω2 r r˙ + r2ω˙ 2) = - 9 10 Gη(1 + η)M1 r × × R1 r 5 sin(2|δϕ|). (9.2) В полученной системе уравнений имеются три пе ременные, которые зависят от времени: ω1, ω2, r, и имеются лишь два независимых дифференциаль ных уравнения. Необходимо их дополнить ещ¨e од ним уравнением. Для его построения воспользу емся вторым законом Ньютона для материальной точки в случае тел 1 и 2. Пусть ~r1 и ~r2 - радиус векторы данных тел в ИСО. Тогда M1 ¨~r1 = -GM1M2(~r1-~r2) |~r1-~r2|3 - δF~nr, M2 ¨~r2 = GM1M2(~r1-~r2) |~r1-~r2|3 + δF~nr  . (9.3) Умножим обе части первого уравнения системы на M2, а второго - на M1 и вычтем из первого урав нения второе, тогда M1M2 (M1 +M2) (¨~r1 - ¨~r2)= - δF~nr+ GM1M2(~r1 -~r2) |~r1-~r2|3 . Перейд¨eм к новой переменной ~r = ~r1 - ~r2, тогда уравнение принимает вид: M1M2 M1 +M2 ¨~r = - GM1M2 ~r |~r|3 - δF~nr, (9.4) Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2018. №2 (13) 17 Радиуc-вектор, скорость и ускорение в полярной системе координат представляются в виде: ~r = r ~nr, ˙~r = ˙ r~nr + r˙~nr = r˙~nr + rϕ˙~nϕ, ~r¨ = (r¨- rϕ˙2)~nr + (2r˙ϕ˙ + rϕ¨)~nϕ. Запишем уравнение (9.4) в проекциях на направление, задаваемое единичным ортом ~nr, с уч¨eтом ϕ˙ 2 = ω2: ¨r - rω2 + GM1(1 + η) r2 = 27 20 Gη(1 + η)M1 r2 R1 r 5 × cos(2|δϕ|) - 1 3 . (9.5) В итоге получена замкнутая система дифференци альных уравнений (9.1), (9.2), (9.5), решая кото рую с уч¨eтом начальных условий, можно получить зависимости r(t), ω1(t), ω2(t). 10. Обезразмеривание и редукция системы уравнений Для успешного решения данной системы уравнений необходимо выполнить предварительно их обезразмеривание и алгебраическую редукцию. Введ¨eм систему безразмерных параметров: w1 = ω1 ω0 , w2 = ω2 ω0 , x = r R1 , τ = t t0 . Тогда уравнение (9.1) можно представить в виде: dw1 dτ = 9 4 GM1t0 R3 1ω0 η2 x 6 sin(2|δϕ|). Потребуем выполнения следующих условий: 9 4 GM1t0 R31 ω0 = 1, ω0t0 = 1 ⇒ ( ω0 = 1 t0 , t0 = R1 r 4 9 R1 GM1 ) . В итоге данное уравнение представляется в виде: dw1 dτ = η2 x 6 sin(2|δϕ|). (10.1) Проводя аналогичные операции над уравнениями (9.2), (9.5), в результате получаем x2 dw2 dτ + 2xw2 dx dτ = - 2 5 (1 + η)η x6 sin(2|δϕ|), (10.2) d2x dτ2 - w22 x + 4 9 (1 + η) x2 = 3 5 (1 + η)η 1 x 7 × × cos(2|δϕ|) - 1 3 . (10.3) Для однозначного решения полученной системы нелинейных связанных дифференциальных урав нений необходимо задать начальные условия (при τ = 0): w1(0) = ω1(0) ω0 , w2(0) = ω2(0) ω0 , x(0) = r(0) R1 , dx dτ (0) = r˙(0) R1  . (10.4) Здесь ω1(0) = 2π/T1, ω2(0) = 2π/T2, r(0) = a. Для определения начального условия для dx dτ восполь зуемся уравнением (10.2). Заметим, что в началь ный момент экзопланета находится на значитель ном расстоянии от звезды и движется по круго вой орбите, тогда слагаемым в левой части уравне ния (10.2), пропорциональным dw2/dτ, можно пре небречь. Используя также третий обобщ¨eнный за кон Кеплера для данной физической системы в ви де: ω2 = r G(M1 +M2) r3 , и выполняя алгебраические преобразования, в ре зультате получаем dx dτ (0) = - 3 10 η√1 + η x11/2 sin(2|δϕ|). (10.5) Решение обезразмеренной системы дифференци альных уравнений (10.1)-(10.3) имеет физический смысл лишь при τ 6 τf, где τf - момент време ни, удовлетворяющий условию x(τf) = 1. Послед нее условие определяет феномен столкновения те ла 2 с телом 1 (в предположении R2 ≪ R1). Здесь и далее будем называть τf - временем падения тела 2 на тело 1. Как известно, если R1 < RRoche, то тело 2 будет разрушено в полости Роша приливными си лами, порожд¨eнными гравитационным полем тела 1 до момента его падения. В силу выше сказанно го, момент времени τRoche, отвечающий попаданию тела 2 в полость Роша, будем называть временем падения тела 2 в полость Роша, созданную те лом 1. Моменту времени τRoche отвечает расстоя ние xRoche = RRoche/R1 = 21/3 3 p ρ1/ρ2, здесь ρ1, ρ2 - средние массовые плотности тел 1 и 2 (при записи последнего выражения использована фор мула для радиуса полости Роша). Следовательно, временем жизни тела 2, будем называть величину, определяемую условием вида: τlife = τRoche, если xRoche > 1, τf, если xRoche < 1 . (10.6) 11. Численные результаты и анализ В настоящем параграфе будут представле ны основные численные результаты и их анализ для системы ¾WASP-1-WASP-1b¿ с использовани ем значений вспомогательных параметров и на чальных условий, представленных в таблице 5. Согласно таблице 5 значение xRoche > 1, то есть полость Роша для WASP-1b лежит вне те ла звезды и, следовательно, время жизни плане ты определяется временем τRoche. Согласно числен ным расчетам в системе Mathematica [19], остав шееся время жизни экзопланеты составляет tlife = 8, 731 · 108 лет. После падения в полость Роша WASP-1b будет скорее всего разорвана приливны ми силами, и в течение последующих 143,3 тысяч лет ¾останки планеты¿ будут образовывать торои дальное кольцо раскал¨eнного аккрецирующего га за вокруг WASP-1, плавно падая на поверхность звезды по плотно закрученной спирали. По проше ствии указанного интервала останки экзопланеты полностью погрузятся в тело звезды. 18 Астрономия Таблица 5 Численные значения некоторых вспомогательных параметров расч¨eтов (объяснения в тексте) ω1(0), рад/cут ω2(0), рад/ сут r(0), км ρ1, кг/м3 ρ2, кг/м3 η xRoche 0, 2476 2, 4934 5, 795 · 106 550,665 347,33 6, 577 × 10-4 1,469 ω0, рад/cут t0, cут w1(0) x(0) ˙x(0) Q 0, 825 1,2124 0, 3 5,668 -8, 738 · 10-13 106 5 4 3 2 1 0 200 400 600 800 a t, млн. л%& r, млн. км 0 200 400 600 800 ! t, млн. л%& 25 20 19 T , ()& 1 24 23 22 21 18 0 200 400 600 800 " t, млн. л%& 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 T , ()& 2 0 200 400 600 800 # t, млн. л%& 4 3 2 1 0 lg r/V), V=1 / ( м *о, 0 • 0 Рис. 4. Зависимости от времени: а - астроцентрического расстояния WASP-1b, б - периода обращения WASP-1 вокруг своей оси, в - периода обращения системы вокруг центра масс, г - радиальной скорости падения WASP-1b (в логарифмическом масштабе) на центральное тело (объяснения в тексте) На рис. 4а-в представлены зависимости r(t), T1(t), T2(t) от времени t, полученные с ис пользованием системы аналитических исчислений Mathematica [19]. Очевидно, что при t 6 800 млн. лет все переменные меняются крайне слабо и по квазилинейному закону, это объясняется относи тельно большой удал¨eнностью экзопланеты от цен трального тела и, как следствие, относительной малостью приливных эффектов. Однако при t > 800 млн. лет все зависимости принимают суще ственно нелинейный характер и быстро изменяют ся со временем. Заметим, что в результате эволюции систе мы в течение времени жизни WASP-1b период звезды уменьшается в 1,4 раза, а именно с 25,4 до 18,1 суток (см. рис. 4б ). Таким образом, при ливные силы оказывают существенное влияние на вращение звезды. Период орбитального движения экзоплане ты изменяется ещ¨e более существенным образом - с 2,52 суток до 4,4 часа (см. рис. 4в), то есть ис комая величина уменьшилась в 13,7 раза. Существенным образом изменяется и ско рость падения экзопланеты за последние 70 млн. лет своего существования - более чем в 103 раз и в момент погружения в тело звезды составит бо лее 12 км/год.

About the authors

Jury Petrovich Philippov

Samara University

Email: yuphil@mail.ru
Samara, Russia

Andrey Pavlovich Oyler

Moscow Physical and Technical Institute (State University)

Email: andrey_oiler@mail.ru
Dolgoprudny, Russia

Sergey Zyavdatovich Bildanov

Liceum "Sozvezdie" № 131

Email: bildanov@inbox.ru
Samara, Russia

References

Supplementary files