Сhoosing the motion initial conditions and sustainability research inspection motion in small elliptic orbits

Full Text

В настоящее время активно используется групповой полёт космических аппаратов (КА). Интерес к этой технологии обусловлен тем, что она позволяет расширить круг научно-исследовательских и прикладных задач. Группировка КА способна нести научные приборы, эффективность которых возрастает при их единовременном использовании в разных точках пространства. Близко-летящие КА могут решать задачу инспекции, которая важна при построении сложных модульных объектов на орбите и детектировании космического мусора. При использовании группы КА, возрастает общая надежность миссии, так как выход из строя одного КА не приводит к её нештатному завершению. Одной из основных трудностей, возникающей при групповом полёте является поддержание заданной формации, в которой расстояние между КА может составлять от нескольких сотен метров до десятков километров. Из-за необходимости поддержания таких небольших расстояний возрастают требования к системе управления. Для решения этой задачи разрабатываются специальные подходы сохранения формации КА. Одним из таких подходов является подбор начальных орбитальных параметров движения, при котором геометрическая форма группировки КА сохраняется в допустимых пределах на конечном интервале времени при пассивном движении. Такой подход особенно актуален для задач, в которых один КА совершает облёт другого по инспекционному эллипсу. Возможность реализации замкнутых относительных траекторий показана в [1]. В работе [2] используются модель относительного движения, при условиях, что поле притяжения Земли центральное, а расстояние между КА мало, относительно орбитального радиус-вектора, инспектируемого КА. При такой постановке относительное движение будет описываться уравнениями Хилла и иметь аналитическое решение, позволяющие реализовать замкнутый инспекционный эллипс. Основными возмущающими факторами, влияющие на изменение геометрической формы группы КА являются эллиптичность орбит и вторая зональная гармоника, которые не позволяют использовать решения уравнений Хилла [3].

 

Рис. 1. Орбитальная система координат и номинальный инспекционный эллипс

 

В [4] рассматривается подбор начальных условий движения в нормальное поле притяжения. Полученный результат позволяет сформулировать рекомендации по выбору начальных условий и реализовать пассивное инспекционное движение продолжительностью более 40 суток без учета эллиптичность орбиты инспектируемого (базового) КА (КА_Б). В данной работе рассматривается формация из двух КА, КА-инспектор (КА_И) совершает облет КА_Б по инспекционному эллипсу. Особенностью работы является вывод начальных условий движения, при которых относительная траектория будет замкнутой, при движении в центральном поле притяжения, с учетом малой эллиптичности орбиты КА_Б.

Постановка задачи

В работе рассматривается относительное движение двух КА, в одной орбитальной плоскости. КА_И движется по инспекционному эллипсу, в центре которого находится базовый КА_Б. Движение рассматривается в Орбитальной системе координат (ОСК) ось OX направлена по радиусу-вектору , ось OY лежит в плоскости орбиты КА_Б и направлена в сторону его движения, а ось OZ дополняет систему координат до правой (рис. 1а).

Движение КА_И в ОСК в центральном поле и с учетом эллиптичности орбиты КА_Б описывается системой уравнений [5]:

$\ddot{x}={\ddot{\theta }}_{Б}y+{{\dot{\theta }}^2}_{Б}x+2{\dot{\theta }}_{Б}\dot{y}+\frac{\mu }{r_{Б}^2}-\frac{\mu }{{\left[{(r_{Б}+x)}^2+y^2+z^2\right]}^{\frac{3}{2}}}\left(r_{Б}+x\right)$

$\ddot{y}=-{\ddot{\theta }}_{Б}x+{{\dot{\theta }}^2}_{Б}y-2{\dot{\theta }}_{Б}\dot{x}-\frac{\mu }{{\left[{(r_{Б}+x)}^2+y^2+z^2\right]}^{\frac{3}{2}}}y$

$\ddot{z}=-\frac{\mu }{{\left[{(r_{Б}+x)}^2+y^2+z^2\right]}^{\frac{3}{2}}}z$

${\ddot{r}}_{Б}=r_{Б}{\dot{\theta }}_{Б}^2-\frac{\mu }{r_{Б}^2}$

${\ddot{\theta }}_{Б}=-\frac{2{\dot{r}}_{Б}{\dot{\theta }}_{Б}}{r_{Б}}$ (1)

где

${\dot{\theta }}_{Б}=\sqrt{\frac{\mu }{a_{Б}^3}}\frac{{(1+e_{Б}\cos {\theta }_{Б})}^2}{{(1-e_{Б}^2)}^{\frac{3}{2}}}$ - угловая скорость движения по орбите КА_Б;

${\dot{r}}_{Б}=e_{Б}\sin {\theta }_{Б}\sqrt{\frac{\mu }{a_{Б}\left(1-e_{Б}^2\right)}}$ - скорость изменения радиус-вектора КА_Б;

$\mu$ - гравитационный параметр Земли.

Если рассмотреть движение КА_Б по круговой орбите и принять допущение о том, что расстояние между КА мало по сравнению с радиус-вектором, то система (1) преобразуется в систему уравнений Хилла и будет иметь аналитическое решение [6], из которого можно получить условия для реализации замкнутого инспекционного эллипса, период движения по которому будет равен орбитальному, а большая полуось будет вдвое больше малой (рис. 1 б). В центре инспекционного эллипса располагается КА_Б, а вектор начальных условий движения КА_И должен иметь вид [6]:

${\overrightarrow{\rho }}_{иo}= {\left(x_o,y_o\mathrm{,0,}{\dot{x}}_o=\frac{y_o{\dot{\theta }}_o}{2},{\dot{y}}_o= -2x_o{\dot{\theta }}_o, 0\right)}^{Т}$ (2)

В данной работе эллипс, получаемый с использованием (2) называется номинальный инспекционный эллипс (НИЭ). А сами начальные условия называются - начальные условия Хилла.

Квазипериодическое инспекционное движение

Под квазипериодическим инспекционным движением (КИД) понимается такое, при котором КА_И двигается по замкнутой относительной траектории вокруг КА_Б в центральном поле притяжения и с учётом эллиптичности орбиты КА_Б. В основе создания КИД между двумя КА, лежит идея соизмеримости орбитальных энергий, это позволяет сформулировать начальные условия для нелинейной системы уравнений относительного движения (5). Предположим, что орбитальные энергии движения обоих КА равны:

$\Delta E=E_{Б}-E_{И}=0$ (3)

Выведем начальные условия для КИД при круговой орбите КА_Б, рассматривая плоское движение. Полная энергия КА_И и КА_Б [7]:

$E_{Б}=\frac{1}{2}{\left({\dot{\theta }}_{Б}{r}_{Б}\right)}^2-\frac{\mu }{r_{Б}}$(4)

$E_{И}=\frac{1}{2}{\left(\dot{x}-{\dot{\theta }}_{Б}y\right)}^2+\frac{1}{2}{\left[\dot{y}+{\dot{\theta }}_{Б}\left(r_{Б}+x\right)\right]}^2-\frac{\mu }{\sqrt{{\left(r_{Б}+x\right)}^2+y^2}}$ (5)

Подставляя (4) и (5) в (3) получим обобщённое условие КИД:

$\frac{1}{2}{\left(\dot{x}-{\dot{\theta }}_{Б}y\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(\dot{y}+{\dot{\theta }}_{Б}x\right)}^2+{\dot{\theta }}_{Б}{r}_{Б}\left(\dot{y}+{\dot{\theta }}_{Б}x\right)+\left[\frac{\mu }{r_{Б}}-\frac{\mu }{\sqrt{{\left(r_{Б}+x\right)}^2+y^2}}\right]=0$(6)

Допустим, что КА_И начинает движение из точки C (рис. 1 б), тогда (2) преобразуется:

${\overrightarrow{\rho }}_{иo}\left(C\right)= {\left(x_0\ne \mathrm{0,}{y}_0=\mathrm{0,}{\dot{x}}_0=\mathrm{0,}{\dot{y}}_0= -2x_0{\dot{\theta }}_{Б}\right)}^{Т}$(7)

Чтобы получить начальные условия движения, соответствующие замкнутой относительной траектории, подставим (7) в (6). Решая квадратное уравнение, найдём
корни :

${\dot{y}}_0=-{\dot{\theta }}_{Б}\left(r_{Б}+x_0\right)\pm$

$\pm \sqrt{{\dot{\theta }}_{Б}^2{\left(r_{Б}+x_0\right)}^2-\left[{\left({\dot{x}}_0-{\dot{\theta }}_{Б}{y}_0\right)}^2+{\dot{\theta }}_{Б}^2{x}_0\left(2r_{Б}+x_0\right)+2\left(\frac{\mu }{r_{Б}}-\frac{\mu }{\sqrt{{\left(r_{Б}+x_0\right)}^2+{y_0}^2}}\right)\right]}$(8)

Выражение (8) назовём обобщённым начальным условием для круговых орбит. Оно позволяет реализовать КИД с помощью подбора начальных условий движения для точки C (рис.1 б). Исследуя подкоренное выражение (8), можно наложить ограничения на область значений начальных условий движения:

$x_0\le \frac{{\dot{\theta }}^2{r}_{Б}^4}{2\mu -{\dot{\theta }}^2{r}_{Б}^3}$(9)

В рассматриваемой постановке задачи это условие выполняется для всех орбит и для всех размеров инспекционных эллипсов.

Выведем начальные условия для КИД при малой эллиптичности орбиты КА_Б, рассматривая плоское движение. Полная энергия КА_И и КА_О будет:

$E_{Б}=\frac{1}{2}{\left({\dot{\theta }}_{Б}{r}_{Б}\frac{e_{Б}\sin {\theta }_{Б}}{1+e_{Б}\cos {\theta }_{Б}}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left({\dot{\theta }}_{Б}{r}_{Б}\right)}^2-\frac{\mu }{r_{Б}}$(10)

$E_{И}=\frac{1}{2}{\left(\dot{x}-{\dot{\theta }}_{Б}y+{\dot{\theta }}_{Б}{r}_{Б}\frac{e_{Б}\sin {\theta }_{Б}}{1+e_{Б}\cos {\theta }_{Б}}\right)}^2+\frac{1}{2}{\left[\dot{y}+{\dot{\theta }}_{Б}\left(r_{Б}+x\right)\right]}^2-\frac{\mu }{\sqrt{{\left(r_{Б}+x\right)}^2+y^2}}$ (11)

Подставляя (10) и (11) в (3) получим обобщённое условие КИД:

$\frac{1}{2}{\left(\dot{x}-{\dot{\theta }}_{Б}y\right)}^2+\frac{1}{2}{\left(\dot{y}+{\dot{\theta }}_{Б}x\right)}^2+{\dot{\theta }}_{Б}{r}_{Б}\left(\dot{y}+{\dot{\theta }}_{Б}x\right)+{\dot{\theta }}_{Б}{r}_{Б}\frac{e_{Б}\sin {\theta }_{Б}}{1+e_{Б}\cos {\theta }_{Б}}\left(\dot{x}-{\dot{\theta }}_{Б}y\right)+$

$+\left[\frac{\mu }{r_{Б}}-\frac{\mu }{\sqrt{{\left(r_{Б}+x\right)}^2+y^2}}\right]=0$(12)

Подставляя (6) в (12) получим квадратное уравнение. Найдем корни для :

${\dot{y}}_0=-{\dot{\theta }}_{Б}\left(r_{Б}+x_0\right)\pm \sqrt{{\dot{\theta }}_{Б}^2{\left(r_{Б}+x_0\right)}^2-\left({\dot{x}}_0-{\dot{\theta }}_{Б}{y}_0\right)\left[\left({\dot{x}}_{Б}-{\dot{\theta }}_{Б}{y}_0\right)+2{\dot{\theta }}_{Б}{r}_{Б}\frac{e_{Б}\sin {\theta }_{Б}}{1+e_{Б}\cos {\theta }_{Б}}\right]}-$

$-\sqrt{2\left[\frac{\mu }{r_{Б}}-\frac{\mu }{\sqrt{{\left(r_{Б}+x_0\right)}^2+{y_0}^2}}\right]-{\dot{\theta }}_{Б}^2{x}_0\left(2r_{Б}+x_0\right)}$(13)

Выражение (13) назовём обобщённым начальным условием для орбит малой эллиптичности. Ограничения, налагаемые на начальные условия движения наличием квадратного корня, совпадают с (9).

Линеаризуя (12), можно получить обобщенное условие квазипериодического относительного движения для линейного поля притяжение на орбитах малой эллиптичности по аналогии с начальными условиями Хилла когда угол истинной аномалии базового спутника ${\theta }_{Б}=0$ и КА_И начинает движение из точки С (рис. 1б) [7]:

${\dot{y}}_0=-\frac{n_{Б}\left(e_{Б}+2\right)}{{\left(1+e_{Б}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left(1-e_{Б}\right)}^{\frac{3}{2}}}{x}_0$ (14)

где $n_{Б}$ – среднее угловое движение, $n_{Б}=\sqrt{\frac{\mu }{a_{Б}^3}}$

Начальные условия (14) в данной работе будем называть аналогом начальных условий Хилла для эллиптических орбит.

Параметрический анализ начальных условий при движении по инспекционной траектории

Проведем сравнение выражений для выбора начальных условий, полученных при линеаризации уравнений относительного движения, с обобщёнными начальными условиями для центрального поля притяжения, круговых и эллиптических орбит КА_Б. Будут исследованы две орбиты КА_О – 500, 1000 км и инспекционные эллипсы с малой полуосью от 250 метров до 10 км.

Рассмотрим круговую орбиту КА_Б. Оценим разность разницу между условиями Хилла (6) и обобщённым начальным условием для круговых орбит (8). КА_И начинает движение из точки С (рис.1б). Результаты моделирования показаны на рисунке 2.

В расчётах, приведённых на рисунке 2, использовался только один корень (8), второе слагаемого которого имеет знак «+». Другой корень выражения (8) не может быть использован, так как при его применении значение относительной скорости КА_И не соответствует физической постановке рассматриваемой задачи. Можно сделать вывод, что разница между линейным выражением (7) и (8) возрастает при увеличении размеров инспекционного эллипса. Это обусловлено тем, что возрастает величина разностного гравитационного ускорения, действующего на оба КА, это приводит увеличению разности между (7) и (8). Изменение высоты орбиты также вносит вклад в отличие начальных скоростей, но он существенно меньше, так как на деформацию инспекционного эллипса сильнее влияет разностное гравитационное ускорение, нежели изменение его абсолютной величины, действующего на отдельный КА.

Рассмотрим движение КА_Б по эллиптической орбите. Эксцентриситет будет принимать значения 0,01 и 0.05. Оценим разницу между аналогом условия Хилла (14) и обобщённым начальным условием (13), при условии, что КА_И начинает движение из точки С (рис. 1б). Расчёт начальных условий проводится в момент времени, когда КА_Б проходит через перигей. Высота орбиты КА_Б в перигеи 500 км. Результаты моделирования показаны на рисунке 3.

 

Рис. 2. Разница начальных скоростей при круговой орбите КАБ

 

Для расчетов, приведенных на рисунке 3, по аналогии с предыдущем расчётом использовался один корень выражения (13). Анализируя рисунок 3, можно сделать вывод, что при наличии небольшой эллиптичности орбиты КА_Б существенно возрастает погрешность линеаризации.

Исследование квазипериодичного инспекционного движения

Обобщённые начальные условия (8 и 13) позволяют реализовать КИД при движении в центральном поле и при малой эллиптичности орбиты КА_Б. Проведём исследование, позволяющие определить отличие траектории КИД, по которой движется КА_И от номинального инспекционного эллипса. Так как исследуемые траектории НИЭ и КИД в ОСК представляют из себя эллипсы, проведем сравнение их больших и малых полуосей:

${\Delta }_a=a_{н}-a_{к}$

${\Delta }_b=b_{н}-b_{к}$

где индексы «н» и «к» обозначают соответственно принадлежность к НИЭ и КИД. Для расчётов использовались следующие начальные условия: высота орбита КА_Б 500 км в перицентре, эксцентриситет принимает два значения 0,01 и 0,05, КА_И начинает движение из точки С (рис. 1б), малая полуось (равна начальному значению ) варьируется в диапазоне от 250 м до 10 км.

Результаты моделирования показаны на рисунке 4. Исследование показало, что малые полуоси НИЭ и КИД совпадают, а большие различаются на 0,06 %.

 

Рис. 3. Разница начальных скоростей при эллиптичной орбите КАБ

 

Рис. 4. Отличие больших полуосей в ОСК

 

Заключение

В работе получены обобщённые начальные условия, позволяющие скорректировать начальные условия Хилла и реализовать КИД в центральном поле притяжения для круговой и эллиптической орбиты КА_Б. Основной вклад в различие между выражениями для КИД и их линеаризованными аналогами вносит увеличение размеров НИЭ, это приводит к увеличению разностного гравитационного ускорения, действующего на оба КА. На втором месте по величине вклада – эллиптичность орбиты КА_Б, в следствие чего будет происходить увеличение различия между орбитальными периодами. На третьем – высота орбиты КА_Б, вклад этого параметра самый незначительный, это обусловлено тем, что изменяются орбиты обоих КА и величина разностного гравитационного ускорения будет изменяться в меньшей степени. При малой полуоси НИЭ равной 250 м, 500 м, 1 км разница между (7) и (8) пренебрежимо мала и можно использовать линеаризованные выражения для выбора начальных условий. Проведено сравнение НИЭ и КИД, которое показало, что для случая орбит малой эллиптичности большие полуоси эллипсов отличаются незначительно, а малые полуоси совпадают, если КА_И начинает свое движение из точки С (рис. 1б). Результаты работы могут быть использованы для реализации группового полета, выведенные начальные условия позволят обеспечивать максимальную стабильность относительного движения в центральном поле притяжения при полете по круговым и эллиптическим орбитам.

Благодарности

Работа выполнена в рамках проекта FSSS-2020-0018, финансируемого из средств государственного задания победителям конкурса научных лабораторий образовательных организаций высшего образования, подведомственных Минобрнауки России.

About the authors

Mikhail Sergeevich Shcherbakov

Samara University

Author for correspondence.
Email: sherbakov.m.s@mail.ru

graduate student Inter-university Department

Russian Federation, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye Shosse, 34

Ekaterina Aleksadrovna Uskova

Samara University

Email: uskova.katya2015@yandex.ru

graduate student of the Inter-university Department of the Samara University

Russian Federation, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye Shosse, 34

Supplementary files