Boundary value problems for a loaded hyperbolic equation

Full Text

Дифференциальные уравнения в частных производных впервые были исследованы в XVIII веке в работах Эйлера. Благодаря развитию теории уравнений в частных производных стало возможным математическое моделирование широкого круга физических явлений, в частности, колебания струны и мембраны. Однако с течением времени возникали все более сложные задачи, что привело к потребности обобщения классических задач, постановке качественно новых задач и разработке методов их исследования. Возникшие потребности привели к изучению нового класса задач, который получил название неклассические задачи математической физики, один из разделов которого посвящен нагруженным дифференциальным уравнениям.

Пусть А  – дифференциальный оператор. Заданное в n -мерной области Ω евклидова пространства точек $x=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)$ уравнение $Au\left(x\right)=f\left(x\right)$                                                             

называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения $u\left(x\right)$ на принадлежащих замыканию $\stackrel{\_}{\Omega }$ многообразиях размерности меньших  [1, с. 88].

Так, например, нагруженным является уравнение Буссинеска, описывающее, при определенных условиях, неустановившееся движение грунтовых вод  $k\frac{{\partial }^2{u}^2}{\partial x^2}=\frac{2\sigma }{l}{\int }_0^l{u}_t\left(\xi ,t\right)d\xi ,$ уравнение Пригожина, моделирующее движение автомобилей по автостраде

$\frac{\partial \phi }{\partial t}+y\frac{\partial \phi }{\partial x}=\left(1-p\right)\phi {\int }_{\alpha }^{\beta }\left(y-\eta \right)\phi \left(x,t,\eta \right)d\eta -\frac{1}{r_0}(\phi -G\left(y\right){\int }_{\alpha }^{\beta }\phi \left(x,t,\eta \right)d\eta ),$

стационарное односкоростное уравнение переноса

$\frac{1}{\alpha \left(x\right)}{\sum }_{i=1}^3{y}_i\frac{\partial u\left(x,y\right)}{\partial x_i}+u\left(x,y\right)=\frac{\lambda }{4\pi }{\int }_{\left|\xi \right|=1}\theta \left(x,y,\xi \right)u\left(x,\xi \right)d\xi +f\left(x,y\right).$

Еще одним примером нагруженного уравнения служит уравнение, описывающее колебания мембраны барабана

$u_{tt}=a^2\left(u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r\right)-{\alpha }^2{\int }_0^{r_0}ru\left(r,t\right)dr.$

Нагруженные уравнения применяются при исследовании задач математической физики, математической биологии, теории моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью. В своей статье [2] А. М. Нахушев впервые дал определение нагруженным дифференциальным уравнениям, а в последствии и классифицировал их. В ходе дальнейших исследований было установлено, что эти уравнения могут выступать как метод введения обобщенных решений различных классов дифференциальных уравнений в частных производных.

Стоит заметить, что задачи, связанные с нагруженными уравнениями, не являются классическими, так как наличие нагруженного слагаемого не всегда позволяет использовать известные ранее методы исследования, что приводит как к новым трудностям при решении

задач, так и к потребности в разработке новых методов решения. В этом и заключается актуальность исследований такого класса уравнений.

Начиная с последней четверти XX века и по нынешнее время, множество статей и книг было посвящено нагруженным уравнениям: здесь следует отметить труды А. М. Нахушева [1–3], М. Т. Дженалиева и М. И. Рамазанова [4], а также монографию Дженалиева [5].

В ходе исследований было выявлено одно очень важно приложение нагруженных уравнений. Нагруженные уравнения используются как метод решения нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Заметим, что нелокальные задачи образуют еще один важный класс качественно новых задач, актуальность исследования которых обусловлена потребностями современного естествознания.

Нелокальные условия – это соотношения, которые связывают значения искомого решения и его производных в различных граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение задачи. Задачи с нелокальными условиями для дифференциальных уравнений возникают тогда, когда граница протекания процесса недоступна для измерений [6].

Говоря о нелокальных задачах, отметим работы В. А. Стеклова [7], А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [8], А. И. Кожанова и Л. С. Пулькиной [9], А. М. Нахушева [10]. В этих работах отмечено, что наличие нелокальных условий не позволяет применять для исследования разрешимости задач классические методы, разработанные для начально-краевых задач.

Указанная связь нагруженных уравнений и нелокальных условий удобна тем, что позволяет редуцировать задачу о нахождении решения некоторого уравнения, удовлетворяющего нелокальному условию, к задаче о нахождении решения некоторого нагруженного уравнения, удовлетворяющего классическим граничным условиям.

Постановка задачи

В прямоугольнике $Q_T=\left(\mathrm{0,}l\right)\times \left(\mathrm{0,}T\right)$ рассмотрим нагруженное уравнение

$u_{tt}-{\left(a\left(x,t\right)u_x\right)}_x+c\left(x,t\right)u+{\int }_0^{l}K\left(x\right)udx=f\left(x,t\right)$                   

и поставим следующую задачу: найти решение уравнения  удовлетворяющее начальным данным

$u\left(x\mathrm{,0}\right)=\phi \left(x\right), u_t\left(x\mathrm{,0}\right)=\psi \left(x\right).$                                                                     

и граничным условиям

$u\left(\mathrm{0,}t\right)=\mathrm{0,} u\left(l,t\right)=0;$

Введем понятие обобщенного решения поставленной задачи. Следуя [11], умножим $\left(1.1\right)$ на произвольную гладкую функцию $v,$ предполагая, что $u\left(x,t\right)$ решение задачи $\left(1.1\right)-\left(1.3\right),$ и проинтегрируем по области $Q_T=\left(\mathrm{0,}l\right)\times \left(\mathrm{0,}T\right)$. Получим

${\int }_0^T{\int }_0^l(u_{tt}-{\left(a{u}_x\right)}_x+cu+{\int }_0^{l}K\left(x\right)udx)vdxdt={\int }_0^T{\int }_0^{l}fvdxdt.$

Проинтегрируем по частям первые два элемента полученного выражения

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_{tt}vdxdt=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_t{v}_{t}dxdt+\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_{t}v{|}_0^{T}dx;$

$-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{\left(a{u}_x\right)}_{x}vdxdt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}a{u}_x{v}_{x}dxdt-\underset{0}{\overset{T}{\int }}a{u}_{x}v{|}_0^{l}dt.$

Теперь потребуем, чтобы $v\left(x,T\right)=\mathrm{0,} v\left(\mathrm{0,}t\right)=v\left(l,t\right)=0.$ В силу этих требований имеем

$-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_t{v}_{t}dxdt+\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_{t}v{|}_0^{T}dx=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_t{v}_{t}dxdt+\underset{0}{\overset{l}{\int }}(-u_t(x\mathrm{,0}\left)v\right(x\mathrm{,0}\left)\right)dx=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}{u}_t{v}_{t}dxdt-\underset{0}{\overset{l}{\int }}\psi \left(x\right)v\left(x\mathrm{,0}\right)dx;$

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}a{u}_x{v}_{x}dxdt-\underset{0}{\overset{T}{\int }}a{u}_{x}v{|}_0^{l}dt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}a{u}_x{v}_{x}dxdt.$

Тогда из  получим

${\int }_0^T{\int }_0^l\left(-u_t{v}_t+a{u}_x{v}_x+cuv\right)dxdt+{\int }_0^T{\int }_0^{l}v\left({\int }_0^{l}K\left(x\right)udx\right)dxdt={\int }_0^l\psi \left(x\right)v\left(x\mathrm{,0}\right)dx+{\int }_0^T{\int }_0^{l}fvdxdt.$

Обозначим

$W_{\mathrm{2,0}}^1\left(Q_T\right)=\left\{u\left(x,t\right):u\in W_2^1\left(Q_T\right), u\left(\mathrm{0,}t\right)=u\left(l,t\right)=0\right\}$

${\widehat{W}}_{\mathrm{2,0}}^1\left(Q_T\right)=\left\{v:v\in W_{\mathrm{2,0}}^1\left(Q_T\right), v\left(x,T\right)=0\right\}$

Определение. Функцию $u\left(x,t\right)\in W_{\mathrm{2,0}}^1\left(Q_T\right)$ будем называть обобщенным решением задачи $\left(1.1\right)-\left(1.3\right),$ если $u\left(x\mathrm{,0}\right)=\phi \left(x\right)$ и $u\left(x,t\right)$ удовлетворяет тождеству ${\int }_0^T{\int }_0^l\left(-u_t{v}_t+a{u}_x{v}_x+cuv\right)dxdt+{\int }_0^T{\int }_0^{l}v\left({\int }_0^{l}K\left(x\right)udx\right)dxdt={\int }_0^l\psi \left(x\right)v\left(x\mathrm{,0}\right)dx+{\int }_0^T{\int }_0^{l}fvdxdt.$

для любой функции  $v\in {\widehat{W}}_{\mathrm{2,0}}^1\left(Q_T\right).$

Разрешимость поставленной задачи

Теорема. Пусть выполняются условия

$a\left(x,t\right), a_t\left(x,t\right)\in C\left({\stackrel{\_}{Q}}_T\right), c\left(x,t\right)\in C^1\left({\stackrel{\_}{Q}}_T\right), K\left(x\right)\in C^1\left[\mathrm{0,}l\right], f\left(x,t\right)\in L_2\left(Q_T\right).$

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи $\left(1.1\right)-\left(1.3\right).$

Доказательство.

Сначала покажем, что существует не больше одного решения задачи. Для этого предположим противное: существует два решения этой задачи: u¹ и u² где u¹ и u² обобщенные решения соответствующих уравнений. Тогда, в силу линейности задачи, $u=u^1-u^2$ тоже является решением. Если эта разность будет равна нулю, то решение единственно $\left(u^1=u^2\right).$ Для $u=u^1-u^2$ справедливо тождество

${\int }_0^T{\int }_0^l\left(-u_t{v}_t+a{u}_x{v}_x+cuv\right)dxdt-{\int }_0^T{\int }_0^{l}v\left({\int }_0^{l}K\left(x\right)udx\right)dxdt=\mathrm{0,} \forall v\in {\widehat{W}}_{\mathrm{2,0}}^1\left(Q_T\right).$

Выберем функцию  следующим образом

$v=\left\{\begin{array}{c}{\int }_0^{l}u\left(x,\eta \right)d\eta ,\text{ 0}\le t\le \tau \\ \mathrm{0,} \tau \le t\le T\end{array}\right.$

Отметим, что $v$ удовлетворяет условиям задачи. Так как $v_x={\int }_{\tau }^t{u}_{x}d\eta \in L_2,$ то $v\in {\widehat{W}}_{\mathrm{2,0}}^1\left(Q_T\right)$. Таким образом, (1.6) выполняется. Теперь подставим (1.7) в (1.6) и воспользуемся интегрированием по частям. Получим

$\frac{1}{2}{\int }_0^l\left(u^2\left(x,\tau \right)+a\left(x\mathrm{,0}\right)v_x^2\left(x\mathrm{,0}\right)\right)dx+{\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}c{v}_{t}vdxdt+\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{a}_t{v}_x^{2}dxdt+{\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}v\left({\int }_0^{l}K\left(x\right)v_{t}dx\right)dxdt=0.$

Из последнего равенства следует неравенство

$\frac{1}{2}{\int }_0^l\left(u^2\left(x,\tau \right)+a\left(x\mathrm{,0}\right)v_x^2\left(x\mathrm{,0}\right)\right)dx\le |{\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}c{v}_{t}vdxdt+\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{a}_t{v}_x^{2}dxdt+{\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}v({\int }_0^{l}K\left(x\right)v_{t}dx\left)dxdt\right|.$

Воспользуемся неравенством Коши и неравенством Коши-Буняковского для оценки некоторых интегралов в (1.8) Тогда, приняв во внимание, что

$v^2\left(x,t\right)={\left({\int }_{\tau }^{t}u\left(x,\eta \right)d\eta \right)}^2\le \tau {\int }_{\tau }^t{u}^2\left(x,\eta \right)d\eta ,$

(1.8) перепишем в виде $\frac{1}{2}{\int }_0^l\left(u^2\left(x,\tau \right)+a\left(x\mathrm{,0}\right)v_x^2\left(x\mathrm{,0}\right)\right)dx\le {\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{a}_t{v}_x^{2}dxdt+\left(1+c_0\right){\int }_0^{\tau }{\int }_0^l\tau {\int }_{\tau }^t{u}^2\left(x,\eta \right)d\eta dxdt+\left(l{K}_0+c_0\right){\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{v}_t^{2}dxdt,$ ${\text{где с}}_0\ge \underset{{\stackrel{�}{Q}}_T}{max}\left|c\left(x,t\right)\right|.$

Введем вспомогательную функцию $w\left(x,t\right)={\int }_0^t{u}_{x}d\eta .$ Тогда, в силу выбора функции $v,$ последнее неравенство будет иметь вид

${\int }_0^l\left(u^2\left(x,\tau \right)+a\left(x\mathrm{,0}\right)w^2\left(x,\tau \right)\right)dx\le 2a_1{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{w}^2\left(x,t\right)dxdt+2a_1{\int }_0^l{w}^2\left(x,\tau \right)dx+\left(1+c_0\right){\int }_0^{\tau }{\int }_0^l\tau \left|{\int }_{\tau }^l{u}^2\left(x,\eta \right)d\eta \right|dxdt+$$+\left(l{K}_0+c_0\right){\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{u}^{2}dxdt,$

где $a_1\ge \underset{{\stackrel{�}{Q}}_T}{max}\left|a_t\left(x,t\right)\right|.$

Воспользуемся произволом в выборе $\tau \in \left[\mathrm{0,}T\right]$ и выберем его так, что $a\left(x\mathrm{,0}\right)-2a_1\tau \text{ > }0.$ Тогда (1.9) перепишем следующим образом ${\int }_0^l\left(u^2\left(x,\tau \right)+\left(a\left(x\mathrm{,0}\right)-2a_1\tau \right)w^2\left(x,\tau \right)\right)dx\le 2a_1{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{w}^2\left(x,t\right)dxdt+\left(l{K}_0+c_0\right){\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{u}^{2}dxdt+\left(1+c_0\right){\tau }^2{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{u}^{2}dxdt.$

Учитывая выбор $\tau ,$ положим

$m=\min \{\mathrm{1,}a\left(x\mathrm{,0}\right)-2a_1\tau \}.$

Разделив правую часть полученного неравенства на $m,$ выберем $M$ так, что

$M=\max \{\frac{2a_1}{m};\frac{\left(1+c_0\right){\tau }^2}{m};\frac{l{K}_0+c_0}{m}\}.$

Окончательно получим

${\int }_0^l\left(u^2\left(x,\tau \right)+w^2\left(x,\tau \right)\right)dx\le M{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l\left(u^2+w^2\right)dxdt.$

Применим лемму Гронуолла к $\left(1.10\right).$ Обозначим

$\rho \left(\tau \right)={\int }_0^l\left(u^2\left(x,\tau \right)+w^2\left(x,\tau \right)\right)dt.$

Тогда $\rho \left(\tau \right)\le M{\int }_0^{\tau }\rho \left(t\right)dt+f\left(t\right),\text{ где }\sigma \left(t\right)=0$

$\Rightarrow \rho \left(\tau \right)\le 0\cdot e^{M\tau }\Rightarrow \rho \left(\tau \right)\le 0\Rightarrow \rho \left(\tau \right)=0.$

Отсюда следует, что $u\left(x,t\right)=\mathrm{0,}$ а значит не может существовать более одного решения поставленной задачи.

Для доказательства существования решения будем искать решение задачи $\left(1.1\right)-\left(1.3\right)$ в специальном виде

$u^m\left(x,t\right)={\sum }_{k=1}^m{c}_k\left(t\right)w_k\left(x\right),$

из соотношения

${\int }_0^l(u_{tt}{w}_l+a{u}_x{w}_l^{\text{'}}+cu{w}_l)dx+{\int }_0^{l}K\left(x\right)udx{w}_l={\int }_0^{l}f{w}_{l}dx.$

Не ограничивая общности, будем считать, что начальные условия однородные. Пусть $w_k\left(x\right)$ -множество функций из $C^2\left[\mathrm{0,}l\right],$ таких что $w_k\left(0\right)=w_k\left(l\right)=0.$ Функции $w_k\left(x\right)$ удовлетворяют граничным условиям, линейно независимы, а также данная система полна в $W_2^1.$

Подставим $\left(1.11\right)$ в $\left(1.12\right)$ Так как суммы конечны, то мы можем поменять порядок суммирования и интегрирования. Отметим, что все подынтегральные элементы нам известны, а значит все интегралы – какие-то числа. Таким образом получим систему дифференциальных уравнений относительно ${с}_k$

${\sum }_{k=1}^m{A}_{kl}{c}_k^{\text{'}\text{'}}\left(t\right)+{\sum }_{k=1}^m\left(B_{kl}+K_{kl}\right)c_k\left(t\right)=f_l\left(t\right),$

где $A_{kl}={\int }_0^l{w}_k\left(x\right)w_l\left(x\right)dx,B_{kl}={\int }_0^l\left(a{w}_k^{\text{'}}{w}_l^{\text{'}}+c{w}_k\left(x\right)w_l\left(x\right)\right)dx, K_{kl}={\int }_0^{l}K\left(x\right)w_k\left(x\right)w_l\left(x\right)dx, f_l={\int }_0^{l}f{w}_{l}dx.$

Система дифференциальных уравнений $\left(1.13\right)$ разрешима относительно старших производных, так как матрица коэффициентов при старших производных есть матрица Грамма.

Присоединим к $\left(1.13\right)$ следующие начальные условия

${с}_k\left(0\right)=c_k^{\text{'}}\left(0\right)=0.$

Они возникают в силу того, что должны удовлетворять граничным и начальным условиям задачи. Отметим, что $\left(1.13\right)$ и $\left(1.14\right)$ представляют собой задачу Коши. Следовательно, система дифференциальных уравнений $\left(1.13\right)$ имеет решение, а в силу свойств коэффициентов исходного уравнения, это решение будет принадлежать пространству  Таким образом мы построили последовательность приближенных решений.

Перейдем к исследованию построенной последовательности приближенных решений (если мы сможем доказать, что эта последовательность ограничена, то докажем и то, что из этой последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность). Имеем

${\int }_0^l\left(u_{tt}^m{w}_l+a{u}_x^m{w}_l^{\text{'}}+c{u}^m{w}_l\right)dx={\int }_0^{l}f{w}_{l}dx-{\int }_0^{l}K\left(x\right)w_l{u}^{m}dx.$

Умножим $\left(1.15\right)$ на $c_t^{\text{'}}\left(t\right),$ полученное выражение просуммируем по $l=\overline{\mathrm{1,}m},$ а затем проинтегрируем от 0 до $\tau .$ Преобразовав интегралы, получим

${\int }_0^{\tau }{\int }_0^l\left(u_{tt}^m{u}_t^m+a{u}_x^m{u}_{xt}^m+c{u}^m{u}_t^m\right)dxdt={\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}f{u}_t^{m}dxdt-{\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}K\left(x\right)u^m{u}_t^{m}dxdt.$

Последнее слагаемое в  перепишем, последовательно воспользовавшись интегрированием по частям, неравенством Коши с эпсилон и неравенство Коши-Буняковского. Получим

${\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}K\left(x\right)u^m{u}_t^{m}dxdt\le \frac{l}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{\left(u_x^m\right)}^{2}dxdt+\frac{k_0}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{\left(u_t^m\right)}^{2}dxdt+\frac{l\epsilon }{2}{\int }_0^l{\left(u_x^m\right)}^{2}dx+\frac{k_0}{2\epsilon }{\int }_0^l{\left(u^m\right)}^{2}dx.$

После указанных преобразований выражение $\left(1.16\right)$ примет следующий вид

$\frac{1}{2}{\int }_0^l({\left(u_t^m\left(x,\tau \right)\right)}^2+\left(a-l\epsilon \right){\left(u_x^m\right)}^2+\left(u^m{)}^2\right)dx\le {\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}f{u}_t^{m}dxdt+\frac{1}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{a}_t{\left(u_x^m\right)}^{2}dxdt+{\int }_0^{\tau }{\int }_0^{l}c{u}^m{u}_t^{m}dxdt+$

$+\frac{l}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{\left(u_x^m\right)}^{2}dxdt+\frac{k_0}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{\left(u_t^m\right)}^{2}dxdt+\frac{k_0\tau }{2\epsilon }{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{\left(u_t^m\right)}^{2}dxdt.$

Выберем $\epsilon$ так, чтобы $\left(a-l\epsilon \right)>0.$ Отметим, что из условий $a_t\in C\left(\overline{Q_T}\right)$ и $c\left(x,t\right)\in C^1\left(\overline{Q_T}\right)$  следует, что существует $a_1>0:\underset{\overline{Q_T}}{max}\left|a_t\right|\le a_1$ и $c_0:\underset{\overline{Q_T}}{max}\left|c\left(x,t\right)\right|\le c_0.$ Тогда из $\left(1.17\right)$ следует

$\frac{1}{2}{\int }_0^l({\left(u_t^m\left(x,\tau \right)\right)}^2+\left(a-l\epsilon \right){\left(u_x^m\right)}^2+\left(u^m{)}^2\right)dx\le {\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{f}^{2}dxdt+\frac{a_1+l}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{\left(u_x^m\right)}^{2}dxdt+$

$+\frac{c_0}{2}{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{\left(u^m\right)}^{2}dxdt+\frac{\left(c_0\epsilon +\epsilon +\left(\epsilon +\tau \right)k_0\right)}{2\epsilon }{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{\left(u_t^m\right)}^{2}dxdt.$

Положим $m_0=\min \{1;a-l\epsilon \},$

$M=\max \{a_1+l;c_0;\frac{1}{\epsilon }\left(c_0\epsilon +\epsilon +k_0\left(\epsilon +\tau \right)\right)\}.$

Тогда

$m_0{\int }_0^l{({\left(u_t^m\right)}^2+{\left(u_x^m\right)}^2+{\left(u^m\right)}^2)}_{\left[t=\tau \right]}dxdt\le M{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l({\left(u_t^m\right)}^2+{\left(u_x^m\right)}^2+{\left(u^m\right)}^{2}dxdt+{\int }_0^{\tau }{\int }_0^l{f}^{2}dxdt.$

К данному неравенству применим лемму Гронуолла и получим

$\underset{0}{\overset{l}{\int }}\left(\right(u_t^m{)}^2+{\left(u_x^m\right)}^2+{\left(u^m\right)}^2{)}_{[t=\tau ]}dxdt\le \frac{1}{m_0}{e}^{\frac{M\tau }{m_0}}\left|\right|f|{|}_{L_2(\overline{Q_T)}}^2.$ (1.18)

Проинтегрировав $\left(1.18\right)$ от до можно перейти к следующему неравенству       

Полученная последовательность приближенных решений представляет собой ограниченное $W_2^1$ в множество. Так как $W_2^1$ – гильбертово, то из этой последовательности можно выделить слабо $u^m$ сходящуюся подпоследовательность.

Итак, подпоследовательность сходится к $u$ слабо. Умножим обе части $\left(1.12\right)$ на функцию $d_l\left(t\right)$ такую, что $d\left(T\right)=0.$ Затем, полученное выражение просуммируем  от $0$ до $T.$Тем самым мы получили некоторую функцию $\eta (x,t)=\sum _{l=1}^m{d}_l\left(t\right)w_l\left(x\right).$

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}(-u_t^m{\eta }_t+a{u}_x^m{\eta }_x+c{u}^m\eta )dxdt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f\eta dxdt-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}K\left(x\right)u^m\eta dxdt.$

Зафиксируем функцию $\eta$ и перейдем к $\underset{m\to \infty }{\lim }.$ Получим

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}(-u_t{\eta }_t+a{u}_x{\eta }_x+cu\eta )dxdt=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}f\eta dxdt-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{0}{\overset{l}{\int }}K\left(x\right)u\eta dxdt.$

Заметим, что всюду плотно в а следовательно, всюду плотно и в Тем самым доказано существование решения.

Таким образом доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи $\left(1.1\right)-\left(1.3\right).$

About the authors

Anton Vladimirovich Gilev

Author for correspondence.
Email: toshqaaa@gmail.com

student V course of the Samara University Mathematics Faculty

References

Supplementary files