A NEW METHOD OF DETERMINATION OF ALLOWED VALUES INTERVALS FOR AVERAGE MASS DENSITY OF PERIODIC COMET NUCLEUS

Full Text

Одной из фундаментальных проблем в изу чении природы комет в настоящее время являет ся проблема определения средней массовой плотно сти их ядер. Под средней массовой плотностью ядра (ρN) понимается скалярная физическая вели чина, равная отношению массы ядра кометы MN к его объ¨ему VN, то есть ρN = MN VN . (1) Точное знание данной физической величи ны позволит уточнить современные представления о структуре ядра, количественном соотношении его основных компонентов, упорядочить космого нические модели возникновения и эволюции ран ней Солнечной системы. Однако на пути определе ния данной физической величины встречается ряд серь¨eзных трудностей [1]. Весьма сложной задачей является определе ние размеров ядра (его объ¨ема). Е¨е решению пре пятствуют как технические сложности в экспери менте (огромные расстояния, отделяющие исследо вателей от ядра, плотная атмосфера кометы), так и трудности в теории (в частности, при определе нии фотометрическим методом радиуса ядра, по следний зависит от явного аналитического выра жения для его фазовой функции, которая в каж дой фотометрической модели определяется по-сво ему). Использование автоматических межпланет- ных станций (АМС) позволило точно решить эту задачу лишь для ядер нескольких комет. Не менее сложной задачей является оцен ка массы ядра. В силу малости эффектов грави тационного взаимодействия комет с планетами и их спутниками c использованием пертурбативно го метода можно получить лишь грубые верхние ограничения для массы ядер некоторых коротко периодических комет [2]. К настоящему моменту выполнена лишь од на успешная попытка мягкого приземления косми ческого аппарата (Philae lander) на поверхность ядра кометы (67P/Churyumov-Gerasimenko) с це лью проведения физико-химического анализа ве щества его поверхности [3]. Благодаря пребыва нию исследовательского модуля у его поверхности уч¨еные смогли воспользоваться гравиметрическим методом определения массы ядра и точно опреде лить среднее значение массовой плотности, кото рое оказалось равным 0, 533 ± 0, 006 г/см3 [4]. В настоящее время существует ряд методов оценки массы ядра кометы, основанных на модели ровании сил негравитационной природы, соответ ствующих уточн¨енным орбитам движения ядер и сопоставлении с точными данными наблюдений. К сожалению, данные силы являются малыми, а по грешности определения массы ядра и его плотно сти - большими [5]. Именно поэтому в настоящее время для определения параметра ρN периодических комет активно используются альтернативные косвенные методы его оценки [6]. В частности, один из ме тодов основан на моделях вращающегося сфериче ского или эллиптического ядра и эксперименталь ных данных для его периода осевого вращения. 20 Астрономия Он стал первым методом, позволившим получить первые грубые (заниженные) оценки ρN [7]. Одна ко до начала XXI века имелась крайне скудная ин формация о периодах вращения и коэффициентах сжатия ядер комет, и потому данный метод был ограничен в использовании. В последние годы XXI столетия получены новые уточн¨енные данные для периодов вращения ядер как известных, так и но вых комет. Последовательный сравнительный ана лиз [1] тр¨eх альтернативных моделей вращающе гося ядра с использованием современных данных наблюдений для шестнадцати комет был выполнен автором настоящей работы ранее. В рамках данного исследования с использо ванием нового физико-геометрического метода и результатов работ [8; 9] предпринята новая попыт ка значительного уточнения прогнозов в опреде лении ¯ρN для ядра периодической кометы. Глав ной целью настоящей работы является опреде ление интервала возможных значений для сред ней массовой плотности и массы ядра периодиче ской кометы с использованием модели сферическо го мультикомпонентного ядра, современных дан ных наблюдений для геометрических и оптических свойств ядра. В работе [1] уже были подробно рассмотре ны общие представления о кометах, структура ко меты и основные свойства е¨е ядра. Потому рас смотрим далее новую модель ядра сферического кометы. 1. Определение модели сферического мультикомпонентного ядра В настоящем параграфе сформулируем но вую модель сферического мультикомпонентного ядра. 1. Будем моделировать ядро шаром (см. рис. 1а) с радиусом RN, состоящим из смеси L-1 компонент (веществ) в тв¨eрдой фазе c известными значениями ρi средней массовой плотности, значе ниями AS i сферического альбедо и объ¨eмными до лями νi, определяемыми выражениями вида: νi = Vi VN , i = 1, . . . ,L - 1, (1.1) здесь Vi - объ¨eм i-го вещества в ядре, VN - объ¨eм ядра. Форма реальных ядер значительно отличает ся от формы шара, поэтому несферичность и пори стую структуру ядра будем учитывать наличием пустот (L-ая компонента с объ¨eмной долей νL) в теле ядра. 2. Сумма объ¨eмных долей всех компонент, очевидно, должна удовлетворять условию XN i=1 νi = 1. (1.2) 3. В силу малости гравитационных эффек тов пространственного размежевания веществ с различной плотностью в теле ядра можно пола гать, что данные типы веществ равномерно рас пределены по телу ядра. Поэтому будем полагать, что по всему объ¨eму шара вес νi постоянен. Сле довательно, элемент массы dm можно представить в виде: dm = XL i=1 dmi = XL i=1 ρi dVi = XL i=1 ρi νi dV. Проинтегрировав последнее уравнение по всему ядру и, учитывая определение (1), получаем урав нение вида: ρN = XL i=1 νi ρi. (1.3) 4. Любая малая площадка поверхности яд ра может быть представлена в виде суперпозиции площадок dSi, каждая из которых покрыта веще ством i-го типа с показателем преломления ni (см. рис. 1а), при этом i = L соответствует полости, заполненной слабо разреженной газовой фракцией (преимущественно, водяной пар), то есть1 dS = XL i=1 dSi, где dSi = νi · dS. (1.4) 5. Согласно определению сферическим (бон довским) альбедо называется скалярная физиче ская величина, равная отношению полного пото ка излучения sca, рассеянного поверхностью ша ра во всех направлениях, к полному потоку 0, падающему на шар в виде параллельного пучка лучей, то есть AS = sca 0 . (1.5) Данные потоки в приближении геометрической оп тики могут быть представлены в виде2: sca = Z ρ(n, θ)I · dS cos θ, 0 = I · πR2 N, (1.6) здесь ρ(n, θ) - коэффициент отражения света от плоской бесконечно малой площадки dS (см. рис. 1б ) поверхности ядра (является функцией угла па дения θ световых лучей и показателя преломле ния n вещества данной площадки); I - интенсив ность падающего света у поверхности ядра. 1С геометрической точки зрения данное предположение может быть легко достигнуто. Действительно, в сферической системе координат элемент площади и объ¨eма представляются в виде: dS = r2 sin d d', dV = r2 sin drd d'. ) dV/dS = dr, Домножив (1.2) на dV/dr, в итоге получаем выражение (1.4). 2Поскольку в видимом диапазоне электромагнитных волн показатель преломления для большинства веществ меняется незначительно, то в дальнейшем ради простоты вычислений будем пренебрегать зависимостью показателя преломления n( ) от длины волны . В качестве n будем использовать среднее значение данного параметра в видимом диапазоне. Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 21 а " dS X Y Z n Рис. 1. К определению положений модели мультикомпонентного ядра (объяснения в тексте) В случае мультикомпонентного ядра поток sca следует модифицировать к виду: sca = XL i=1 Z ρ(ni, θ)I · dSi cos θ = = XL i=1 νi Z ρ(ni, θ) I · dS cos θ = XL i=1 νi sca i, здесь sca i - поток излучения, отбрасываемый ша ром из i-го вещества. Следовательно, сферическое альбедо мультикомпонентного ядра запишется в виде: AS = XL i=1 νi sca i 0 = XN i=1 νi AS i(ni). (1.7) В последнем выражении AS i - сферическое аль бедо шара из i-го вещества. Таким образом получены три уравнения (1.2), (1.3), (1.7) относительно L объ¨eмных долей νi. Чтобы получить замкнутую систему уравнений относительно νi, необходимо указанные уравнения дополнить ещ¨e L - 3 уравнениями. 6. Принимая во внимание явление сублима ции кометного вещества с поверхности ядра и тре буя сохранение формы ядра-шара, приходим к за ключению, что кома кометы должна содержать указанные компоненты с теми же объ¨eмными до лями (в фазе твердого тела), что и ядро. 7. Предположим, что на эксперименте (при исследовании комы кометы) были получены оцен ки массовых долей ηi первых L-3 доминирующих компонент, которые можно определить в виде: ηi = mi LX-1 i=1 mi. (1.8) Принимая во внимание пункт 6 модели и формулу (1.1), приходим к следующему результату ηi = ρiVi   LX-1 j=1 ρjVj   = ρiνi   LX-1 j=1 ρjνj  , (1.9) где i = 1, 2, . . . ,L -3; ρi - средняя массовая плот ность i-го вещества. 8. По аналогии с работами [10; 11] здесь бу дем полагать, что значения геометрического и сфе рического альбедо ядра равны. 2. Определение интервала допустимых значений средней массовой плотности ядра в случае L-компонентного ядра В предыдущем параграфе была построена замкнутая система L линейных уравнений (1.1), (1.2), (1.3), (1.7), (1.9), которую можно предста вить в компактном матричном виде: M· R = V, где (2.1) M =   1 1 1 . . . 1 AS 1 AS 2 AS 3 . . . AS L ρ1 ρ2 ρ3 . . . ρL (1 - η1)ρ1 -η1 ρ2 -η1 ρ3 . . . 0 -η2ρ1 (1 - η2)ρ2 -η2ρ3 . . . 0 ... ... ... . . . ... -ηL-3ρ1 -ηL-3ρ2 -ηL-3ρ3 . . . 0   , R =   ν1 ν2 ν3 ν4 ν5 ... νL   , V =   1 ANS ρN 0 0 ... 0   . Решение данной системы (при условии detM 6= 0, что, как правило, имеет место) можно представить в виде: R = M-1 · V. (2.2) Очевидно, что решение системы (2.2) есть на бор значений {νi}, которые являются линейными функциями лишь одного свободного параметра - ρN: νi = νi(ρN), i = 1, . . . ,L. (2.3) 22 Астрономия Интервал возможных значений ρN будет опреде ляться системой L условий: νi > 0, i = 1, . . . ,L. (2.4) Выражение (2.4) есть необходимое условие для определения интервала возможных значений ρN. В частности, при L = 4 система уравнений представляется в виде [8]: ν1 + ν2 + ν3 + ν4 = 1, AS 1 ν1 + AS 2 ν2 + AS 3 ν3 + AS 4 ν4 = AS, ρ1ν1 + ρ2ν2 + ρ3ν3 + ρ4ν4 = ρN, (1 - η1)ρ1ν1 - η1ρ2ν2 - η1ρ3ν3 = 0.   (2.5) Явный вид аналитического решения системы (2.5) есть ν1 = η1 [(ρ2 - ρ3)(ASρ4 - AS 4ρN)+ + (ρ4 - ρN)(AS 2ρ3 - AS 3ρ2)] /D, ν2 = [η1(ρ1 - ρ3)(AS 4ρN - ASρ4)+ + ρ1(ρ3 - ρ4)(AS 4 - AS) - (ρ4 - ρN)× ×(η1AS 1ρ3 + (1 - η1)AS 3ρ1 - AS 4ρ1)] /D, ν3 = [(ρ1 - ρ2)(η1ASρ4 - AS 4ρN)+ + ρ1(ρ2 - ρ4)(ANS - AS 4) + (ρ4 - ρN)× ×(η1AS 1ρ2 + (1 - η1)AS 2ρ1 - AS 4ρ1)] /D, ν4 = [(ρ2 - ρ3)(η1AS 1ρN - ASρ1)- - AS 2(η1ρN(ρ1 - ρ3) + ρ1(ρ3 - ρN))+ +AS 3(η1ρN(ρ1 - ρ2) + ρ1(ρ2 - ρN))] /D, D = (ρ2 - ρ3)(η1AS 1ρ4 - AS 4ρ1)- -AS 2(η1ρ4(ρ1 - ρ3) + ρ1(ρ3 - ρ4))+ +AS 3(η1ρ4(ρ1 - ρ2) + ρ1(ρ2 - ρ4)).   (2.6) Если же из эксперимента известны оценки массовых долей для (L-2)-ой, (L-1)-ой компонент, то следует потребовать выполнения следующих условий: χi = ρiνi   LX-1 j=1 ρjνj   > ηi, i = L - 2,L - 1, (2.7) поскольку в полостях ядра могут находиться до полнительные источники данных компонент, не подверженные сублимации (исключение составля ют компоненты, которые имеют дополнительные источники, например, моноксид углерода, возни кающий в коме кометы за сч¨eт фотодиссоциации более сложных химических соединений, в этом случае следует наложить обратное ограничение). Условие (2.7) следует считать достаточным усло вием для определения интервала возможных зна чений. 3. Расч¨eт коэффициента отражения плоской монохроматической электромагнитной волны от плоской диэлектрической поверхности Для численного анализа общего решения (2.2) замкнутой системы линейных уравнений (2.1) необходимо задать численные значения для вели чин тр¨eх видов: 1) массовой плотности {ρi} (i = 1, . . . ,L1) всех веществ ядра (будут взяты из дан ных наземных лабораторных исследований); 2) их массовые доли ηi (определяются по данным экспе риментальных измерений автоматических межпла нетных станций (АМС), находившихся в окрестно сти ядра); 3) сферическое альбедо ядра AS (опре деляется по данным наземных фотометрических измерений) и шара AS i из i-го вещества ядра. По следняя величина может быть рассчитана по фор мулам (1.5)-(1.6). Для вычисления AS i необходи мо знать явную зависимость коэффициента отра жения ρ(ni, θ) светового луча от плоской малой площадки поверхности шара из i-го вещества. В настоящем параграфе будет вычислен ко эффициент отражения ρ(n, θ) для неполяризован ного излучения с использованием волновых пред ставлений об электромагнитном излучении, рас пространяющемся в диэлектрических средах3. Рассмотрим процесс отражения плоской электромагнитной волны на границе двух диэлек триков с абсолютными показателями преломления n1 и n2 соответственно (см. рис. 2). Как известно, любую плоскую электромагнитную волну можно представить в виде суперпозиции двух плоских волн, в одной из которых колебания вектора ~E на пряж¨eнности электрического поля совершаются в плоскости падения, а в другой - перпендикулярно к этой плоскости. Амплитуду первой составляю щей для падающей волны обозначим через E(0) k , а для второй - E(0) ⊥ , в случае отраж¨eнной и прошед шей волн: E(r) k , E(r) ⊥ и E(t) k , E(t) ⊥ соответственно (см. рис. 2). Согласно определению, коэффициентом от ражения ρ(n, θ) световой волны называется ска лярная физическая величина, равная отношению интенсивности (I(r)) отраж¨eнной волны к интен сивности (I(0)) падающей: ρ(n, θ) = I(r) I(0) . (3.1) Интенсивность световой волны определяется квад ратом амплитуды вектора ~E : I(0) ∼ (~E(0))2 = (~E(0) k + ~E (0) ⊥ )2 = (E(0) k )2 + (E(0) ⊥ )2. Поскольку I(0) k ∼ (E(0) k )2, I(0) ⊥ ∼ (E(0) ⊥ )2, ⇒ I(0) = I(0) k +I(0) ⊥ . 3Большинство веществ, входящих в состав ядра, являются диэлектриками, например, водяной л¨eд, моноксид углерода и др. Именно поэтому величина (n, ) будет определена для диэлектрических сред. Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 23 E^ (0) E = (0) E^ (r) E = (r) E = (t) E^ (t) n1 n2 q ‘ q y Рис. 2. К определению коэффициента отражения световой волны от границы раздела двух диэлектрических сред (объяснения в тексте) Аналогично рассуждая, можно записать связь ин тенсивностей для отраж¨eнной и прошедшей волн: I(r) = I(r) k + I(r) ⊥ , I(t) = I(t) k + I(t) ⊥ , здесь I(r) k , I(r) ⊥ , I(t) k , I(t) ⊥ - интенсивности двух плос ких отраж¨eнных и прошедших волн. В итоге ко эффициент отражения можно представить в виде: ρ(n, θ) = I(r) k + I(r) ⊥ I(0) k + I(0) ⊥ . (3.2) Солнечное излучение, освещающее поверхность яд ра, является неполяризованным, поэтому все на правления вектора ~E(0) в пространстве равноверо ятны и, следовательно, E(0) k = E(0) ⊥ , тогда I(0) k = I(0) ⊥ = 1 2I(0): ρ(n, θ) = 1 2 ???? ρ⊥(n, θ) + ρk(n, θ) , где (3.3) ρk(n, θ) = I(r) k I(0) k , ρ⊥(n, θ) = I(r) ⊥ I(0) ⊥ . (3.4) Аналитическая связь между амплитудами векто ров напряж¨eнности электрической составляющей этих волн определяется формулами Френеля [12]: E(r) k E(0) k = tan(θ - ψ) tan(θ + ψ) , E(r) ⊥ E(0) ⊥ = - sin(θ - ψ) sin(θ + ψ) , (3.5) здесь θ - угол падения светового луча, ψ - угол преломления светового луча. В результате коэф фициенты отражения ρ⊥,k(n, θ) могут быть опре делены следующими выражениями: ρk(n, θ) =  E(r) k E(0) k   2 , ρ⊥(n, θ) = " E(r) ⊥ E(0) ⊥ #2 . (3.6) Вычислим ρ⊥(n, θ) как функцию показателя n пре ломления вещества и угла падения θ. Согласно (3.5) и (3.6) параметр ρ⊥(n, θ) может быть пред ставлен в виде: ρ⊥(n, θ) = sin(θ - ψ) sin(θ + ψ) 2 = sin θ cosψ - sinψ cos θ sin θ cosψ + sinψ cos θ 2 . Преобразуем последнее выражение с уч¨eтом зако на преломления светового луча: sin θ sin ψ = n2 n1 = n. (3.7) Учитывая в нашем случае, что одна из сред явля ется вакуумом (среда 1), то n1 = 1, тогда n2 = n - показатель преломления вещества ядра. Следова тельно, sin ψ = sin θ n , cosψ = p n2 - sin2 θ n . (3.8) Подставим (3.8) в выражение для ρ⊥. В результате громоздких алгебраических преобразований полу чаем следующее выражение: ρ⊥(n, θ) = 1 - 2 n2 - 1 ???? sin2 θ - 1+ + q (n2 - sin2 θ)(1 - sin2 θ) 2 . (3.9) Согласно (3.5) и (3.6) параметр ρk(n, θ) может быть представлен следующей формулой: ρk(n, θ) = tan(θ - ψ) tan(θ + ψ) 2 . (3.10) С уч¨eтом закона преломления светового луча (3.7) выражение (3.10) принимает вид: ρk(n, θ) = " n2 cos θ - p n2 - sin2 θ n2 cos θ + p n2 - sin2 θ #2 . (3.11) Выполняя громоздкие алгебраические преобразо вания с последним выражением, коэффициент ρk представляется в виде: ρk(n, θ) = - (n4 + 1) sin2 θ - n2(n2 + 1)+ +2n2 q (1 - sin2 θ)(n2 - sin2 θ) 2 × × 1 [(n2 - 1)((n2 + 1) sin2 θ - n2)]2 . (3.12) 24 Астрономия a q, !"а$ n =1,295 (%о$а) n =1,577 ('и"ок*+н) n =1,768 (оли%ин) r( q)n, r( q)n, ! q, !"а$ 0,08 0,06 0,04 0,02 1,0 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 Рис. 3. Зависимость коэффициента отражения ρ(n, θ) от угла падения θ для водяного льда (n=1,295), пироксена (n=1,577) и оливина (n=1,768) в области малых (а) (0, 45◦) и больших (б) (45◦, 90◦) значений (объяснения в тексте) Таким образом, явный вид коэффициента отражения ρ(n, θ) определяется формулами (3.3), (3.9), (3.12). Полученный результат представлен в наиболее общем виде и согласуются с альтерна тивным представлением коэффициента отражения ρ(n, θ), данным в работе [13]. Результаты числен ного анализа полученного выражения для ρ(n, θ) представлены на рис. 3 в случае водяного кометно го льда и двух наиболее распростран¨eнных (в теле ядер комет) минеральных соединений - пироксена и оливина. Важно отметить, что коэффициенты отра жения на границе ¾среда-вакуум¿ определяются как ¯ρ⊥,k(n, θ) = ρ⊥,k(n, θ) [ → = (n, ), n → 1 n ] , прич¨eм ¯ρ⊥,k(n, θ) = ρ⊥,k(n, θ), это следует из выра жений (3.5), поскольку при замене θ ↔ ψ происхо дит смена знака у отношений амплитуд векторов, при этом отношение их квадратов оста¨eтся неиз менным. 4. Расч¨eт сферического альбедо для диэлектрического шара Согласно определению (1.5) сферическое альбедо диэлектрического шара представляется в виде: AS = 1 πR2 N Z ρ(n, θ) dS cos θ. (4.1) Для дальнейших расч¨eтов выберем декартову си стему координат так, как показано на рис. 1б. Пе рейд¨eм к сферической системе координат (r, θ′, ϕ) посредством замены вида   x = r sin θ′ cosϕ, y = r sin θ′ sin ϕ, z = r sin θ′.   Для поверхности ядра имеем r = RN, прич¨eм θ′ = π - θ. Величина площади для элементарной площадки представляется как dS = r2 sin θ′dθ′ dϕ = -R2 N sin θdθ dϕ, где 0 6 ϕ 6 2π, 0 6 θ′ 6 π, 0 6 θ 6 π/2. Следовательно, сферическое альбедо шара есть AS = 1 π Z /2 0 Z 2 0 ρ(n, θ) cos θ sin θ dϕ dθ. В силу аксиальной симметрии шара относительно оси OZ подинтегральная функция в последнем вы ражении не зависит от азимутального угла ϕ, то гда AS = 2 Z 2 0 ρ(n, θ) cos θ sin θdθ. (4.2) Для вычисления последнего интеграла заметим, что ρ(n, θ) зависит лишь от sin2 θ, поэтому сдела ем замену переменных вида:   ℓ = sin2 θ, dℓ = sin 2θdθ, 0 6 ℓ 6 1.   В итоге данный интеграл представляется в виде: AS = Z 1 0 ρ(n, ℓ)dℓ. (4.3) Интеграл (4.3) легко вычисляется с использо ванием метода подстановок Эйлера [14]. C ис пользованием системы аналитических вычислений Mathematica [15] для AS был получен следующий результат: AS = 1 3(n2 - 1)2(n2 + 1)3 " 1 + 3n2 - 10n3 + 18n4- Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 25 0, 0 0 A 0 ,0 5 0,15 0, 2 0 S 0, 1 0 1,0 1,4 1, 8 2,2 n 1,2 1,6 2,0 2,4 Рис. 4. Зависимость сферического альбедо AS диэлектрического шара от показателя преломления n его вещества (объяснения в тексте) -6n5+10n6-6n7-3n8-10n9+3n10+24(n4+n8) ln[n]- -3(n2 - 4n4 + 6n6 - 4n8 + n10) ln n + 1 n - 1 # . (4.4) Численный анализ результата (4.4) выполнен авто ром и представлен в графической форме на рис. 4. Очевидно, что с ростом параметра n сферическое альбедо AS монотонно возрастает. 5. Численные результаты и их анализ Выполним численный анализ основных ана литических результатов, полученных в рамках мо дели сферического мультикомпонентного ядра (в случае L = 4) для νi, i = 1, . . . , 4 - найд¨eм интер валы возможных значений средней массовой плот ности ядра для 16-ти наиболее хорошо изученных комет. Из-за недостатка экспериментальных дан ных по всем кометам будем использовать дан ные спектрометрических исследований кометы 1P/Halley, полученных космическим аппаратом GIOTTO [16; 17], согласно которым ядро состав ляют следующие типы веществ: • льды (подавляющая часть - водяной л¨eд, η1 = 0, 45), • органические соединения (доминирующий элемент - углерод, η2 = 0, 27), • неорганические соединения (силикаты, ме таллы, η3 = 0, 28). Значения эффективного показателя прелом ления и массовой плотности указанных компонен тов представлены в табл. 1. Значения сферическо го альбедо (полученные из наблюдений) и неко торые кинематические и динамические свойства ядер представлены в табл. 2. Первичный численный анализ результатов указал на наличие сильной зависимости положе ния и величины интервала возможных значений ρN от сферического альбедо ядра AS. На ри сунке 5а-д представлены кривые зависимостей объ¨eмных долей νi, (i = 1, . . . , 4) и массовых до лей χ2, χ3 от средней массовой плотности ядра ρN для пяти значений AS. На основе полученных графических резуль татов с использованием необходимого (2.4) и до статочного (2.7) условий определяем среднее зна чение ρN и интервал е¨e возможных значений для пяти значений ANS : ρN =   343+40 -33 кг/м3, ANS = 0, 02, 513+61 -47 кг/м3, ANS = 0, 03, 688+79 -66 кг/м3, ANS = 0, 04, 860+98 -83 кг/м3, ANS= 0, 05, 1032+119 -99 кг/м3, ANS = 0, 06.   (5.1) Положение границ интервалов возможных значе ний ρN зависит от массовых плотностей ρi и эффективных показателей преломления ni компо нент в значительно меньшей степени, нежели от AS. Например, при вариации плотности водяного льда в интервале (820; 950) кг/м3, органических ве ществ (800; 2000) кг/м3, эффективных показателей преломления органических соединений в интерва ле (1, 3; 1, 7), неорганических соединений в интер вале (1, 4; 2, 0) нижняя граница интервала смеща ется не более, чем на 15 кг/м3, а верхняя грани ца - на 25 кг/м3 соответственно. Новые интервалы возможных значений для шестнадцати рассматриваемых комет пред ставлены в табл. 3. Очевидно, что в случае комет 1P/Halley, 81P/Wild 2, 9P/Tempel 1, 67P/Churyumov-Gerasimenko новые результаты уверенно согласуются с результатами как предше ственников, так и с данными экспериментальных исследований этих комет, полученными с помощью АМС. В частности, новые результаты полностью согласуются с результатами тр¨eх моделей работы [1]: модели сферического вращающегося монолит ного ядра, модели вращающегося ядра-конгломера та, модели эллиптического вращающегося моно литного ядра. Лишь в случае кометы 19P/Borelly новый алгоритм да¨eт б´ольшие значения плотно сти, нежели значения, представленные в работе [18]. 26 Астрономия Таблица 1 Основные типы веществ, составляющих тело ядра, доминирующие компоненты и их характеристики i Основные типы Доминирующий(ие) ¯n ρ, веществ компонент(ы) λ = 5 · 10-7 (м) ×103 (кг/м3) 1 л¨eд H2O-л¨eд 1,29 0,82 2 органические С 1,35 1,2 вещества 3 неорганические силикаты, металлы 1,65 3,2 вещества 4 пустоты + газ H2O-газ 1,0001 0,0 Таблица 2 Основные физические свойства некоторых периодических комет № Комета Reff, км AS TN, час ν χmax 1 1P/Halley 5,5 0, 04+0,02 -0,01 [19] 52,8/177,6 2,0 1,644 2 2P/Encke 2,4 0, 05 ± 0, 02 11,0 1,8 1,524 3 9P/Tempel 1 3,1 0, 05 ± 0, 02 41,0 1,4 1,264 4 10P/Tempel 2 5,3 0, 022 ± 0, 005 9,0 1,7 1,462 5 19P/Borrelly 2,2 0, 029 ± 0, 006 25,0 2,5 1,909 6 22P/Kopff 1,7 0, 042 ± 0, 006 12,3 1,7 1,462 7 28P/Neujmin 1 10,7 0, 03 ± 0, 01 12,75 1,5 1,331 8 31P/Schwassmann- Wachmann 2 3,1 0, 04 ± 0, 01 5,58 1,6 1,397 9 46P/Wirtanen 0,58 0, 04 ± 0, 01 7, 6 1,14 1,089 10 49P/Arend-Rigaux 4,2 0, 028 ± 0, 005 [24] 13, 47 1,6 1,397 11 67P/Churyumov-Ge- rasimenko 1,65 0, 03 ÷ 0, 05 [25] 12, 40 1,42 1,213 12 81P/Wild 2 2,1 0, 03 ± 0, 01 12, 0 1,7 1,462 13 107P/Wilson-Har- rington 1,7 0, 05 ± 0, 01 6, 1 1,2 1,129 14 P/1991 L3 Levy 8,2 0, 04 ± 0, 01 8, 34 1,3 1,196 15 C/1995 O1 (Hale Bopp) 37 0, 04 ± 0, 03 11, 34 2,6 1,957 16 C/2001 OG108 (LONEOS) 8,9 0, 030 ± 0, 005 57, 19 1,3 1,196 Примечание: данные для комет с порядковыми номерами 8, 9, 13 взяты из источника [26], остальные данные взяты из работы [6]. Здесь Reff - эффективный радиус ядра, AS - его сферическое альбедо, TN - период его вращения вокруг оси, - сжатие. Параметр max - максимальное отношение центробежной силы к силе притяжения, вычислено в работе [1]. Важно отметить, что для всех рассматрива емых комет (в отличие от моделей предшествен ников) новый алгоритм да¨eт верхнюю и нижнюю границы интервала возможных значений ρN. В случае кометы 1P/Halley новый интервал возможных значений существенно меньше интерва лов, полученных в работах [19 - 22], что является новым шагом в решении указанной проблемы. Для кометы 81P/Wild 2 (при условии ANS = 0, 04) сред нее значение ρN, см. (5.1), весьма близко к оце ночному значению 500 кг/м3, полученному по дан ным эксперимента StarDust [23], что является ещ¨e одним подтверждением работоспособности предло женной модели. Вестник молодых уч¨eных и специалистов Самарского университета. 2018. №1 (12) 27 ! a " 0,6 0,4 0,2 0 A =0,02 S A =0,03 S A =0,04 S 0,6 0,4 0,2 0 0,6 0,4 0,2 0 ni,c2,c3 ni,c2,c3 ni,c2,c3 Рис. 5. Зависимость весовых коэффициентов νi, (i=1,. . . ,4) и массовых долей χ2, χ3 от средней массовой плотности ядра ρN для пяти значений AS и набора значений параметров модели, представленных в табл. 1 (объяснения в тексте) Заключение В настоящей работе представлен новый ме тод определения интервала возможных значений средней массовой плотности ядра периодической кометы. Здесь сформулирована модель сфериче ского мультикомпонентного ядра. Представлен об щий алгоритм определения интервала допустимых значений средней массовой плотности ядра в слу чае L-компонентного ядра, в частности получе но общее решение задачи в матричном виде. В частном случае (L = 4) представлены явные вы ражения для искомых объемных долей νi (i = 1, . . . , 4), определены необходимое и достаточное условия для определения искомого интервала. В работе решены две вспомогательные задачи: вы числен коэффициент отражения плоской монохро матической электромагнитной волны от плоской диэлектрической поверхности и рассчитано сфери ческое альбедо для диэлектрического шара. С использованием данных наблюдений и полученных результатов выполнен их численный анализ на примере 16-ти наиболее подробно изу ченных комет. Показано, что полученные интерва лы в рамках нового метода уверенно согласуют ся как с прогнозами моделей вращающегося яд ра, полученными автором в предшествующей ра боте, так и с результатами предшественников, по лученными в рамках других моделей. Важно отме тить, что в случае комет 1P/Halley, 81P/Wild 2, 9P/Tempel 1, 67P/Churyumov-Gerasimenko новые результаты уверенно согласуются с данными экс периментальных исследований этих комет, выпол ненных с помощью АМС. 28 Астрономия ! " A =0,05 S A =0,06 S 0,6 0,4 0,2 0 0,6 0,4 0,2 0 ni,c2,c3 ni,c2,c3 Рис. 5 (продолжение). Зависимость весовых коэффициентов νi, (i=1,. . . ,4) и массовых долей χ2, χ3 от средней массовой плотности ядра ρN для пяти значений AS и набора значений параметров модели, представленных в табл. 1 (объяснения в тексте)

About the authors

Jury Petrovich Philippov

Samara University

Email: yuphil@mail.ru
Samara, Russia

References

Supplementary files