Boundary value problems for a loaded hyperbolic equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this article, there is the initial-boundary-value problem for a loaded integro-differential equation. There is proves of the existence and uniqueness of the generalized solution of the problem. There are found restrictions on the input data, the implementation of which there is a single generalized solution of this problem. The proof of uniqueness is carried out using a priori estimates. To prove the existence of a generalized solution, was constructed a sequence of approximate solutions, was proved the boundedness of this sequence, which made possible to distinguish a weakly convergent subsequence from this sequence and then showed that the weak limit of the selected subsequence is a generalized solution to problems.

Full Text

Дифференциальные уравнения в частных производных впервые были исследованы в XVIII веке в работах Эйлера. Благодаря развитию теории уравнений в частных производных стало возможным математическое моделирование широкого круга физических явлений, в частности, колебания струны и мембраны. Однако с течением времени возникали все более сложные задачи, что привело к потребности обобщения классических задач, постановке качественно новых задач и разработке методов их исследования. Возникшие потребности привели к изучению нового класса задач, который получил название неклассические задачи математической физики, один из разделов которого посвящен нагруженным дифференциальным уравнениям.

Пусть А  – дифференциальный оператор. Заданное в n -мерной области Ω евклидова пространства точек x=x1,x2,,xn уравнение Aux=fx                                                             

называется нагруженным, если оно содержит след некоторых операций от искомого решения ux на принадлежащих замыканию Ω_ многообразиях размерности меньших  [1, с. 88].

Так, например, нагруженным является уравнение Буссинеска, описывающее, при определенных условиях, неустановившееся движение грунтовых вод  k2u2x2=2σl0lutξ,tdξ, уравнение Пригожина, моделирующее движение автомобилей по автостраде

φt+yφx=1pφαβyηφx,t,ηdη1r0(φGyαβφx,t,ηdη),

стационарное односкоростное уравнение переноса

1αxi=13yiux,yxi+ux,y=λ4πξ=1θx,y,ξux,ξdξ+fx,y.

Еще одним примером нагруженного уравнения служит уравнение, описывающее колебания мембраны барабана

utt=a2urr+1rurα20r0rur,tdr.

Нагруженные уравнения применяются при исследовании задач математической физики, математической биологии, теории моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью. В своей статье [2] А. М. Нахушев впервые дал определение нагруженным дифференциальным уравнениям, а в последствии и классифицировал их. В ходе дальнейших исследований было установлено, что эти уравнения могут выступать как метод введения обобщенных решений различных классов дифференциальных уравнений в частных производных.

Стоит заметить, что задачи, связанные с нагруженными уравнениями, не являются классическими, так как наличие нагруженного слагаемого не всегда позволяет использовать известные ранее методы исследования, что приводит как к новым трудностям при решении

задач, так и к потребности в разработке новых методов решения. В этом и заключается актуальность исследований такого класса уравнений.

Начиная с последней четверти XX века и по нынешнее время, множество статей и книг было посвящено нагруженным уравнениям: здесь следует отметить труды А. М. Нахушева [1–3], М. Т. Дженалиева и М. И. Рамазанова [4], а также монографию Дженалиева [5].

В ходе исследований было выявлено одно очень важно приложение нагруженных уравнений. Нагруженные уравнения используются как метод решения нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Заметим, что нелокальные задачи образуют еще один важный класс качественно новых задач, актуальность исследования которых обусловлена потребностями современного естествознания.

Нелокальные условия – это соотношения, которые связывают значения искомого решения и его производных в различных граничных и внутренних точках области, в которой ищется решение задачи. Задачи с нелокальными условиями для дифференциальных уравнений возникают тогда, когда граница протекания процесса недоступна для измерений [6].

Говоря о нелокальных задачах, отметим работы В. А. Стеклова [7], А. В. Бицадзе и А. А. Самарского [8], А. И. Кожанова и Л. С. Пулькиной [9], А. М. Нахушева [10]. В этих работах отмечено, что наличие нелокальных условий не позволяет применять для исследования разрешимости задач классические методы, разработанные для начально-краевых задач.

Указанная связь нагруженных уравнений и нелокальных условий удобна тем, что позволяет редуцировать задачу о нахождении решения некоторого уравнения, удовлетворяющего нелокальному условию, к задаче о нахождении решения некоторого нагруженного уравнения, удовлетворяющего классическим граничным условиям.

Постановка задачи

В прямоугольнике QT=0,l×0,T рассмотрим нагруженное уравнение

utt(ax,tux)x+cx,tu+0lKxudx=fx,t                   

и поставим следующую задачу: найти решение уравнения  удовлетворяющее начальным данным

ux,0=φx, utx,0=ψx.                                                                     

и граничным условиям

u0,t=0, ul,t=0;

Введем понятие обобщенного решения поставленной задачи. Следуя [11], умножим 1.1 на произвольную гладкую функцию v, предполагая, что ux,t решение задачи 1.11.3, и проинтегрируем по области QT=0,l×0,T. Получим

0T0l(utt(aux)x+cu+0lKxudx)vdxdt=0T0lfvdxdt.

Проинтегрируем по частям первые два элемента полученного выражения

0T0luttvdxdt=0T0lutvtdxdt+0lutv|0Tdx;

0T0l(aux)xvdxdt=0T0lauxvxdxdt0Tauxv|0ldt.

Теперь потребуем, чтобы vx,T=0, v0,t=vl,t=0. В силу этих требований имеем

0T0lutvtdxdt+0lutv|0Tdx=0T0lutvtdxdt+0l(ut(x,0)v(x,0))dx=0T0lutvtdxdt0lψ(x)v(x,0)dx;

0T0lauxvxdxdt0Tauxv|0ldt=0T0lauxvxdxdt.

Тогда из  получим

0T0lutvt+auxvx+cuvdxdt+0T0lv(0lKxudx)dxdt=0lψxvx,0dx+0T0lfvdxdt.

Обозначим

W2,01QT=ux,t:uW21QT, u0,t=ul,t=0

W^2,01QT=v:vW2,01QT, vx,T=0

Определение. Функцию ux,tW2,01QT будем называть обобщенным решением задачи 1.11.3, если ux,0=φx и ux,t удовлетворяет тождеству 0T0lutvt+auxvx+cuvdxdt+0T0lv(0lKxudx)dxdt=0lψxvx,0dx+0T0lfvdxdt.

для любой функции  vW^2,01QT.

Разрешимость поставленной задачи

Теорема. Пусть выполняются условия

ax,t, atx,tCQ_T, cx,tC1Q_T, KxC10,l, fx,tL2QT.

Тогда существует единственное обобщенное решение задачи 1.11.3.

Доказательство.

Сначала покажем, что существует не больше одного решения задачи. Для этого предположим противное: существует два решения этой задачи: u1 и u2 где u1 и u2 обобщенные решения соответствующих уравнений. Тогда, в силу линейности задачи, u=u1u2 тоже является решением. Если эта разность будет равна нулю, то решение единственно u1=u2. Для u=u1u2 справедливо тождество

0T0lutvt+auxvx+cuvdxdt0T0lv(0lKxudx)dxdt=0, vW^2,01QT.

Выберем функцию  следующим образом

 

v=0lux,ηdη, 0tτ0, τtT

 

Отметим, что v удовлетворяет условиям задачи. Так как vx=τtuxdηL2, то vW^2,01QT. Таким образом, (1.6) выполняется. Теперь подставим (1.7) в (1.6) и воспользуемся интегрированием по частям. Получим

120lu2x,τ+ax,0vx2x,0dx+0τ0lcvtvdxdt+120τ0latvx2dxdt+0τ0lv(0lKxvtdx)dxdt=0.

Из последнего равенства следует неравенство

120lu2x,τ+ax,0vx2x,0dx|0τ0lcvtvdxdt+120τ0latvx2dxdt+0τ0lv(0lKxvtdx)dxdt|.

Воспользуемся неравенством Коши и неравенством Коши-Буняковского для оценки некоторых интегралов в (1.8) Тогда, приняв во внимание, что

v2x,t=(τtux,ηdη)2ττtu2x,ηdη,

(1.8) перепишем в виде 120lu2x,τ+ax,0vx2x,0dx0τ0latvx2dxdt+1+c00τ0lττtu2x,ηdηdxdt+lK0+c00τ0lvt2dxdt, где с0maxQTcx,t.

Введем вспомогательную функцию wx,t=0tuxdη. Тогда, в силу выбора функции v, последнее неравенство будет иметь вид

0lu2x,τ+ax,0w2x,τdx2a10τ0lw2x,tdxdt+2a10lw2x,τdx+1+c00τ0lτ|τlu2x,ηdη|dxdt++lK0+c00τ0lu2dxdt, 

где a1maxQTatx,t.

Воспользуемся произволом в выборе τ0,T и выберем его так, что ax,02a1τ > 0. Тогда (1.9) перепишем следующим образом 0lu2x,τ+ax,02a1τw2x,τdx2a10τ0lw2x,tdxdt+lK0+c00τ0lu2dxdt+1+c0τ20τ0lu2dxdt.

Учитывая выбор τ, положим

m=min{1,ax,02a1τ}.

Разделив правую часть полученного неравенства на m, выберем M так, что

M=max{2a1m;1+c0τ2m;lK0+c0m}.

Окончательно получим

0lu2x,τ+w2x,τdxM0τ0lu2+w2dxdt.

Применим лемму Гронуолла к 1.10. Обозначим

ρτ=0lu2x,τ+w2x,τdt.

Тогда ρτM0τρtdt+ft, где σt=0

ρτ0eMτρτ0ρτ=0.

Отсюда следует, что ux,t=0, а значит не может существовать более одного решения поставленной задачи.

Для доказательства существования решения будем искать решение задачи 1.11.3 в специальном виде

umx,t=k=1mcktwkx,

из соотношения

0l(uttwl+auxwl'+cuwl)dx+0lKxudxwl=0lfwldx.

Не ограничивая общности, будем считать, что начальные условия однородные. Пусть wkx -множество функций из C20,l, таких что wk0=wkl=0. Функции wkx удовлетворяют граничным условиям, линейно независимы, а также данная система полна в W21.

Подставим 1.11 в 1.12 Так как суммы конечны, то мы можем поменять порядок суммирования и интегрирования. Отметим, что все подынтегральные элементы нам известны, а значит все интегралы – какие-то числа. Таким образом получим систему дифференциальных уравнений относительно сk

k=1mAklck''t+k=1mBkl+Kklckt=flt,

где Akl=0lwkxwlxdx,Bkl=0lawk'wl'+cwkxwlxdx, Kkl=0lKxwkxwlxdx, fl=0lfwldx.

Система дифференциальных уравнений 1.13 разрешима относительно старших производных, так как матрица коэффициентов при старших производных есть матрица Грамма.

Присоединим к 1.13 следующие начальные условия

сk0=ck'0=0.

Они возникают в силу того, что должны удовлетворять граничным и начальным условиям задачи. Отметим, что 1.13 и 1.14 представляют собой задачу Коши. Следовательно, система дифференциальных уравнений 1.13 имеет решение, а в силу свойств коэффициентов исходного уравнения, это решение будет принадлежать пространству  Таким образом мы построили последовательность приближенных решений.

Перейдем к исследованию построенной последовательности приближенных решений (если мы сможем доказать, что эта последовательность ограничена, то докажем и то, что из этой последовательности можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность). Имеем

0luttmwl+auxmwl'+cumwldx=0lfwldx0lKxwlumdx.

Умножим 1.15 на ct't, полученное выражение просуммируем по l=1,m¯, а затем проинтегрируем от 0 до τ. Преобразовав интегралы, получим

0τ0luttmutm+auxmuxtm+cumutmdxdt=0τ0lfutmdxdt0τ0lKxumutmdxdt.

Последнее слагаемое в  перепишем, последовательно воспользовавшись интегрированием по частям, неравенством Коши с эпсилон и неравенство Коши-Буняковского. Получим

0τ0lKxumutmdxdtl20τ0l(uxm)2dxdt+k020τ0l(utm)2dxdt+lε20l(uxm)2dx+k02ε0l(um)2dx.

После указанных преобразований выражение 1.16 примет следующий вид

120l((utmx,τ)2+alε(uxm)2+um)2dx0τ0lfutmdxdt+120τ0lat(uxm)2dxdt+0τ0lcumutmdxdt+

+l20τ0l(uxm)2dxdt+k020τ0l(utm)2dxdt+k0τ2ε0τ0l(utm)2dxdt.

Выберем ε так, чтобы alε>0. Отметим, что из условий atCQT¯ и cx,tC1QT¯  следует, что существует a1>0:maxQT¯ata1 и c0:maxQT¯cx,tc0. Тогда из 1.17 следует

120l((utmx,τ)2+alε(uxm)2+um)2dx0τ0lf2dxdt+a1+l20τ0l(uxm)2dxdt+

+c020τ0l(um)2dxdt+c0ε+ε+ε+τk02ε0τ0l(utm)2dxdt.

Положим m0=min{1;alε},

M=max{a1+l;c0;1εc0ε+ε+k0ε+τ}.

Тогда

m00l((utm)2+(uxm)2+(um)2)t=τdxdtM0τ0l((utm)2+(uxm)2+(um)2dxdt+0τ0lf2dxdt.

К данному неравенству применим лемму Гронуолла и получим

0l((utm)2+(uxm)2+(um)2)[t=τ]dxdt1m0eMτm0||f||L2(QT)¯2. (1.18)

Проинтегрировав (1.18) от до можно перейти к следующему неравенству       

Полученная последовательность приближенных решений представляет собой ограниченное W21 в множество. Так как W21 – гильбертово, то из этой последовательности можно выделить слабо um сходящуюся подпоследовательность.

Итак, подпоследовательность сходится к u слабо. Умножим обе части (1.12) на функцию dl(t) такую, что d(T)=0. Затем, полученное выражение просуммируем  от 0 до T.Тем самым мы получили некоторую функцию η(x,t)=l=1mdl(t)wl(x).

0T0l(utmηt+auxmηx+cumη)dxdt=0T0lfηdxdt0T0lK(x)umηdxdt.

Зафиксируем функцию η и перейдем к limm. Получим

0T0l(utηt+auxηx+cuη)dxdt=0T0lfηdxdt0T0lK(x)uηdxdt.

Заметим, что всюду плотно в а следовательно, всюду плотно и в Тем самым доказано существование решения.

Таким образом доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи (1.1)(1.3).

×

About the authors

Anton Vladimirovich Gilev

Samara University

Author for correspondence.
Email: toshqaaa@gmail.com

student V course of the Samara University Mathematics Faculty

Russian Federation, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye Shosse, 34

References

  1. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 304 с.
  2. Нахушев А. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1975. №1 (12). С. 103-108.
  3. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их применение. М.: Наука, 2012. 232 с.
  4. Дженалиев М. Т., Рамазанов М. И.Нагруженные уравнения как возмущения дифференциальных уравнений. Алматы: Гылым, 2010. 334 с.
  5. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Компьютерный центр ИТПМ, 1995. 270 с.
  6. Пулькина Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Самарский университет, 2012. 194 с.
  7. Стеклов В. А. Задача об охлаждении неоднородного твердого тела // Сообщ. Харьковского мат. о-ва. 1896. № 3-4 (5). С. 136-181.
  8. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач // Дифференциальные уравнения. 1968. № 4 (185). С. 739-740.
  9. Кожанов А. И., Пулькина Л. С. О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 2006. № 9 (42). С. 1166-1179.
  10. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006. 297 с.
  11. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2020 Proceedings of young scientists and specialists of the Samara University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Proceedings of young scientists and specialists of the Samara University

ISSN 2782-2982 (Online)

Publisher and founder of the online media, journal: Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

The online media is registered by the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technology and Mass Communications, registration number EL No. FS 77-86495 dated December 29, 2023

Extract from the register of registered media

Regulation of the online media

Editor-in-chief: Andrey B. Prokof'yev, Doctor of Science (Engineering), associate professor,
head of the Department of Aircraft Engine Theory

2 issues a year

0+. Free price. 

Editorial address: building 22a, room 513, Soviet of Young Scientists and Specialists, 1, Academician Pavlov Street, Samara, 443011, Russian Federation.

Address for correspondence: room 513, building 22a, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

Tel.: (846) 334-54-43

e-mail: smuissu@ssau.ru

Domain name: VMUIS.RU (Domain ownership certificate), Internet email address: https://vmuis.ru/smus.

The previous certificate is a printed media, the journal “Bulletin of Young Scientists and Specialists of Samara University”, registered by the Office of the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technologies and Mass Communications in the Samara Region, registration number series PI No. TU63-00921 dated December 27, 2017.

© Samara University

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies