DETERMINATION OF THE LOWER LIMITS FOR AVERAGE MASS DENSITY AND MASS OF COMET NUCLEUS FOR SOME PERIODIC COMETS WITH THE USE OF THREE ALTERNATIVE MODELS OF A ROTATING NUCLEUS

Full Text

В настоящее время одной из фундаменталь рая в каждой фотометрической модели опреде ных проблем в изучении природы комет являет ляется по своему). Использование автоматических ся проблема определения средней массовой плотно межпланетных станций (АМС) позволило точно сти их ядер. Под средней массовой плотностью решить эту задачу лишь для ядер нескольких ко ядра (ρ ) понимается отношение массы ядра ко мет. N меты M к его объ¨ N Не менее сложной задачей является оцен N ему V , то есть M ка массы ядра. В силу малости эффектов грави N ρ = . (1) N тационного взаимодействия комет с планетами и V N их спутниками, c использованием пертурбативно Точное значение этой физической величины позво го метода можно получить лишь грубые верхние лит уточнить имеющиеся представления о струк ограничения для массы ядер некоторых коротко туре ядра, его химическом составе, определить периодических комет [1]. наиболее перспективные космогонические гипоте К настоящему моменту выполнена лишь од зы происхождения ядра. Однако на пути высо на успешная попытка мягкого приземления косми коточного определения параметра ρ существует N ческого аппарата (Philae lander) на поверхность ряд серь¨ езных трудностей. ядра кометы (67P/Чурюмова Герасименко) с це Весьма сложной задачей является определе лью проведения физико химического анализа ве ние размеров ядра, и следовательно, его объ¨ е ема. Е¨ щества его поверхности [2]. Благодаря пребыва решению препятствуют как технические сложно нию исследовательского модуля у его поверхности сти в эксперименте (огромные расстояния, отделя уч¨ еные смогли воспользоваться гравиметрическим ющие исследователей от ядра, плотная атмосфера методом определения массы ядра и точно опреде кометы), так и трудности в теории (в частности, лить среднее значение массовой плотности, кото при определении фотометрическим методом ради 3 уса ядра, последний зависит от явного аналитиче рое оказалось равным 0, 533 ±-0, 006 г/см [3]. Сегодня существует ряд методов оценки мас ского выражения для его фазовой функции, кото сы ядра кометы, основанных на моделировании сил негравитационной природы, соответствующих c Филиппов Ю. П., 2017. уточн¨ енным орбитам движения ядер и сопостав Филиппов Юрий Петрович, лении с точными данными наблюдений. К сожа (yuphil@mail.ru), лению, данные силы являются малыми, а погреш доцент кафедры общей и теоретической физики ности определения массы ядра и его плотности - Самарского университета, большими [4]. 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, 34. 6 Астрономия Именно поэтому в настоящее время для правлениях. Многие кометы в перигелии проходят определения параметра ρ периодических комет очень близко к Солнцу, а в афелии удаляются на N активно используются альтернативные косвенные миллиарды километров, но неизвестно ни одной методы его оценки [5]. В частности, один из ме кометы, которая имела бы гиперболическую отно тодов основан на моделях вращающегося сфериче сительно Солнца орбиту, то есть все они принад ского или эллиптического ядра и эксперименталь лежат Солнечной системе. ных данных для его периода осевого вращения. Кометы делят на два основных класса в за Он стал первым методом, позволившим получить висимости от периода их обращения вокруг Солн первые грубые (заниженные) оценки ρ [6]. Одна ца. Короткопериодическими называют кометы N ко до начала XXI века имелась крайне скудная с периодами обращения менее 200 лет, а долгопе информация о периодах вращения и коэффициен риодическими - с периодами более 200 лет. В тах сжатия ядер комет, и потому данный метод настоящее время обнаружено более 5880 комет, из был ограничен в использовании. них лишь около 350 являются короткопериодиче В последние годы XXI столетия получены скими. новые уточн¨ Из общего количества известных короткопе енные данные для периодов вращения ядер как известных, так и новых комет, поэто риодических комет около 200 объектов наблюда му возникает объективная необходимость в повтор лись в более чем одном прохождении перигелия. ном анализе возможных значений ρ с использо Как правило, их орбиты расположены близко к N ванием указанных моделей. плоскости эклиптики. Большинство из них входят В связи со сказанным, главной целью насто в так называемые семейства. Кометы одного се ящей работы является определение нижних огра мейства имеют афелийные расстояния, близкие к ничений для средней массовой плотности и мас значениям больших полуосей орбит планет гиган сы ядер некоторых короткопериодических комет с тов или средней точки пояса Койпера. В насто использованием тр¨ ящее время выделяют 5 основных семейств ко ех альтернативных моделей вра щающегося ядра. мет [8]: семейство Юпитера, Сатурна, Урана, Неп 1. Общие представления о кометах туна, Койпера. Комета - это малое тело Солнечной си Из всех короткопериодических комет наи стемы, состоящее из смеси нелетучих компонентов меньший период обращения у кометы 2P/Энке из и зам¨ семейства Юпитера - 3,3 года. Эта комета наблю ерзших газов, обращающееся вокруг Солнца по вытянутой орбите (эллипсу) и видимая с Зем далась максимальное количество раз при прохож ли как туманный объект [7]. При прол¨ дении перигелия: около 60 раз за два столетия. Но ете вблизи Солнца летучие составляющие ядра кометы - цен самой известной в истории человечества является тральной твердотельной части кометы - начинают комета 1P/Галлея из семейства Нептуна. Имеются е наблюдениях, начиная с 467 г. до н.э. испаряться. Это приводит к появлению газопыле записи о е¨ вой оболочки вокруг ядра - комы и кометного За это время она проходила близ Солнца 32 раза, хвоста - динамического расширения комы в меж имея средний период обращения 76,1 лет. планетное пространство. Это же явление и служит За минувшие столетия правила именования главной причиной гибели комет. Чем чаще проле комет неоднократно меняли и уточняли. До конца тает комета вблизи Солнца, тем меньше е¨ XX века большинство комет называлось по году е остав шееся время жизни. Астрономы уже неоднократно их обнаружения и фамилиям авторов их откры наблюдали процесс распада комет. тия, иногда с дополнительными уточнениями отно В телескоп комета видна как туманное пят сительно яркости или сезона года. По мере увели нышко, и е¨ чения количества открытых комет эта процедура е можно отличить по виду от какой нибудь звезды только по заметному собственному стала очень неудобной. В 1994 году Международ движению. Затем на расстояниях 3-4 а.е. от Солн ный астрономический союз одобрил новую систе ца под действием солнечного ветра у кометы начи му обозначений комет. Сейчас в название кометы нает развиваться хвост, который становится хоро входит год открытия, буква, обозначающая поло шо заметным на расстояниях, меньших 2 а.е. Яр вину месяца, в котором произошло открытие, и но кость комет очень сильно зависит от их расстоя мер открытия в этой половине месяца. Например, ния до Солнца. Из всех комет только очень малая четвертая комета, открытая во второй половине часть приближается к Солнцу и Земле настолько, февраля 2006 года, получила обозначение 2006 D4. что их можно наблюдать невооруженным глазом. Перед обозначением кометы ставят префикс, Самые заметные из них иногда называют боль указывающий на природу кометы. Используются шими (великими) кометами . следующие префиксы: Орбиты большинства комет характеризуют P/ - короткопериодическая комета; ся большими значениями эксцентриситета (ε), ши C/ - долгопериодическая комета; роким диапазоном значений большой полуоси (a) X/ - комета, для которой достоверную ор и самыми различными значениями наклонения (i) биту рассчитать невозможно (обычно для комет, орбиты к плоскости земной орбиты - обращение описанных в исторических летописях); происходит как в прямом, так и в обратном на D/ - разрушившиеся (потерянные) кометы; Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2017. №1 (10) 7 Ионный о Кома ыл ой о о Рис. 1. К определению структуры кометы (объяснения в тексте) A/ - объекты, ошибочно принятые за коме но, можно достаточно точно определить и объ¨ ем ты, в действительности оказавшиеся астероидами. ядра V . В рамках большинства задач кометной N 2. Структура кометы и основные свойства астрономии ядро кометы моделируют либо эллип е¨ е ядра соидом вращения (с полуосями a и b), либо ша Структура кометы представлена следующи 3 3V /4π. Яд N ми составляющими: ядром, комой, пылевым и ион ром с эффективным радиусом R = ра большинства известных комет характеризуются ным хвостами (см. рис. 1). относительно небольшими размерами - их эффек Ядро - это монолитное тв¨ ердое тело или тивный радиус R принадлежит интервалу: N конгломерат слабо связанных тв¨ ердых тел, имею 2 5 щее неправильную форму, состоящее из значитель 10 м 6 R 6 10 м. (2.2) N ного количества летучих космических льдов (в ос Особое положение занимают мини кометы - ма новном водяного льда) с примесями скальных по лые тела, минимальный диаметр которых может род. Практически вся масса кометы сосредоточена в е¨ енные объекты составлять O(10 м). Однако эти кометы - трудно е ядре. Ядра комет как протяж¨ наблюдаемые объекты в силу их малости. на данный момент недоступны наземным телеско 3. Ядра комет характеризуются крайне низ пическим наблюдениям, поскольку скрыты от на кими значениями массовой плотности: блюдателя весьма плотной комой, но могут наблю даться с борта АМС, пролетающей вблизи него. 2 3 3 3 N Сегодня считается общепринятым, что ядра комет 10 кг/м 6 ρ 6 1, 5 -10 кг/м . (2.3) являются остатками первичного вещества, из ко Так, при исследовании кометы 1P/Галлея в 1986 г. торого сформировалась Солнечная система, явля с помощью АМС была определена масса ядра - 14 е размеры - 15 ×-8 ×-8 км ющегося переходной ступенью к межзв¨ 2, 2 -10 кг [10] и е¨ ездному е сред веществу. Именно поэтому исследование ядер ко [11]. Это позволило определить значение е¨ 3 мет поможет ответить на многие вопросы космого ней массовой плотности, равное 600 кг/м . нии Солнечной системы и восстановить картину 4. Главной характеристикой отражательной формирования планет, включая Землю [9]. способности поверхности ядра является его сфери (S) К основным характеристикам ядра кометы ческое альбедо (A ) - отношение потока света, N следует отнести массу, размеры, среднюю массо отброшенного ядром в космическое пространство, вую плотность, альбедо, пористость. к потоку света, падающего на ядро. Ядра комет 1. В настоящее время массы ядер комет имеют очень низкие значения альбедо: определяются крайне трудно, с большими погреш (S) 0, 02 6 A 6 0, 06. (2.4) ностями, поэтому разумно говорить о некотором N интервале, которому принадлежат значения масс 5. Кометное вещество является пористым и всех известных комет - от гигантских до карли неоднородным. Для адекватного описания неодно ковых. Согласно данным П. Г. Куликовского [7], родностей в теле ядра традиционно используют указанный интервал представляется в виде: пористость (η ) - характеристику тв¨ V ердого те 11 17 ема (V 10 кг 6 M 6 10 кг. (2.1) ла, определяемую как отношение объ¨ ), N cav приходящегося на полости (поры), к общему 2. Ядро кометы традиционно имеет непра объ¨ ), занимаемому телом: ему (V tot вильную форму, основные размеры которого мож но определить по фотографиям высокого разреше V cav η = . (2.5) ния, полученным с помощью АМС. Следователь V V tot 8 Астрономия a Рис. 2. К определению: a) модели вращающегося однородного сферического ядра; б) сил, действующих на пробное тело P (объяснения в тексте) Пористость является безразмерной величиной и ядро - пробное тело . может принимать значения от 0 до 1 (от 0 до 1. Ядро кометы будем представлять одно 100 %). Пористость кометного ядра, как правило, родным шаром (см. рис. 2а) c радиусом R , мас N находится в диапазоне сой M , вращающимся с периодом T . Тогда его N N 4 3 объ¨ N π R , ем представляется выражением V = 3 N 0, 1 6 η 6 0, 80. (2.6) V а средняя массовая плотность ядра, согласно (1), Наиболее вероятным значением является η = V есть 3 M 0, 30. N ρ = . (3.1) N 3 Кома - окружающая ядро газо пылевая обо 4πR N 5 7 лочка. Размеры комы составляют 10 -10 км. Дав 2. Выберем декартову систему координат, ление света может деформировать кому, вытянув ж¨ естко связанную с телом ядра шара так, чтобы е¨ ось вращения ядра совпала с осью OZ, а направле е в направлении от Солнца. Кома вместе с ядром составляет голову кометы. Кома по своей струк ние последней - с направлением вектора угловой туре неоднородна, поэтому в ней выделяют три скорости ядра . ω N основные части: 1) внутреннюю (молекулярную), 3. Пробное тело малых размеров с массой 2) видимую (кому радикалов) и 3) ультрафиоле ∆m будем моделировать материальной точкой P . товую (атомную) комы. Его положение на поверхности ядра будем опре Хвост - динамическое расширение комы ко делять радиусом вектором r , который в сфериче p меты в межпланетное пространство. Он возникает ских координатах представляется в виде: при приближении кометы к Солнцу в результате r = (R cos ϕ sin θ , R sin ϕ sin θ , R cos θ ), одновременного действия сил тяготения и давле N p p N p p N p p ний электромагнитного и корпускулярного излуче здесь θ , ϕ - зенитный и азимутальный углы точ ний Солнца. Хвост всегда лежит в плоскости ор p p ки P . биты самой кометы и у большинства направлен Рассмотрим взаимодействие ядра кометы с от ядра в сторону, противоположную Солнцу (см. пробным телом (материальной точкой Р), находя рис. 1). Форма хвоста для разных комет может щимся на его поверхности в точке, радиус вектор сильно различаться. Его длина может составлять r . В системе отсч¨ естко связанной с 5 9 которой ета, ж¨ от 10 км до 10 км. p телом ядра, данная материальная точка покоится, У хвостов отсутствуют резкие границы, по а сама система является неинерциальной, посколь скольку они состоят из разреженного газа и пы ку участвует во вращательном движении вместе с ли. Ионный хвост кометы виден только потому, ядром относительно дал¨ езд. На точку P, еких зв¨ что газ, из которого он состоит, светится благода находящуюся на поверхности ядра, действуют 3 ря ионизации ультрафиолетовыми лучами и после силы (см. рис. 2б ): 1) сила тяготения F , направ дующей рекомбинации, а пылевой хвост - благода at ря рассеиванию солнечного света на микрочасти ленная к центру ядра, 2) центробежная сила F , c цах пыли. направленная от оси вращения ядра, и 3) сила ре 3. Модель вращающегося однородного акции поверхности ядра N . Поскольку относитель сферического ядра и определение первого но ядра и, следовательно, выбранной системы от ета материальная точка P покоится, то сумма нижнего ограничения для ρ сч¨ N Сформулируем модель физической системы всех сил, приложенных к точке, должна быть рав Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2017. №1 (10) 9 на нулю: 4. Модель вращающегося сферического ядра конгломерата и определение второго F + F + N = 0, ⇒-N = -(F + F ). at c at c (3.2) нижнего ограничения для ρ N При этом модуль силы реакции есть Рассмотрим обозначенную модель. 1. Ядро кометы есть шар радиуса R и c N 2 2 F + F + 2(F -F ). N = at (3.3) массой M , вращающийся с периодом T вокруг c at c N N неподвижной оси (см. рис. 3а). Данный шар не яв Силу притяжения и центробежную силу можно ляется однородным телом, а представляет собой представить в виде: множество малых сферических частиц, стянутых G∆m M 2 воедино в шар силами гравитационного взаимодей N F = -- r , F = ∆m ω at c r , (3.4) p N 1 3 ≪-R . r ствия. При этом радиус любой частицы r N N p 2. Частицы ядра находятся лишь в меха где G - универсальная гравитационная постоян ническом контакте друг с другом. Прилипанием, ная, --→- N - угловая ско r = O P (см. рис. 2б ); ω 1 1 спеканием и другими эффектами, обусловленными рость вращения ядра, определяемая выражением электромагнитным взаимодействием, будем прене вида: брегать. 2π ω = . (3.5) Рассмотрим вращение ядра конгломерата во N T N круг неподвижной оси. Следовательно, оно долж В итоге, величину силы реакции можно предста но обладать кинетической энергией: вить в виде: 1 2 ω , 1 --(2χ --χ ) cos θ , N (θ ) = F 2 2 p (3.6) T = 2 I-N (4.1) N p at где N 2 3 где I-- момент инерции шара вокруг неподвиж G∆m M F 4π R ной оси, который представляется в виде [12]: N c N F = , χ = = . (3.7) at 2 2 R F G M T at N N N 2 2 I-= N M R . (4.2) N N При записи выражения (3.6) было учтено, что 5 2 2 | |-= R cos θ и r N p С другой стороны, система взаимно тяготеющих r N p r - = R cos θ . 1 p 1 Очевидно, подкоренное выражение в (3.6) частиц обладает собственной гравитационной по всегда есть величина неотрицательная. Определим min тенциальной энергией, которую можно предста θ , при котором N (θ ) достигает минимального p p вить в виде [13]: значения. Для этого исследуем данную функцию на экстремум: 2 3 G M N U = -- dN F 2 cos θ sin θ . (4.3) at p p 5 R dθ = -- 2 2 p = 0, ⇒- N 1 + (χ --2χ) cos θ p 2 Следовательно, полная механическая энергия си π θ = 0,±- p . стемы есть: 2 min = F |1--χ|. Та Очевидно, что при θ = 0, N at 1 3 2 p min 2 2 G M N E = T + U = N N N . (4.4) ким образом, сила реакции достигает минималь tot 5 M R ω -- R 5 N ного значения на экваторе ядра кометы. При χ > 1 сила реакции поверхности исче Для того чтобы ядро конгломерат было устойчи зает из за превосходства центробежной силы над вой механической системой, его полная механиче силой притяжения, и материальная точка (проб ская энергия должна быть не больше нуля (кри ное тело) отрывается от поверхности ядра кометы. терий Джинса), то есть В действительности этого не происходит (в про 2 тивном случае, ядро бы разрушалось к настояще 1 2 2 3 G M N M R ω -- N N N 6 0, (4.5) му моменту), следовательно, имеет место неравен 5 5 R N ство: 2 3 откуда следует, что 4π R N 6 1. χ 6 1, ⇒- N 2 (min) (min) π G M T N ρ > ρ , где ρ = . (4.6) N N 2 N 2 2 С уч¨ G T етом выражения (3.1), последний результат N представляется в виде: Таким образом, в рамках модели ядра конгломера (min) (min) 3π ρ > ρ , где ρ = . (3.8) та минимально возможная массовая плотность N N 1 N 1 2 G T (min) N ядра ρ также зависит лишь от его перио N 2 (min) (min) Таким образом, в рамках настоящей модели ми да вращения (T ), прич¨ = 3ρ . Следо N ем ρ N 1 N 2 нимально возможная массовая плотность ядра вательно, модель однородного сферического ядра (min) ρ зависит лишь от его периода осевого вра да¨ N в 3 раза более высо N 1 ет нижний предел для ρ щения (T ) и не зависит от его размеров. кий, нежели модель ядра конгломерата. N 10 Астрономия w ‘ Z O Y b P n q O j X a a a Рис. 3. К определению: a) вращающегося сферического ядра конгломерата; б) вращающегося однородного эллипсоидального ядра (объяснения в тексте) 5. Модель вращающегося однородного составляющим правый винт с направлением его эллипсоидального ядра и определение вращения и определяемым координатами: третьего нижнего ограничения для ρ N 1 Сформулируем модель физической системы n = λ cos ϕ sin θ ,  x n n  ядро - пробное тело . n     1. Ядро кометы будем представлять одно n = 1 sin ϕ sin θ ,  (5.5) y n n , λ родным эллипсоидом вращения с полуосями a ×- n   ×-a ×-b, (b < a) и массой M , вращающимся с n = ν cos θ    периодом T ′ N z λ n  N вокруг оси OO (см. рис. 3б ). Учи n 4 2 тывая, что объ¨ ell π a b, где ем эллипсоида равен V = 3 1 --(1 --ν ) cos θ . следовательно, среднюю массовую плотность ядра, λ = 2 2 n n согласно (1), можно представить в виде: 5. Проекции силы притяжения (на оси де 3 M картовой системы координат), действующей на ма N ρ = . (5.1) N 2 4πa b териальную точку P со стороны однородного эл 2. Пробное тело малых размеров с массой липсоида, можно представить в виде [13]: ∆m будем моделировать материальной точкой P . 3 G∆m M I-x , at x  2   ж¨ 3. Выберем декартову систему координат, F = -- N 1 p  естко связанную с телом эллипсоида так, как по   казано на рис. 3б : оси OX , OY ориентируем вдоль at y 3 N 1 p  (5.6) , F = -- 2 G∆m M I-y , б´ ольших осей эллипсоида длиной 2a, а ось OZ -    вдоль малой оси, длиной 2b. Положение матери at z 3 N 2 p  G∆m M I-z ,  2 альной точки P на его поверхности будем опреде F = --  лять радиусом вектором где r , декартовы координа p ∞ ds ты которого могут быть представлены в терминах I-= 2 2 2 , (5.7) 1 1/2 обобщ¨ 0 (a + s) (b + s) енных сферических координат (θ, ϕ) [14]: ∞  x = a cos ϕ sin θ, ds p I-=  2 . (5.8) 2 2 3/2 y = a sin ϕ sin θ, , (5.2) 0 (a + s)(b + s) p z = b cos θ, p  Рассмотрим взаимодействие ядра кометы с при этом модуль вектора есть пробным телом (далее материальной точкой Р) 2 2 массой ∆m, находящимся на его поверхности в r = a (5.3) p 1 --(1 --ν ) cos θ, точке с координатами, определяемыми системой здесь ν - коэффициент сжатия эллипсоида - па (5.2). В системе отсч¨ естко связанной с те ета, ж¨ раметр, характеризующий степень его сплюснуто лом ядра, данная материальная точка покоится, сти и представляемый формулой а сама система является неинерциальной. b Как и в случае модели вращающегося одно ν = . (5.4) a родного сферического ядра, на материальную точ 4. Ориентацию в пространстве оси враще ку P действуют три силы (см. параграф 3), для ния ядра будем задавать единичным вектором которых по прежнему справедливы выраже n, Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2017. №1 (10) 11 N ‘ Z O F c P r 1 Y r r p 2 n F at O X Рис. 4. К определению ориентации сил, действующих на материальную точку P , в модели вращающегося однородного эллипсоидального ядра (объяснения в тексте) ния (3.2)-(3.5). виде: Согласно рис. 4, вектор 2 2 r можно предста 1 вить в виде r r r кол ctg θ = x B(ν + x ) ,  r = -- . Поскольку вектор 2 -- 2 1 p 2 2 ν ν x  (5.13)  линеарен вектору 2 2 2  n, то его можно представить в , ν A(ν + x ) виде: r на на r = α n, где α - проекция вектора  -- 2 2 tg θ = x x  правление r перпендикулярен оси вра  n. Вектор 1 щения, а следовательно, вектору где n, тогда их ска лярное произведение равно нулю: 3 2 3 1 x = tg θ , A = 1 -- , B = 1 -- , n J- J- p n p n. 2 χ 2 χ r - r - --α( n) = 0, ⇒-α = 1 n = 0, ⇒- n - r - 2 3 В итоге, центробежную силу можно представить 4 π a χ = , (5.14) в виде: 2 G M T N N 2 ∞ F = ∆m ω ( p n) n), (5.9) dy r - -  c N r --( 1 3 1 = p   (1 + y) y + ν Ради простоты вычислений и не теряя общности J-= a I-= 0 2 2    рассуждений, будем полагать далее, что ось вра = arccos ν ν 2    2 1 --ν  (1 --ν ) щения ядра лежит в плоскости OX Z, при этом 2 3/2 -- , где y = s/a ,  . (5.15) ϕ = 0. Наибольших значений центробежной силы 2 3 2 ∞ dy =  n   (1 + y)(y + ν ) для материальной точки P следует ожидать при J-= a I-= 0 2 3/2    ϕ = π, поскольку соответствующие точки поверх 2 2 arccos ν     ности эллипсоида здесь максимально удалены от = 2 -- 2 3/2  оси вращения. Значит, в этой же плоскости, преж ν(1 --ν ) (1 --ν )  Перемножим уравнения (5.13) с уч¨ етом (5.1), де всего, должно достигаться равенство нулю век (5.14) и выразим среднюю массовую плотность яд торной суммы силы притяжения и центробежной ра из полученного уравнения: силы. Рассмотрим данную предельную ситуацию в 2 2 (x + (J-/J-)ν ) терминах проекций: 2 1 2 1 ρ = , N 2 2 3 2 (x + ν ) F + F = 0, F + F = 0, CJ- at x c x at z c z 2 здесь C = G ν T /(3 π). Численный анализ отно или N 2 1 3 2 шения интегралов J-/J-на интервале (0, 1) зна N 1 n n N 2 G M I-sin θ = ω (sin θ + (θ, θ ) sin θ ), (5.10) чений ν показал, что оно всегда больше едини цы. Нетрудно видеть, что в этом случае функция 3 2 G M I-cos θ = ω (cos θ -- (θ, θ ) cos θ ), (5.11) N N 2 n n ρ (x) является монотонно убывающей на интерва N 2 где ле (0,∞). Следовательно, максимальное значение этой функции достигается при x = 0 (при θ = 0, n 1 2 (ν cos θ cos θ --sin θ sin θ ). (5.12) (θ, θ ) = n n то есть когда ось вращения ядра совпадает с осью n 2 λ n его симметрии). Выразим из уравнения (5.10) ctg θ, а из (5.11) - При этом, согласно (5.13), материальная tg θ и представим итоговые для них выражения в точка должна находится на экваторе ядра (то есть 12 Астрономия Таблица 1 Некоторые свойства ядер 14 ти короткопериодических и двух долгопериодических комет № Комета R , км T , час 1/ν N N 1 1P/Halley 5,5 52,8/177,6 2,0 2 2P/Encke 2,4 11,0 1,8 3 9P/Tempel 1 3,1 41,0 1,4 4 10P/Tempel 2 5,3 9,0 1,7 5 19P/Borrelly 2,2 25,0 2,5 6 22P/Kopff 1,7 12,3 1,7 7 28P/Neujmin 1 10,7 12,75 1,5 8 31P/Schwassmann Wachmann 2 3,1 5,58 1,6 9 46P/Wirtanen 0,58 7, 6 1,14 10 49P/Arend Rigaux 4,2 13, 47 1,6 11 67P/Churyumov-Gerasimenko 1,65 12, 40 1,42 12 81P/Wild 2 2,1 12, 0 1,7 13 107P/Wilson Harrington 1,7 6, 1 1,2 14 P/1991 L3 Levy 8,2 8, 34 1,3 15 C/1995 O1 (Hale Bopp) 37 11, 34 2,6 16 C/2001 OG108 (LONEOS) 8,9 57, 19 1,3 Примечание: данные для комет с порядковыми номерами 8, 9, 14 взяты из источника [15], c номером 11 - из [16], [17], остальные данные взяты из работы [5]. ◦ θ = 90 ). В итоге, нижнее (третье) ограничение на Исходные данные наблюдений комет пред среднюю массовую плотность ядра в рамках дан ставлены в табл. 1. В табл. 2 отражены вычис ной модели можно представить в виде: ленные значения для нижних ограничений сред 2 3/2 ней массовой плотности ядер тех же 16 ти комет, 2π (1 --ν ) (min) 2 1 ρ = 3 1 = 2 √- 2 . (5.16) полученные автором данной работы в рамках тр¨ N 3 ех CJ- G T ν(arccos ν --ν 1 --ν ) моделей: N 6. Определение нижнего ограничения для 1) вращающегося однородного сферического массы ядра ядра (далее - модель № 1), 2) вращающегося сфе Зная нижнюю границу для средней массо рического ядра конгломерата (далее - модель № 2) вой плотности ядра кометы, можно вычислить его и 3) вращающегося однородного эллипсоидального минимальную массу: ядра (далее - модель № 3). (6.1) = ρ V , M (min) Очевидно, что численные значения, предска min N N занные в рамках модели № 3, являются наиболь при этом следует полагать, что шими среди результатов тр¨ ех моделей. Последние (min) (min) (min) (min) ρ , ρ , ρ следует считать наиболее точными, поскольку они N = max{ρN 1 N 2 N 3 }, получены в рамках наиболее общего подхода к по а объ¨ ем ядра определяется либо формулой для иску ограничений на ρ . N объ¨ ема эллип ема шара, либо формулой для объ¨ В последнем столбце табл. 2 представлены соида вращения (представлены выше). для сравнения области допустимых значений сред 7. Численные результаты и их анализ ней массовой плотности ядер, полученные в рам Выполним численный анализ основных ана ках других моделей определения ρ . Очевидно, N литических результатов (3.8), (4.6), (5.16), (6.1) что в большинстве случаев результаты настоящей данной работы на примере 16 ти комет с известны работы существенно ниже значений предшествен ми большой полуосью (эффективным радиусом), ников, что является общей особенностью всех мо коэффициентом сжатия ν и периодом вращения делей вращающегося ядра. T . N Вестник молодых ученых и специалистов Самарского университета. 2017. №1 (10) 13 Однако, в случае быстро вращающихся и derived from non gravitational forces // Mon. Not. сплюснутых ядер, например, 31P/Schwassmann R. Astron. Soc. 2009. Vol. 393 (1). P. 192-214. Wachmann 2, новые результаты уверенно со 5. Jewitt D. Kuiper Belt and Comets: гласуются с оценками предшественников. Кро An Observational Perspective // Trans neptunian ме того, в случае нескольких комет (например, objects and comets Saas Fee Advanced Courses. 107P/Wilson Harrington) оценки нижних ограниче ний для массовой плотности, полученные в настоя Springer Verlag Berlin Heidelberg, 2008. Vol. 35. щей работе, являются единственными известными P. 1-78. значениями, поскольку прочие модели определе 6. Jewitt D., Meech K. Optical Properties of ния ρ не применимы из за отсутствия необходи N Cometary Nuclei and a Preliminary Comparison with мых данных наблюдений. Asteroids // Ap. J. 1988. Vol. 328. P. 974-986. В шестом столбце табл. 2 представлены ми нимальные возможные значения массы ядра (вы 7. Куликовский П. Г. Справочник любителя (min) численные с использованием ρ ) для тех же ко астрономии. М.: Либроком, 2014. 704 с. N 3 мет. На примере полученных результатов очевид 8. Голубев В. А. Статистические особенно 11 но, что M N min заключено в пределах от 1, 63 10 сти периодических комет. URL: http://www.nevski. 16 до 2, 99 -10 кг. Там же представлены вычислен belastro.net/articles/stgol_st.html (дата обращения: ные значения χ , определяемые условием (5.14). max Заключение 07.06.2017). В настоящей работе дан обзор современных 9. Астрономия: век XXI // cост. В. Г. Сур представлений о природе комет. Особое внима дин. Фрязино: Век 2, 2008. 608 c. ние здесь уделено основным свойствам ядер ко 10. Cevolani G., Bortolotti G., Hajduk A. мет. Сформулированы модели 1) вращающегося Halley comet’s mass loss and age // Nuovo Cimento однородного сферического ядра, 2) вращающего ся сферического ядра конгломерата и 3) враща C. 1987. Vol. 10 (5). P. 587-591. ющегося однородного эллипсоидального ядра. В 11. What Have We Learned About рамках указанных моделей с использованием зако Halley’s Comet? Astronomical Society of нов механики были вычислены три альтернатив the Pacific. 1986. 16 December 2008. URL: ных нижних ограничения для средней массовой http://www.astrosociety.org/edu/publications/tnl/06/ плотности и массы ядра кометы. С использовани ем данных наблюдений для 16 ти комет выполнен 06.html. (дата обращения: 08.06.2017). численный анализ полученных результатов. Пока 12. Маркеев А. П. Теоретическая механика. зано, что численные значения искомых величин, М.: ЧеРо. 1999, 572 c. предсказываемые в рамках модели эллипсоидаль 13. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Ос ного ядра, являются наибольшими по значению и новные задачи и методы. М.: Наука, 1968. 800 с. наиболее точными. Показано также, что в случае 14. Выгодский М. Я. Справочник по выс комет с малыми периодами осевого вращения но шей математике. М.: Большая Медведица, Элиста вые ограничения уверенно согласуются с оценками Джангар, 1998. 920 с. плотности и массы, полученными в рамках других моделей. Провед¨ 15. Meech K. J. Comet Rotation. URL: енный анализ на примере 16 ти рассматриваемых комет показал, что нижнее огра http://www.ifa.hawaii.edu/meech/rot.html. (дата об ничение для массы ядра кометы заключено в ин ращения: 08.06.2017). 11 16 тервале от 1, 63 -10 до 2, 99 -10 кг. 16. Aphelion observations of the nucleus of

About the authors

Jury Petrovich Philippov

Samara University

Email: yuphil@mail.ru
443086, Russia, Samara, Moscovskoye shosse, 34

References

Supplementary files