A METHOD OF A DAILY DRIFT OF THE CELESTIAL BODIES. I. A DETERMINATION OF ANGLE VALUES OF THE CLASSICAL PLANETS OF SOLAR SYSTEM USING ASTRONOMICAL TOOLS AVAILABLE TO THE AMATEUR ASTRONOMER

Full Text

Видимая часть Вселенной, доступная в на блюдениях человечеству, является очень сложной физической системой, где протекает огромное ко личество физико-химических процессов, происхо дит множество различных феноменов, за которы ми невозможно детально проследить и изучить да же с помощью всех инструментов всех наземных и космических обсерваторий мира. Особо трудно поддаются обнаружению и исследованию быстро протекающие процессы и явления [1], например, вспышки метеоров и болидов в атмосфере Земли, сближение астероидов с Земл¨eй, падение астерои дов и комет на Солнце, классические планеты и их спутники, вспышки новых и сверхновых зв¨eзд и др. В связи с такой ¾ускользаемостью¿ этих процессов и явлений от астрономов-профессио- налов весьма важный вклад в изучение космоса вносят наблюдения астрономов-любителей. Чтобы оценить роль любительской астрономии в науке, достаточно вспомнить несколько открытий, сде ланных астрономами-любителями. Например, от крытие третьей по величине планеты Солнечной системы - Урана принадлежит Уильяму Гершелю (на момент открытия он был астрономом-любите лем), обнаружение спиральной структуры галак тик - лорду Россу, Роберт Эванс открыл визуаль но 42 вспышки сверхновых зв¨eзд. Значительная часть всех открытий комет за последние 30 лет принадлежит астрономам-любителям (до недавне го времени их имена присваивались кометам) [2]; лучшими исследователями метеорных потоков и болидов по-прежнему являются астрономы-люби тели [3]. Кроме того, количество профессиональ ных астрономов во вс¨eм мире невелико (напри мер, в состав Международного Астрономическо го Союза входят около 10 000 участников, что относительно немного в сравнении с профессио нальными объединениями в других областях на уки). Количество же астрономов-любителей, хотя точно неизвестно, во много раз превосходит коли чество профессиональных астрономов (считается, что в одной только России насчитывается более 10 000 любителей). Кроме того, любители рассре доточены по всему миру, что позволяет им охва тить сетью наблюдений одновременно почти весь небосвод. Таким образом, любительская астроно мия дополняет данные профессионалов, иногда их уточняет и даже приносит новые данные. При изучении физической природы про тяж¨eнных объектов космоса или феноменов атмо сферы Земли одной из главных задач является определение угловых размеров небесных тел (ат мосферных феноменов). Под угловыми размерами 6 Астрономия D” r D a d” r d ! r” O C1 C2 O C A Rp Рис. 1. К определению: а - углового радиуса ( ′′) и углового диаметра планеты D′′; б - углового расстояния d′′ между компонентами двойной звезды (объяснения в тексте) понимаются, как правило, два основных угловых масштаба - угловой радиус ( ′′) или угловой диа метр (D′′, см. рис. 1а) небесного тела и угло вое расстояние между двумя точками (d′′, см. рис. 1б ) небесной сферы (НС). Знание угловых диаметров и угловых расстояний позволяет опре делить линейные размеры данных тел, расстояния между ними. Используя последние, можно опре делить динамические характеристики данных тел (например, массы компонентов двойных зв¨eзд) и даже параметры, характеризующие внутреннюю структуру и химический состав тела (например, среднюю массовую плотность тела). Решение этой важной задачи практической астрономии сопряжено со значительными денеж ными затратами при е¨e практической реализа ции, которые могут себе позволить лишь круп ные астрономические обсерватории и некоторые астрономы-любители. Так, для е¨e высокоточного и оперативного решения необходимы, как мини мум: а) телескоп с высококлассной оптикой и боль шим масштабом изображения, б) экваториальная монтировка телескопа, управляемая компьютером, в) система астрономических камер, связанных во едино с компьютером, г) специализированное про граммное обеспечение, определяющее автоматиче ски масштаб текущего изображения и по запро су астронома автоматически вычисляющее угло вое расстояние между двумя точками получаемо го изображения участка небосвода. Можно вме сте с элементами а) - б) воспользоваться нитяным микрометром в виде насадки на окулярную часть телескопа [4]. Однако инструменты астрономов любителей фабричного производства, как правило, не оснащаются такими устройствами, а в рознич ной торговле они не доступны в достаточном ко личестве. Сделать это устройство и вмонтировать его самостоятельно в тело заводского телескопа - весьма трудная и рискованная процедура. Естественным образом возникает вопрос: ¾Можно ли решить проблему определения угло вых размеров небесных тел с точностью O(1%) c использованием лишь инструментов, доступ ных в использовании астроному-любителю?¿ По ложительный ответ на данный вопрос может быть получен с помощью метода ¾суточного дрейфа¿ (МСД) небесных тел [5]. Однако возможности дан ного метода, как правило, недооцениваются лю бителями астрономии, поэтому он преимуществен но используется лишь для грубой оценки угловых размеров некоторых небесных тел [6 - 8]. На сегодняшний день в астрономической ли тературе, доступной широкому кругу читателей, не представлен детально разработанный матема тический аппарат МСД. Автор настоящей работы считает возможным усовершенствовать данный ме тод с целью увеличения точности прогнозов для D′′, d′′. Это позволит его использовать наравне с современными инструментальными (в том числе и цифровыми) методами. В связи со сказанным, главной целью насто ящей работы является построение последователь ной, заверш¨eнной методики определения угловых диаметров (D′′) классических планет, основанной на методе их ¾суточного дрейфа¿, а также расч¨eт искомых величин с использованием данных наблю дений планет. 1. Основные угловые величины в астрономии и классификации методов их определения Прежде всего определим основные угловые величины, используемые в астрономии. Для большей наглядности рассмотрим клас сическую планету, имеющую форму, очень близ кую к форме шара (например, Марс, см. рис. 1). Под угловым радиусом планеты ( ′′) будем пони мать плоский угол, под которым из точки наблю дения (точка О, на рис. 1а) виден радиус Rp небес ного тела. Под угловым диаметром планеты (D′′) тра диционно понимается плоский угол между двумя лучами, провед¨eнными к двум диаметрально про тивоположным точкам видимого диска небесного тела (см. рис. 1а). Очевидно, что связь между D′′ и ′′ аналогична связи между соответствующими линейными величинами: D′′ = 2 ′′. (1.1) Из треугольника △OAC, очевидно, следует, что sin ′′ = Rp r , ⇒ ′′ = arcsin Rp r , (1.2) здесь r - топоцентрическое расстояние центра (точка C на рис. 1а) планеты, то есть расстояние Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 7 De Dp “ “ а " E W N S D “ P O # $ Рис. 2. К определению: а - угловых размеров и формы тел с несферической формой, б - камеры-обскуры, в - нитяного окулярного микрометра, г - углового диаметра планеты с помощью последнего (объяснения в тексте) от точки положения наблюдателя до центра пла неты. Очевидно, что чем больше размеры планеты (е¨e радиус Rp) и чем меньше е¨e топоцентрическое расстояние, тем больше е¨e угловые масштабы. Ли нейные размеры классических планет существенно не изменяются в настоящее время, а вот их топо центрические расстояния непрерывно изменяются с течением времени в силу их постоянного движе ния вокруг Солнца. В численных расч¨eтах важно знать насколь ко велики угловые размеры планет. Привед¨eм конкретные цифры: наибольшие угловые размеры на вс¨eм небосводе (на регулярной основе) имеют Солнце и Луна. Их средние угловые диаметры, приблизительно, одинаковы и равны D′′ ⊙ = D′′ $ = 32′. Меркурий и Венера в нижнем соединении име ют угловые диаметры, не превосходящие значе ний 12, 6′′ и 65, 4′′ соответственно. Верхние плане ты - Марс, Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун - достигают своих наибольших угловых масштабов в окрестности противостояний. При этом, их уг ловые диаметры не превосходят значений 25, 7′′, 50′′, 47′′ (вместе с кольцами), 4, 1′′ и 2, 4′′ соответ ственно. Таким образом, угловые диаметры всех классических планет являются малыми величина ми, измеряются традиционно в угловых минутах (′) или секундах (′′). Именно поэтому выражения (1.1) и (1.2) можно переписать в виде: ′′ ≈ Rp r · 206265′′, D′′ ≈ 2 Rp r · 206265′′, (1.3) здесь ′′ и D′′ выражены в угловых секундах ду ги. Далее рассмотрим для наглядности тесную визуальную двойную звезду (см. рис. 1б ). Под уг ловым расстоянием между е¨e компонентами пони мается плоский угол между двумя лучами света, пришедшими от данных точечных небесных тел. Если для компонент визуальной двойной звезды эта величина является традиционно малой, то для произвольных двух зв¨eзд небосвода угол d′′ может быть большой величиной. Поэтому угловые рас стояния в практической астрономии измеряются в градусах (◦), угловых минутах и секундах. Важно отметить, что если форма небесного тела (планеты) отличается от формы шара, то е¨e можно определить, измеряя различные диаметры его видимого диска. Например, в случае Юпите ра традиционно определяется экваториальный диа метр (De), измеряемый между двумя диаметраль но противоположными точками его экватора и по лярный (Dp), как угол между двумя полюсами планеты (см. рис. 2а). Рассмотрим далее основные методы опреде ления угловых величин и их классификации. По способу получения угловых масштабов небесных тел все известные методы их определения можно поделить на два основных класса: 1) прямые, с ис пользованием которых угловые размеры определя ются непосредственно в наблюдениях и 2) косвен ные, где искомые параметры могут быть вычисле ны с использованием специальных формул по дан ным измерений других геометрических или физи ческих параметров исследуемых небесных тел. По типу инструментов, используемых (или не используемых вовсе) для определения угловых размеров небесных тел все методы их определе ния можно поделить на I) оценочные, безынстру ментальные, II) методы, в рамках которых исполь зуются простейшие астрономические или вспомога тельные инструменты, специально непредназначен ные для определения углов, и III) методы, в кото рых используются высокоточные астрономические инструменты. Методы I класса основаны на сравнении ¾на глаз¿ образов исследуемого небесного тела или ат мосферного феномена с образом какого-либо эта лонного объекта, угловые размеры которого из вестны. В качестве таких эталонов могут высту пать а) другие небесные тела, имеющие ч¨eтко обо значенные границы (например, Солнце, Луна, пла неты, двойные зв¨eзды, шаровые скопления, асте ризмы созвездий), б) атмосферные явления (на пример, основная и вторичная радуги, большое и малое гало Солнца и Луны и др.), в) предметы по вседневного обихода (например, кружка, дуршлаг, спица и другие, наблюдаемые на вытянутой руке, для которых могут быть вычислены их угловые размеры), г) конечности тела человека в силу при близительного постоянства пропорций тела челове ка. Например, c помощью пальцев и кулака вытя- 8 Астрономия Рис. 3. К определению эталонов углов, определяемых с помощью руки человека (объяснения в тексте) нутой руки можно определить искомый угол, опи раясь на следующие известные данные, представ ленные на рис. 3. Все методы I класса позволя ют получить лишь грубую оперативную оценку ис комой угловой величины, при этом эти величины имеют значительные погрешности. Примерами методов II класса являются а) визуальный метод суточного дрейфа (он бу дет определ¨eн в следующем параграфе), б) метод, основанный на анализе фотографий исследуемого объекта. Для использования последнего необхо дима фотография с малой кривизной е¨e поля, на которой помимо исследуемого объекта запе чатл¨eн эталонный объект (примеры таких объ ектов представлены в описании первого класса методов) небосвода или поверхности Земли, для которого известен (или его можно определить) его угловой размер в момент съ¨eмки. Данный метод удобен и прост в эксплуатации, поскольку для этого необходимы лишь линейка или штангенцир куль, транспортир и калькулятор. Однако далеко не для любого исследуемого объекта можно полу чить фотографию вместе с известным эталонным. В этом заключается его ограниченность в исполь зовании. Ко второму классу методов следует также отнести проекционный метод, основанный на ис пользовании камеры-обскуры (см. рис. 2б ) и ли нейки. Данный метод также прост в использова нии, однако может быть примен¨eн к определению угловых масштабов лишь ярких объектов небосво да - Солнца, Луны и ярких планет. Погрешность измерений для классических планет здесь может быть значительной (в силу волновой природы све та), что также является его недостатком. Примерами методов III класса являются а) визуальный метод, основанный на использова нии нитяного микрометра (см. рис. 2в), устанав ливаемого в окулярный узел телескопа. С помо щью регулировочной ручки-барабана тонкие нити можно перемещать в картинной плоскости и ¾за жимать¿ видимый диск планеты между ними (см. рис. 2г), при этом по специальной шкале опре деляется соответствующий угловой масштаб. Дан ный метод позволяет получить оперативный, вы сокоточный результат. Однако такой микрометр в розничной продаже - большая редкость, а са мостоятельно его изготовить способен далеко не каждый астроном-любитель. Другие методы дан ного класса (б) ориентированы на измерение уг ловых расстояний между точками небесной сферы с использованием астрономических ¾граблей¿ (см. рис. 4а), посоха Якова (рис. 4б ), плоско-сфериче ской астролябии (рис. 4в) и других инструментов. Данные инструменты просты в изготовлении, но точность их измерений, как правило, невысока и составляет O (1◦). Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 9 а " # Рис. 4. К определению угломерных инструментов: а - астрономических граблей, б - посоха Якова, в - плоско-сферической астролябии (объяснения в тексте) а " # $ % & Рис. 5. К определению угломерных инструментов: а - армилярной сферы, б - квадранта, в - октанта, г - секстанта, д - универсального инструмента, е - теодолита (объяснения в тексте) В методах, предназначенных для измерения высоты и азимута небесного тела, (в) традицион но используются такие высокоточные инструмен ты как армилярная сфера (см. рис. 5а), квадрант (рис. 5б ), октант (рис. 5в), секстант (рис. 5г), д) универсальный инструмент (рис. 5г), е) теодо лит (рис. 5е). Отметим в заключение, что астрономы-про фессионалы используют целые комплексы инстру ментов (подобные тем, что описаны во введении), работающие как ¾единый организм¿. Все высоко точные современные методы определения угловых размеров небесных тел, задействованные здесь, ба зируются на использовании цифровых технологий и специализированном программном обеспечении, написанным специально под конкретные комплек сы и задачи. Их можно выделить в отдельный подкласс методов - г) методы, основанные на ис пользовании цифровых технологий и IT-алгорит мов обработки наблюдений. 2. Визуальный метод суточного дрейфа небесных тел. Определение углового диаметра классической планеты В данном параграфе будут сформулированы основные положения данного метода, адаптиро- 10 Астрономия а " # $ % Рис. 6. Приборная база современного астронома-любителя: а - окуляр телескопа c модулем подсветки и создаваемое им (б) видимое поле зрения с визирным перекрестием; в - окуляр телескопа и создаваемое им (г) видимое поле зрения без визирного перекрестия; д - современный электронный секундомер (объяснения в тексте) E W N S D T “ P O a E N S D “ W O ! P1 1 ‘ P2 ‘ P2 D “ Рис. 7. К определению углового диаметра видимого диска планеты (объяснения в тексте) ванного к проблеме определения угловых диамет ров классических планет, с использованием опти ческих инструментов двух видов (доступных аст роному-любителю): 1) с визирным перекрестием и 2) без визирного креста. К инструментам первого вида относятся некоторые виды оптических труб и телескопы, окулярный узел которых в своей фо кальной плоскости имеет визирный крест - систе му двух и более тонких нитей, расположенных в теле окуляра, и формирующие крест (перекрестие) с прямыми углами (на рис. 6а представлен окуляр с визирным крестом и светодиодным модулем его подсветки; на рис. 6б представлен фрагмент по ля зрения телескопа с данным окуляром, в режи ме работы подсветки). К инструментам второго ти па относятся большинство инструментов любитель ского уровня: бинокли, зрительные трубы, телеско пы, окулярный узел которых не имеет визирного креста (на рис. 6в представлен пример такого оку ляра для телескопа; на рис. 6г формируемое им поле зрения, прямое изображение)1. 1. Будем полагать, что для астрономиче ских наблюдений классической планеты использу ется оптический инструмент (например, телескоп) с прямым изображением, поле зрения которого есть круг NESW с известным угловым диаметром D′′ T (см. рис. 7a). 2. Исследуемый объект - классическая пла нета Солнечной системы, наблюдаемая в окрестно сти своего противостояния (с фазой, равной еди нице), видимый диск которой отч¨eтливо просмат ривается, а его форма близка к форме круга c уг ловым диаметром D′′ (см. рис. 7а). 3. Всегда можно ориентировать трубу и оку ляр телескопа так, чтобы диск планеты ¾дрейфо вал¿ в сво¨eм суточном движении вдоль диаметра EW круга поля зрения. Неизбежно наступит мо мент t1, когда западная точка диска планеты сов- 1Преимущество инструментов с визирным крестом в том, что планета во время измерений находится на оптической оси инструмента, где потери света минимальны, а внеосевые аберрации инструмента не проявляются, следовательно изображение планеты является наиболее ч¨eтким и ярким. Более того, при искусственной подсветке креста можно более точно запечатлеть моменты начала и окончания дрейфа планеты. Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 11 S x y z Z C C 1 2 O A B A1 A2 DA z1 z2 s D E а Dt N P C1 D1 C2 D2 s d O O C Dt Dt B A " Рис. 8. К определению: а - угловой скорости видимого перемещения планеты, б - е¨e связи со склонением планеты и угловой скоростью вращения Земли (объяснения в тексте) падет с точкой O - центром визирного креста ин струмента первого вида (положение планеты P1 на рис. 7а) или малой окрестностью точки W - западной границы круга поля зрения (положение планеты P′ 1 на рис. 7а) инструмента второго вида. Пусть в момент времени t2 уже восточная точка диска планеты совпадет с точкой O креста (поло жение планеты P2 на рис. 7б ) инструмента перво го вида. В случае инструмента второго вида - са мая восточная точка видимого диска планеты сов падет с точкой W, при этом диск планеты полно стью выходит из поля зрения инструмента и пере ста¨eт быть видимым для наблюдателя (положение планеты P′ 2 на рис. 7б ). Тогда временем дрейфа диска планеты P будем называть величину, рав ную = t2 - t1. (2.1) Данный временной интервал легко измерить с по мощью современного секундомера (см. рис. 6д)2. 4. Если нам известна угловая скорость (!vis) видимого движения диска планеты P, то е¨e угло вой диаметр можно определить как D′′ = !vis · . (2.2) Угловую скорость !vis можно вычислить, если из вестен угол vis, на который переместился данный небесный объект за малое время vis, удовлетворя ющее неравенству: ≪ vis ≪ T⊕. (2.3) В опытных измерениях, как правило, 6 3-4 сек, vis 6 5 мин, а T⊕ = 23ч56м04с - сидерический пе риод вращения Земли вокруг своей оси. Требова ние выполнения сильного неравенства vis ≪ T⊕ обусловлено необходимостью совпадения части ду ги суточной параллели, описываемой планетой в результате е¨e суточного дрейфа, с дугой большо го круга, которой и соответствует угол (в про тивном случае искомая величина !vis будет суще ственно заниженной). Определению параметра !vis будет посвящ¨eн следующий параграф. 3. Определение средней угловой скорости видимого движения небесного объекта по данным наблюдений Предположим, что на небосводе наблюдает ся классическая планета. В силу суточного враще ния Земли вокруг своей оси планета непрерывно движется по суточной параллели - малому кругу небесной сферы, плоскость которого параллельна плоскости небесного экватора. Пусть в момент вре мени t′ 1 центр е¨e видимого диска находился в точ ке C1 небесной сферы (см. рис. 8a), а в момент времени t′ 2 - в точке C2 (t′ 1 < t′ 2). При этом вре мя видимого движения объекта по небосводу из точки C1 в точку C2, очевидно, есть vis = t′ 2 - t′ 1 (3.1) и удовлетворяет условию (2.3)3. Воспользуемся формулой косинусов [9] для сферического тре угольника SZC1C2: cos = cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2 cos A, здесь A = A2-A1, (z1,A1) - зенитное расстояние и азимут точки C1, (z2,A2) - те же координаты точки C2. Учитывая, что сегодня наиболее доступным в эксплуатации инструментом для измерения го ризонтальных координат является теодолит (см. 2Сегодня для астронома-любителя наиболее доступны в практическом использовании недорогие электронные секун домеры с ценой деления 0, 01 c. 3Здесь и далее мы пренебрегаем собственным движением планеты по небосводу в течение промежутка времени vis. 12 Астрономия рис. 5е), с помощью которого можно измерять вы соту h, а не зенитное расстояние, выгодно перейти в последней формуле к высотам данных точек по средством равенства zi = 90◦ - hi. В итоге имеем cos = sin h1 sin h2 + cos h1 cos h2 cos A, (3.2) откуда = arccos [cos Acos h1 cos h2 + sin h1 sin h2] (3.3) при 0 6 6 (фактически ≪ 1). Следователь но, среднюю угловую скорость видимого движения небесного объекта на интервале vis можно опре делить как ¯!vis = vis = 1 vis · arccos [cos Acos h1 cos h2+ +sin h1 sin h2] . (3.4) Таким образом, для определения численного зна чения ¯!vis необходимо измерить в наблюдениях из менение азимута A планеты и е¨e высоту h в точ ках C1 и C2. Интервал времени vis измеряется с помощью секундомера. Наиболее существенным фактором, искажа ющим истинное положение небесного тела над го ризонтом, является рефракция света. Чтобы ис ключить е¨e из данных наблюдений, далее будут использоваться значения горизонтальных коорди нат, исправленные за рефракцию c помощью фор мулы Лапласа (работает для высот h > 15◦) [10]: hi → h ref i = hi - h i, где (3.5) h i = Ah ctg hi - Bh ctg3 hi, Ah = 57.085′′, Bh = 0.067′′. (3.6) 4. Связь угловой скорости видимого движения планеты и е¨e склонения. Оценка погрешности определения !vis Определим зависимость угловой скорости видимого движения планеты от е¨e склонения. Пусть в момент времени t′ 1 центр видимого дис ка планеты находился в точке C1 небесной сфе ры, а в момент времени t′ 2 - в точке C2 (см. рис. 8б ). Рассмотрим сферический треугольник △SPNC1C2, образованный кругами склонения PNC1D1 и PNC2D2 и большим кругом OC1C2. Учт¨eм, что величины дуг PN˘C1 = PN˘C2 = 90◦- , ∠PN = t, где - склонение планеты, t - изме нение е¨e часового угла. Воспользуемся формулой косинусов для данного треугольника: cos = cos 2 - -cos 2 - - + sin 2 - -× ×sin 2 - -cos t, или cos = sin2 + cos2 cos t. (4.1) Учитывая, что в течение vis планета равномерно перемещалась по небосводу с угловой скоростью ¯!vis, угол видимого перемещения и изменение е¨e часового угла t можно определить как = ¯!vis · vis, t = ¯!⊕ · vis, где ¯!⊕ = 2 T⊕ - средняя угловая скорость враще ния Земли. Следовательно, выражение (4.1) мож но представить в виде: cos [¯!vis · vis] = sin2 + cos2 cos [¯!⊕ · vis] , (4.2) откуда ¯!vis = 1 vis arccos[(sin2 +cos2 cos [¯!⊕ · vis])]. (4.3) Рассмотрим выражение (4.2) в предельном случае: vis → 0. Воспользуемся приближ¨eнным выраже нием для функции косинус: cos x ≈ 1 - x2/2 при x → 0. Тогда данное выражение запишется в виде: 1 - 1 2 (!vis · vis)2 = sin2 + cos2 1 - 1 2 (!⊕ · vis)2 , воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством sin2 + cos2 = 1, в результате полу чаем !vis = !⊕ cos , (4.4) здесь !vis, !⊕ - мгновенные угловые скорости ви димого движения планеты и суточного вращения Земли соответственно. На практике, как правило, vis 6 5 мин. Исследования показывают [10; 11], что на таких интервалах отклонение мгновенной угловой скорости Земли !vis от е¨e среднего зна чения ¯!vis не превышает 10-3′′/сек. Такие вариа ции !vis не могут сказаться на итоговом резуль тате в силу их относительной малости, поэтому можно полагать, что в течение vis выполняется равенство: !vis = ¯!vis. Видится актуальным исследовать зависи мость величины относительного отклонения сред ней угловой скорости видимого движения от е¨e мгновенного значения - !vis/!vis = |!vis - ¯!vis|/!vis от величины склонения планеты для различных значений vis. На рис. 9 представле ны кривые зависимости !vis/!vis от величины для двух значений vis. Очевидно, в случае vis = 10 мин (рис. 9а) и !⊕ = 15′′/сек отклонение сред него ¯!vis от точного !vis значения составляет не более 8 · 10-3% (что соответствует !vis = 5 · · 10-4 ′′/сек) при 0◦ 6 6 90◦. Данная погреш ность чрезвычайно мала на временах vis 6 5 мин, следовательно, здесь можно полагать !vis = ¯!vis. Лишь при vis ∼ O (1 ч) (см. рис. 9б, при vis = 3 часа), что много больше характерных эксперимен тальных значений vis, наблюдаются существенные отклонение значений, прогнозируемых формулами (4.3) и (4.4). Последний факт объясняется суще ственным различием длин дуг C1A˘C2 и C1B˘C2 при больших vis (см. рис. 8б ). 5. Зависимость времени дрейфа планеты от условий наблюдения в случае инструментов второго вида Определение времени дрейфа планеты за висит от многих факторов: как от оптических аберраций оптического инструмента, так и от по ложения хорды в поле зрения инструмента, вдоль которой дрейфует диск планеты. Как было уже отмечено ранее, удобнее проводить измерения с Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 13 0 2 4 6 8 |Dw/w|, ?10 % -3 0 20 40 60 80 d, !"а$ а t = 10 мин vis 0 0,5 1,5 |Dw/w|, % 1,0 2,0 2,5 0 20 40 60 80 t = 3 ч vis " d, !"а$ Рис. 9. Зависимость относительного отклонения !vis/!vis от склонения светила для двух значений vis (объяснения в тексте) ” T H K1 1 H2 K2 E d W N x1 x2 a1 a2 S D a 0 2d /D 1 ,0 1, 5 2, 0 2, 5 3, 0 3, 5 t/t0 !очный '(и*лиж-нный 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ” T ” ” ! Рис. 10. К определению: а - собственного времени дрейфа , б - зависимости отношения / 0 от углового расстояния d′′, выраженного в единицах D′′ T /2 (объяснения в тексте) инструментами первого вида (имеющее визирное перекрестие). Здесь измерения проводятся, когда диск планеты расположен вблизи центра поля зре ния. При этом внеосевые оптические аберрации (кома, астигматизм, дисторсия, кривизна поля) фактически себя никак не проявляют и не искажа ют изображение диска планеты, а осевые аберра ции (сферическая, хроматическая), как правило, в большинстве заводских инструментов малы. Поло жение хорды (H1H2) дрейфа планеты относитель но диаметра (EW) здесь неважно (см. рис. 10а). Однако ситуация иная, если используется инструмент второго вида. Здесь время дрейфа определяется относительно края поля зрения ин струмента, и в этом случае необходимо учиты вать все указанные выше факторы. Опыт прак тических наблюдений автора показывает, что при использовании заводского инструмента с высоким качеством оптики, главным фактором, определя ющим доминирующий вклад в инструментальную погрешность определения , является положение хорды дрейфа в поле зрения инструмента. Уста новим связь между временем дрейфа планеты и положением хорды в поле зрения инструмента. Пусть видимый диск планеты движется вдоль хорды H1H2 круга поля зрения инструмента NESW (см. рис. 10а). Данная хорда отстоит от параллельного ей диаметра EW на угловом рас стоянии d′′. Предположим, что в момент времени t1 диск планеты ¾коснулся¿ границы поля зрения ин струмента в точке K1. При этом центр диска пла неты имел координату x1. В момент времени t2 он полностью выходит из поля зрения, касаясь его границы в точке K2. В этот момент координата центра диска равна x2. За промежуток времени = t2 - t1 центр диска планеты переместится на угол D′′: D′′ = x2 - x1, иначе D′′ = !vis · . (5.1) Из рис. 10а очевидно, что D′′ не является угловым диаметром планеты. Нетрудно видеть, что x1 = 1 2 (D′′ T - D′′) cos 1, x2 = 1 2 (D′′ T + D′′) cos 2, здесь D′′ T , D′′ - угловые диаметры круга поля зре ния инструмента и видимого диска планеты, 1 и 2 - полярные углы центра диска планеты. По скольку cos 1 = 1 (D′′ T-D′′)p(D′′ T - D′′)2 - 4d′′ 2, cos 2 = 1 (D′′ T+D′′)p(D′′ T + D′′)2 - 4d′′ 2  , в результате получаем выражение для : = 1 2!vis q(D′′ T + D′′)2 - 4d′′ 2- -q(D′′ T - D′′)2 - 4d′′ 2 . (5.2) 14 Астрономия Таблица 1 Значения основных параметров использованных оптических инструментов Параметр ЗТ-Стерео Т15 Диаметр объектива, мм 50 40 Угол поля зрения, град 0,6 - 1,6 2,0 Диаметр выходного зрачка, мм 2,5 - 1,0 2,0 Предел фокусировки, м 12 -∞ 10 -∞ Увеличение, крат 20 - 50 20 Предельная звездная величина, m 10,6 10,1 При d′′ = 0 и условии D′′ < D′′ T имеем (d = 0) = 0 = D′′ !vis , (5.3) здесь 0 - собственное время дрейфа диска пла неты вдоль диаметра круга поля зрения инстру мента. Именно данный промежуток времени адек ватно определяет угловой диаметр диска планеты. Разделив (5.2) на (5.3), в результате получаем 0 = 1 2D′′ q(D′′ T + D′′)2 - 4d′′ 2- -q(D′′ T - D′′)2 - 4d′′ 2 . (5.4) В случае классических планет Солнечной систе мы с использованием инструментов любительского уровня с малой и средней апертурой при наблюде нии диска планеты в малой окрестности диаметра EW выполняются следующие неравенства: d′′ ≪ (D′′ T - D′′), (D′′ T + D′′), D′′ ≪ D′′ T . Тогда выражение (5.4) с использованием прибли жения вида: (1 + x) ≈ 1 + x, при x → 0 можно записать так 0 = 1 + 2d′′ 2 D′′ 2 T . (5.5) На рис. 10а представлены кривые зависимости от ношения / 0, определяемого точной (5.4) и при ближ¨eнной (5.5) формулами от углового расстоя ния d′′, выраженного в единицах D′′ T /2. Очевид но, что приближ¨eнное выражение уверенно согла суется с точным результатом лишь при 2d′′/D′′ T 6 0, 4. При больших значениях d′′ время дрейфа может превосходить собственное время дрейфа в несколько раз! Следовательно, при измерении вре мени дрейфа необходимо стремиться, чтобы диск планеты двигался в малой окрестности диаметра EW круга поля зрения. Лишь в этом случае по грешность измерений величины является малой и может быть оценена выражением вида: 0 = 2d′′ 2 D′′ 2 T . (5.6) 6. Численные результаты и их анализ Все данные измерений, необходимые для определения искомых величин были получены Фи липповым Ю. П. при поддержке Филиппова В. П. в 2000 - 2003 гг на территории Самарской области. При этом были использованы часы с секундоме ром (с ценой деления шкалы - 0, 01 с) для измере ния промежутков времени и vis, теодолит (T-15) для измерения горизонтальных координат планет и зрительная труба ¾ЗТ-Стерео¿ (20-50×50) для определения угловых диаметров исследуемых объ ектов. Значения основных параметров данных оп тических инструментов приведены в табл. 1. В табл. 2 в качестве примера представлены численные значения измеренных горизонтальных координат Юпитера 22.08.2000 г, вычисленные зна чения !vis i и их погрешности !vis i по схеме кос венных измерений [12]. По полученным значениям !vis вычислено е¨e среднее ¯!vis и погрешность его определения !vis по схеме обработки прямых из мерений. В табл. 3 представлены вычисленные сред ние значения для времени дрейфа, его абсолют ная и относительная погрешность для четыр¨eх дат сеансов наблюдений. Благодаря малой цене деле ния прибора и большому количеству измерений времени дрейфа (30-60 значений), автор смог до стичь относительно малой погрешности в опреде лении , составляющей 2-3%. C использованием средних значений !vis и вычислен угловой эк ваториальный диаметр Юпитера согласно (2.2), а также его абсолютная и относительная погрешно сти. Поскольку погрешности определения !vis и являются малыми, погрешность определения D′′ также является малой и в большинстве экспери ментов не превосходит 3% (что соответствует аб солютной погрешности ∼ 1′′). Наконец, с использо ванием (1.3) и экваториального диаметра Юпите ра (DJ = 142754 км) были вычислены расстояния до Юпитера на указанные даты и ошибки их опре деления. Указанная погрешность также является малой и составляет 2-3% (соответствующая абсо лютная погрешность - 10-20 млн. км). В той же таблице для сравнения представлены данные для тех же параметров, взятые из электронных биб лиотек специализированных астрономических про грамм Orbits 3.0 и RedShift 3. Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 15 Таблица 2 Значения данных наблюдений Юпитера от 22.08.2000 г. и вычисленных !vis и !vis № п/п h1, град h2, град A, град vis, град !vis, ′′/с !vis, ′′/с 1 12,175 13,367 0,875 372,59 14,212 0,037 2 14,408 15,225 1,038 333,06 14,005 0,037 3 16,446 17,333 1,142 354,88 14,298 0,035 4 18,933 19,592 0,842 264,32 14,070 0,047 5 21,150 21,883 0,946 295,15 13,985 0,042 6 23,417 24,242 1,083 324,69 14,309 0,037 7 27,733 28,592 1,129 328,69 14,406 0,037 8 29,925 30,500 0,825 228,69 14,427 0,052 9 34,183 35,000 1,183 329,16 13,910 0,036 10 35,800 36,392 0,913 242,75 14,026 0,048 11 37,508 38,350 1,317 342,09 14,074 0,034 12 39,150 39,875 1,200 304,09 13,927 0,037 13 40,846 41,692 1,617 382,43 13,942 0,028 14 42,967 43,525 1,054 245,28 13,940 0,044 15 44,675 45,308 1,283 286,91 13,891 0,037 16 46,592 47,183 1,229 265,25 13,950 0,040 17 48,167 48,767 1,604 311,28 14,128 0,031 среднее - - - - 14,088 0,091 Таблица 3 Сводка итоговых результатов для Юпитера, полученных в настоящей работе, а также значения тех же параметров из библиотек программ Orbits 3.0 и RedShift 3 Дата Показатель Результаты Филиппова Ю. П. Результаты Результаты и Филиппова В. П. Orbits 3.0 RedShift 3 14.08.2000 ± , c 2, 716 ± 0, 076 - - " , % 2,79 - - D′′ ± D′′, ′′ 38, 19 ± 1, 18 - 38 r ± r, км (7, 71 ± 0, 24) · 108 7, 78 · 108 7, 77 · 108 "D′′ , "r, % 3,08 - - 22.08.2000 ± , c 2, 750 ± 0, 033 - - " , % 1,22 - - D′′ ± D′′, ′′ 38, 74 ± 0, 54 - 39 r ± r, км (7, 60 ± 0, 11) · 108 7, 60 · 108 7, 60 · 108 "D′′ , "r, % 1,39 - - 29.08.2000 ± , c 2, 848 ± 0, 082 - - " , % 2,87 - - D′′ ± D′′, ′′ 39, 99 ± 1, 19 - 40 r ± r, км (7, 36 ± 0, 22) · 108 7, 44 · 108 7, 44 · 108 "D′′ , "r, % 2,97 - - 30.08.2000 ± , c 2, 847 ± 0, 061 - - " , % 2,15 - - D′′ ± D′′, ′′ 40, 02 ± 0, 92 - 40 r ± r, км (7, 36 ± 0, 17) · 108 7, 42 · 108 7, 42 · 108 "D′′ , "r, % 2,30 - - 16 Астрономия Таблица 4 Сводка итоговых результатов для Сатурна, полученных в настоящей работе, а также значения тех же параметров из библиотек программ Orbits 3.0 и RedShift 3 Дата Показатель Результаты Филиппова Ю. П. Результаты Результаты и Филиппова В. П. Orbits 3.0 RedShift 3 14.08.2000 ± , c 2, 834 ± 0, 024 - - = D′′ ± D′′, ′′ 40, 51 ± 0, 35 - 40, 3 18, 117◦ rP ± rP , км (1, 375 ± 0, 012) · 109 1, 382 · 109 1, 381 · 109 " , "D′′ , "rP , % 0,85 - - 22.08.2000 ± , c 2, 832 ± 0, 042 - - = D′′ ± D′′, ′′ 40, 47 ± 0, 60 - 40, 9 18, 124◦ rP ± rP , км (1, 377 ± 0, 021) · 109 1, 362 · 109 1, 362 · 109 " , "D′′ , "rP , % 1,49 - - 29.08.2000 ± , c 2, 905 ± 0, 044 - - = D′′ ± D′′, ′′ 41, 51 ± 0, 63 - 41, 5 18, 192◦ rP ± rP , км (1, 342 ± 0, 020) · 109 1, 345 · 109 1, 344 · 109 " , "D′′ , "rP , % 1,51 - - 30.08.2000 ± , c 2, 883 ± 0, 031 - - = D′′ ± D′′, ′′ 41, 18 ± 0, 44 - 41, 5 18, 194◦ rP ± rP , км (1, 352 ± 0, 014) · 109 1, 343 · 109 1, 342 · 109 " , "D′′ , "rP , % 1,06 - - Из сопоставления результатов следует, что новые результаты уверенно согласуются с резуль татами профессионалов. Важно отметить, что при вычислении всех искомых величин мы использо вали табличное значение лишь одного параметра Юпитера - его линейного экваториального диамет ра. Для большей убедительности в пригодности предложенной методики в работе проведены вы числения тех же величин для Сатурна с кольцами (на четыре даты наблюдений, см. табл. 4) и Марса вблизи их противостояний (на четыре даты наблю дений, см. табл. 5). К сожалению, для Сатурна и Марса не были измерены горизонтальные координаты этих объектов, поэтому для определения их угловой скорости видимого движения по небосводу исполь зовался результат (4.4) с !⊕ = 15, 041′′/c, а так же значения склонений планет на моменты их на блюдений. Благодаря использованию готовых зна чений ошибка определения D′′ и r существен но уменьшилась (в большинстве сеансов измере ний для Сатурна с кольцами она не превосходит 1,5%, для Марса - 2,5%). Как и в случае с Юпи тером, наблюдается уверенное согласование наших результатов с результатами библиотек программ Orbits 3.0 и RedShift 3. Таким образом, разработанная методика определения искомых величин, основанная на МСД, позволяет получить значения угловых диа метров классических планет весьма близкие к значениям, получаемым профессионалами с по мощью самых точных теоретических моделей и данных астрономических наблюдений.

About the authors

Jury Petrovich Philippov

Samara University

Email: yuphil@mail.ru
Samara, Russia

References

Supplementary files