THE QUANTITATIVE ANALYSIS OF ORBITS EVOLUTION OF GIANT PLANETS AND TRANS-NEPTUNIAN OBJECTS DURING THE RED GIANT ERA OF THE SUN

Full Text

Как известно, ближайшей к нам звез- дой, основным силовым центром и главным источником энергии Солнечной системы яв- ляется Солнце. Как и любая физическая сис- тема, данное тело в своей эволюции претер- певает ряд значимых стадий (эпох). Кратко их охарактеризуем. Солнце последние 4,57 млрд лет находится в стадии желтого карлика [1], что оз- наменовано непрерывными термоядерными реакциями горения водорода в ядре Солнца. Спустя 7,2 млрд лет (от настоящего времени) Солнце перейдет в стадию оранжевого субгиганта [2, 3]. На данной стадии завершат- ся термоядерные реакции горения остатков во- дорода в ядре, его внешняя оболочка будет расширяться, а ядро - сжиматься и нагревать- ся. Диаметр и светимость Солнца увеличатся, а эффективная температура поверхности упадет. © Филиппов Ю. П., Пивоваров П. С., 2015. Филиппов Юрий Петрович (yuphil@mail.ru), старший преподаватель кафедры общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1; Пивоваров Павел Сергеевич (Zond2010@mail.ru), ученик XI класса Самарского областного лицея, 443016, Россия, г. Самара, ул. Черемшанская, 70. Через 7,6-7,8 млрд лет начнется про- цесс горения водорода в оболочке, окру- жающей солнечное ядро, что ознаменует на- чало стадии красного гиганта Солнца. Звез- да резко увеличит свои размеры и свети- мость. К этому моменту она уже потеряет значительную часть своей настоящей массы (в силу значительных потоков солнечного ветра). Спустя еще 130 млн лет завершится процесс горения гелия в солнечном ядре, что ознаменует начало стадии вторичного рас- ширения красного гиганта Солнца. На дан- ной стадии повторно увеличатся размеры и светимость Солнца. Заключительная стадия эволюции Солнца - стадия белого карлика. На данном этапе Солнце сбросит внешнюю конвектив- ную оболочку, из которой образуется рас- ширяющаяся планетарная туманность. В центре этой туманности останется сформи- рованный из ядра Солнца белый карлик - очень горячий и плотный объект, размером с Землю, который в течение многих миллиар- дов лет будет постепенно остывать и угасать. Вся история эволюции Солнца займет пери- од времени, равный 12,4 млрд лет. В ходе эволюции Солнца, его масса непрерывно уменьшается, что должно приводить к изменению орбит всех тел Солнечной системы [4]. Нами ранее [5] был представлен детальный количественный анализ эволюции орбит планет земной группы и астероидов главного пояса от настоящего момента до стадии белого карлика включительно. Пока- зано, что к началу заключительной стадии из всех планет земной группы имеют шанс на существование в Солнечной системе лишь Земля и Венера. Остальные небесные тела либо покинут Солнечную систему, либо бу- дут уничтожены Солнцем. Количественный анализ эволюции орбит планет-гигантов и транснептуновых объектов (ТНО) был выполнен Сакман [2] и Шродер [3] с коллегами лишь в приближении круговых орбит и при условии сохранения момента ко- личества движения. Мы же уже показывали, что данное приближение является весьма гру- бым, исключающим вариант потери планет Солнечной системой [5]. В этой связи целью настоящей работы является выполнение количественного анали- за эволюции орбит планет-гигантов и круп- ных ТНО в эпоху красного гиганта Солнца в приближении эллиптических орбит. Эволюция орбит тел в приближении нулевого эксцентриситета Рассмотрим движение планеты с мас- сой в гравитационном поле Солнца с массой , которые далее будем представлять материальными точками. Следовательно, для планеты справедлив второй закон Ньютона: (1.1) здесь - гелиоцентрический радиус-вектор планеты, - его модуль, G = 6,67384(80) · 10 -11 Н·м2 / кг2 - гравита- ционная постоянная. Далее рассмотрим частный случай - случай круговой орбиты (когда эксцентриси- тет орбиты ε = 0). Согласно работе [5], ради- ус круговой орбиты планеты можно пред- ставить в виде: (1.2) Заметим, что с изменением массы Солнца на стадии красного гиганта остаются неизменными масса планеты (ее измене- нием можно пренебречь) и ее момент коли- чества движения (МКД) - L. Изменение МКД возможно, если только на планету бу- дет действовать нецентральная сила, которая будет создавать ненулевой момент, или бу- дет изменяться масса планеты. Данные про- цессы в рамках настоящей работы не рас- сматриваются. и Полагая, что и - радиус орбиты планеты и масса Солнца в данный момент времени, а - те же параметры в буду- щий момент времени t, можно записать вы- ражение для радиуса орбиты планеты в ви- де: (1.3) Далее воспользуемся относительным изменением массы Солнца (β), определяемым выражением вида [5]: (1.4) Следовательно, радиус орбиты есть (1.5) Используя модель эволюции Солнца, предложенную в работе Шродера с соав- торами [3], были вычислены радиусы ор- бит планет-гигантов и некоторых ТНО. Численные результаты представлены в табл. 1 и полностью согласуются с резуль- татами работ коллективов ученых под ру- ководством Сакмана и Шродера [2, 3]. Из табл. 1 видно, что уже на стадии первич- ного расширения Солнца - красного ги- ганта, орбиты всех тел увеличатся в 1,49 раза, на стадии вторичного расширения - в 1,83 раза, а на стадии белого карлика - в 1,85 раза по сравнению с настоящими значениями. Но главное - ни одно из рас- сматриваемых тел согласно выбранному приближению не способно покинуть Сол- нечную систему. Таблица 1 Параметры Солнца и радиусы круговых орбит планет-гигантов, планет-карликов и некоторых транснептуновых объектов в разные периоды эволюции Солнца Показатель Возраст, млрд лет 4,58(настоящеевремя) 12,17(стадия красного гиганта Солнца) 12,30(стадия вто- ричного расширения Солнца) 12,38(стадия бе- лого кар- лика Солнца) 1,000 0,668 0,546 0,541 , % 00,0 33,2 45,4 45,95 1 256 149 ≤ 0,1 , а.е. 0,00465 1,19 0,69 0,000465 Планеты-гиганты Радиус орбиты Юпитера, а.е. 5,20427 7,79082 9,53162 9,62862 Радиус орбиты Сатурна, а.е. 9,58202 14,3443 17,5495 17,7281 Радиус орбиты Урана, а.е. 19,1893 28,7264 35,1452 35,5028 Радиус орбиты Нептуна, а.е. 30,0709 45,0163 55,0749 55,6353 Планеты-карлики Радиус орбиты Плутона, а.е. 39,4817 59,1043 72,3108 73,0466 Радиус орбиты Эриды, а.е. 68,0474 101,867 124,629 125,897 Радиус орбиты Макемаке, а.е. 45,7146 68,4351 83,7264 84,5784 Радиус орбиты Хаумеа, а.е. 43,2176 64,6970 79,1531 79,9585 Транснептуновые малые тела Радиус орбиты 2007 OR10, а.е. 66,8473 100,071 122,431 123,677 Радиус орбиты Квавара, а.е. 43,2586 64,7585 79,2283 80,0345 Радиус орбиты Орка, а.е. 39,4597 59,0715 72,2706 73,0060 Радиус орбиты 2002 AW197, а.е. 47,5075 71,1190 87,0100 87,8954 Радиус орбиты Варуны, а.е. 43,1939 64,6615 79,1097 79,9147 Радиус орбиты Иксиона, а.е. 39,4200 59,0120 72,1978 72,9325 Радиус орбиты 2002 UX25, а.е. 42,7210 63,9536 78,2435 79,0397 Эволюция эллиптических орбит планет- гигантов и транснептуновых объектов В предыдущем параграфе был рас- смотрен вопрос эволюции орбит тел внешней части Солнечной системы в приближе- нии круговых орбит. Однако рассмотренный подход является ограниченным, поскольку не учитывает характер движения тела, который определяется его полной механической энергией. Ранее нами была подробно рассмотрена задача об определении большой полуоси и эксцентриситета орбиты произвольного тела Солнечной системы, как функции параметра [5]. Здесь приведем лишь сводку основных полученных резуль- татов, необходимых для решения настоящей задачи. Важным параметром для планеты Сол- нечной системы является критическая масса Солнца () - это значение массы Солнца, при котором полная механическая энергия планеты в гравитационном поле центральной звезды равна нулю, и она навсегда покидает (из перигелия) Солнечную систему, приобретая статус блуждающей планеты. (2.1) Очевидно, что чем больше настоящий эксцентриситет ( ) орбиты, тем больше критическая масса Солнца. Следователь- но, Солнечную систему, прежде всего, должны покидать тела с бóльшими эксцентриситетами. Соответствующее критическое значение параметра представляется в виде: (2.2) Большая полуось и эксцентриситет ор- биты планеты представляются в виде: (2.3) Таблица 2 Большие полуоси орбит (в числителе, а.е.) и эксцентриситеты (в знаменателе) планет-гигантов, планет-карликов и некоторых транснептуновых объектов в разные периоды эволюции Солнца Планета Возраст, млрд лет 4,58(настоящее время) 12,17(стадия красного гиганта Солнца) 12,30(стадия вторич-ного расшире- ния Солнца) 12,38(стадия белого карлика Солнца) Планеты-гиганты Юпитер 5,204270,048775 11,51320,570022 62,53170,920833 83,0320,940379 Сатурн 9,582020,055723 21,56480,580424 136,1820,933559 193,4770,953234 Уран 19,18930,047220 42,29220,567695 222,9260,917986 292,5420,937502 Нептун 30,07090,008678 60,83620,509997 195,3410,847396 222,7850,866194 Планеты-карлики Плутон 39,48170,248808 227,2190,869473 ∞ 1,287190 ∞ 1,310470 Эрида 68,04740,434754 ∞ 1,147840 ∞ 1,627760 ∞ 1,654490 Макемаке 45,71460,155857 143,0970,730326 ∞ 1,116960 ∞ 1,138500 Хаумеа 43,21760,191256 161,3050,783317 ∞ 1,181790 ∞ 1,203990 Транснептуновые малые тела 2007 OR10 66,84730,505846 ∞ 1,254260 ∞ 1,757960 ∞ 1,786020 Квавар 43,25860,034742 92,5880,549015 398,1760,895132 487,8970,914417 Орк 39,45970,218430 175,2270,823997 ∞ 1,231560 ∞ 1,254260 2002 AW197 47,50750,129913 133,9830,691487 ∞ 1,069440 ∞ 1,090500 Варуна 43,19390,051180 96,11960,573623 548,1830,925238 742,8380,944829 Иксион 39,42000,242595 213,5270,860173 ∞ 1,275820 ∞ 1,298970 2002 UX25 42,72100,144600 127,540,713473 ∞ 1,096340 ∞ 1,117670 Результаты и их обсуждение Выполним численный анализ основных аналитических результатов предыдущего параграфа. В табл. 2 представлены значения параметров орбит планет-гигантов, планеткарликов (больших ТНО) и некоторых ма- лых ТНО, вычисленные на начала четырех эпох жизненного цикла Солнца с характер- ным значением его массы. Очевидно, что Солнечная система су- щественным образом меняет свой облик в процессе эволюции Солнца. Уже на стадии красного гиганта большие полуоси планетгигантов увеличиваются в 2-2,3 раза (рис. 1 а), у карликовых планет: у Плутона - в 5,75 раза, Макемаке - в 3,1 раза, у Хау- меи - в 3,73 раза (рис. 2 а). Эрида и ТНО 2007 OR 10 к данному моменту покинут пре- делы Солнечной системы. У малых транснептуновых тел большая полуось орбиты также увеличится в 2,2-5,4 раза. Еще большими темпами растут эксцен- триситеты орбит данных тел (табл. 2 и рис. 1 в, 2 в). Так эксцентриситет орбиты Юпитера к данному моменту увеличится в 11,6 раза, у Сатурна - в 10,4 раза, у Урана - в 12,1 раза, у Нептуна - в 56,7! У планет- карликов эксцентриситет увеличивается в 3,5-4,7 раза. В случае малых ТНО искомая величина возрастает в 2,5-15,7 раза. Здесь отчетливо просматривается одна особен- ность - чем меньше исходное значение экс- центриситета, тем больше он увеличивает- ся на стадии красного гиганта. Спустя 7,72 млрд лет от настоящего времени Солнце испытает повторное расши- рение конвективной оболочки. К этому мо- менту масса центрального тела станет мень- ше критической для большинства рассмат- риваемых тел (см. табл. 2 и 3 для сравнения). Все карликовые планеты, и такие малые ТНО, как 2007 OR10, Орк, 2002 AW197, Иксион, 2002 UX25 покинут пределы Солнечной системы. Во внешней части Солнечной системы останутся лишь планеты-гиганты, Квавар и Варуна. При этом большие полуоси планет-гигантов увеличатся в 6,5-14,2 раза, у малых ТНО 9,2-12,7 раза в сравнение с на- стоящими значениями (табл. 2, рис. 1 б, 2 б); эксцентриситеты орбит планет увеличатся в 16,7-97,4 раза (рис. 1 г, 2 г), а у оставшихся малых ТНО - в 18,2-25,5 раза. Рис. 1. Кривые зависимости большой полуоси (а и б) и эксцентриситета (в и г) орбит планет-гигантов от относительного изменения массы Солнца Рис. 2. Кривые зависимости большой полуоси (а и б) и эксцентриситета (в и г) орбит планет-карликов от относительного изменения массы Солнца Таблица 3 Значения критических параметров для планет-гигантов, планет-карликов и некоторых малых транснептуновых объектов Планета Планеты-гиганты Юпитер 0,524388 47,5613 Сатурн 0,527862 47,2138 Уран 0,523610 47,6390 Нептун 0,504339 49,5661 Планеты-карлики Плутон 0,624404 37,5596 Эрида 0,717377 28,2623 Макемаке 0,577929 42,2071 Хаумеа 0,595628 40,4372 Транснептуновые малые тела 2007 OR10 0,752923 24,7077 Квавар 0,517371 48,2629 Орк 0,609215 39,0785 2002 AW197 0,564957 43,5043 Варуна 0,525590 47,4410 Иксион 0,621298 37,8702 2002 UX25 0,572300 42,7700 На стадии белого карлика (спустя 7,80 млрд лет) во внешней части Солнечной системы останутся из 15 рассматриваемых тел только четыре планеты гиганта и малые ТНО - Квавар и Варуна. Следует отметить, что в ее внутренней части останутся лишь Венера, Зем- ля и, возможно, небольшая часть астероидов главного пояса [5]. На этом этапе завершится эволюция орбит оставшихся тел. Для большей наглядности эволюции орбит и облика Солнеч- ной системы на рис. 3-5 представлены траекто- рии 15 рассматриваемых тел Солнечной систе- мы, сведенных в одну плоскость, на начало че- тырех эпох жизненного цикла Солнца. Рис. 3. Траектории движения планет-гигантов: а) в настоящее время; б) на начало эпохи красного гиганта (спустя 7,59 млрд лет); в) на начало эпохи вторичного расширения красного гиганта (спустя 7,72 млрд лет); г) на начало эпохи белого карлика (спустя 7,80 млрд лет) Рис. 4. Траектории движения планет-карликов: а) в настоящее время; б) на начало эпохи красного гиганта (спустя 7,59 млрд. лет) Рис. 5. Траектории движения малых транснептуновых объектов: а) в настоящее время; б) на начало эпохи красного гиганта (спустя 7,59 млрд лет); в) на начало эпохи вторичного расширения красного гиганта (спустя 7,72 млрд лет); г) на начало эпохи белого карлика (спустя 7,80 млрд лет) Заключение Таким образом, нами рассчитаны зна- чения радиусов круговых орбит планет- гигантов, планет-карликов и малых ТНО Солнечной системы на начала четырех эпох жизненного цикла Солнца. Полученные результаты согласуются с данными из литера- турных источников. Тем не менее, приближение круговых орбит является ограничен- ным, поскольку дает лишь очень грубую картину эволюции орбит и не учитывает ха- рактер движения тела (финитное или инфинитное движение). Главный недостаток дан- ного приближения заключается в том, что ни одно из рассматриваемых тел не способно покинуть Солнечную систему, что не соответствует действительности. Также для тех же тел Солнечной системы на начала тех же эпох вычислены ве- личины больших полуосей и эксцентрисите- тов эллиптических орбит. Показано, что на стадии красного гиганта большие полуоси планет-гигантов увеличиваются в 2-2,3 раза, у большинства карликовых планет - в 3,1- 5,75 раз, у малых ТНО - в 2,2-5,4 раза. Эри- да и 2007 OR 10 к данному моменту покинут пределы Солнечной системы. Еще большими темпами растут эксцентриситеты орбит дан- ных тел. К моменту повторного расширения конвективной оболочки масса Солнца станет меньше критической для большинства рас- сматриваемых тел, и потому все карликовые планеты, в том числе 2007 OR10, Орк, 2002 AW197, Иксион, 2002 UX25, уйдут в меж- звездное пространство. На стадии белого карлика (спустя 7,80 млрд лет) во внешней части Солнечной системы останутся из 15 рассматриваемых тел только четыре плане- ты-гиганта и два малых ТНО - Квавар и Ва- руна. Вместе с Венерой и Землей и, возмож- но, небольшой частью астероидов главного пояса эти тела будут составлять остаток Солнечной системы, завершившей свою «звездную» эволюцию.

About the authors

Yury Petrovich Philippov

Samara State University

Email: yuphil@mail.ru
443011, Russia, Samara, Academic Pavlov Str., 1

Pavel Sergeevich Pivovarov

Samara Regional Lyceum

Email: Zond2010@mail.ru
443016, Russia, Samara, Cheremshanskaya Str., 70

References

Supplementary files