ATTITUDE ESTIMATION USING KALMAN FILTERING FOR SMALL SATELLITE WITH ATTITUDE CONTROL

Full Text

В настоящее время фильтр Калмана (ФК) является одним из основных направлений исследований в рамках задач определения ориентации. ФК применяется для оценивания требуемых параметров движения по ряду зашумленных измерений, используя математические модели движения и измерений. Для определения параметров углового движения МКА (кватерниона и угловых скоростей) в данной статье используется кубатурный ФК (CKF). В [1] решение одной и той же задачи определения ориентации спутника рассматривается с помощью расширенного ФК (EKF), CKF и сигма-точечного ФК (UKF). Согласно результатам численного моделирования, приведённым в [1] можно сделать вывод, что CKF является компромиссом между вычислительной сложностью и точностью аппроксимации мат. моделей. Также ФК хорошо справляется с шумами и неточностями построения моделей движения и измерений, что позволяет его использовать в том числе для определения ориентации МКА при управляемом угловом движении. В данной работе будут рассмотрены основные этапы построения такого алгоритма на основе кубатурного ФК, приведены результаты численного моделирования работы полученного алгоритма, а также затронута проблема его первоначальной настройки.

Постановка задачи определения ориентации

В рамках решения задачи определения ориентации использованы три основных системы координат (СК):

OXYZ – инерциальная СК (ИСК): ось Z сонаправлена оси вращения Земли, ось X направлена в точку весеннего равноденствия, ось Y дополняет систему до правой, центр СК лежит в центре масс Земли;

oxyz – орбитальная СК (ОСК): ось x сонаправлена вектору орбитальной скорости МКА, ось z сонаправлена орту местной вертикали, ось y дополняет СК до правой, центр лежит в центре масс МКА;

ox_by_bz_b – связанная СК (ССК): центр лежит в центре масс МКА, оси жёстко связаны с главными центральными осями инерции (центробежные моменты инерции равны нулю).

Между ОСК и ССК, а также между ИСК и ОСК заданы матрицы перехода A_orb2b и A_in2orb соответственно. Задачей алгоритма будет являться оценка компонент матрицы A_orb2b по ряду зашумлённых измерений, состав и математическая модель которых будут описаны ниже.

Математические модели

Математическая модель углового движения МКА описана с помощью системы динамических уравнений Эйлера (с учетом аэродинамического и гравитационного моментов внешних сил):

, (1)

где – вектор угловой скорости в ССК; – вектор аэродинамического момента; – вектор гравитационного момента; – вектор управляющего момента; I – тензор инерции МКА.

Систему уравнений (1) дополняют кинематические соотношения в виде уравнений Пуассона в кватернионной форме:

, (2)

где – кватернион углового положения МКА в ОСК; – кватернион угловой скорости в ОСК; – операция кватернионного умножения.

Предполагается, что в состав измерительных средств входят 6 датчиков освещённости TCS3472 и один трёхосевой магнитометр MMC5883MA. Модель измерений датчиков освещённости описана с помощью модели положения Солнца в ИСК VSOP [2]:

, (3)

где – максимальное напряжение на поверхности датчика; – матрица расположения датчиков; – вектор направления на Солнце в ОСК.

Модель измерения магнитометра основана на модели магнитного поля Земли IGRF [3]:

, (4)

где – калибровочная матрица; – смещение нуля магнитометра; – величина индукции МПЗ в ССК согласно IGRF.

Кубатурный фильтр Калмана

Фильтр Калмана (ФК) является одним из самых эффективных рекурсивных фильтров, позволяя оценивать множество параметров динамических систем по ряду зашумленных измерений. Существует множество реализаций фильтра: расширенный ФК (EKF), сигма-точечный ФК (UKF), кубатурный ФК (CKF) и многие другие. В данной работе рассматривается именно CKF, поскольку его использование является компромиссом между вычислительной сложностью фильтра и точностью аппроксимации. В качестве вектора оцениваемых параметров будут выступать векторная часть кватерниона и вектор угловой скорости в ОСК.

Фильтр работает в два этапа: прогноз и коррекция. На этапе прогноза вычисляется априорная оценка для ковариационной матрицы с помощью разложения Холецкого и вычисляются сигма-векторы:

; (5)

; (6)

, (7)

где – априорная оценка вектора оцениваемых параметров; n – размерность вектора оцениваемых параметров; i – i-й столбец матрицы ; – масштабный параметр.

На основе полученных сигма-векторов вычисляются прогнозные значения, затем прогноз вектора состояния и априорной ковариационной матрицы:

, (8)

, (9)

, (10)

где – ковариационная матрица шума процесса; f – нелинейная вектор-функция, определяемая уравнениями (1) – (2).

Далее на этапе коррекции опять вычисляется разложение и вычисление сигма-векторов:

; (11)

; (12)

. (13)

Вычисляется прогнозная оценка вектора измерений , оценку ковариации невязки измерений и оценку кросс-ковариации :

, (14)

, (15)

, (16)

, (17)

где – ковариационная матрица шума модели измерений; h – нелинейная вектор-функция, определяемая уравнениями (3) – (4).

В конце вычисляется оценка вектора состояния и ковариация ошибки оценивания:

, (18)

, (19)

где – вектор измерений; – оценка коэффициента обратной связи.

Результаты численного моделирования

Моделирование производилось для МКА формата кубсат 3U с высотой орбиты 400 км и наклонением 51,64°. В качестве управляющего момента здесь был учтен управляющий момент трех взаимно ортогональных маховиков:

, (20)

где – кинетический момент маховиков.

Маховичное управление подобрано таким образом, чтобы обеспечить неподвижное положение МКА в ССК в течение требуемого времени.

Также был добавлен дополнительный момент внешних сил, сопоставимый по амплитуде с аэродинамическим моментом. Была произведена первоначальная настройка [4] фильтра, в результате которой получены следующие приближения ковариационных матриц:

, (21)

, (22)

, (23)

, (24)

, (25)

, (26)

Результаты численного моделирования для компонент вектора угловой скорости представлены на графиках рис. 1 – 3. Нетрудно заметить, что на участке включения управления в 4000 с наблюдается сильное расхождение между истинным значением угловой скорости и оценкой ФК, однако, с течением времени, фильтр сходится к искомому значению. После выключения управления в 6000 с фильтр работает стабильно.

Рисунок 1 – компонента ω_x вектора угловой скорости

Рисунок 2 – компонента ω_y вектора угловой скорости

Рисунок 3 – компонента ω_z вектора угловой скорости

Заключение

В данной статье изложены основные этапы построения алгоритма определения ориентации МКА на основе CKF по измерениям магнитометра и датчиков освещённости. В ходе численного моделирования показано, что в момент включения управления наблюдается большое расхождение между истинными значениями вектора оцениваемых параметров и оценкой ФК.

About the authors

Lyudmila Selezneva

Author for correspondence.
Email: selezneva.l.a.mail@gmail.com
Russian Federation

References

Supplementary files