Decompositions supercharacters into product of basic characters

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The main goal of representation theory is a classification of irreducible representations. It is well known that for some groups this problem is an extremely difficult problem. The unitriangular group  is  one  of these groups. For this group, C. Andre proposed the theory of basic characters. These characters are not  irreducible, but have a lot in common. One of the results of this theory is  that a  basic character is a product of elementary characters. In this paper, we obtain the similar result for supercharacters of the triangular group.

Full Text

Основные определения и обозначения

Пусть G – конечная группа. Пусть заданы X=X1, ,Xn – система попарно дизъюнктных характеров, K=K1, , Kn – разбиение группы G на попарно непересекающиеся подмножества, причем подмножество {1} входит в разбиение K. Если каждый характер постоянен на каждом классе, то говорят, что пара (X, K)  задает теорию суперхарактеров группы Gсм. 1,2. При этом характеры в X называют суперхарактерами, а классы K называют суперклассами.

Пару чисел i, j таких, что 1 i<jn будем называть корнем, причем i будем называть номером строки корня, а j – номером столбца корня. Множество всех корней будем обозначать через Δ.

Подмножество D в множестве положительных корней Δ будем называть расстановкой ладей, если в каждой строке и каждом столбце есть не более одного корня из D.

Треугольная группа G=T(n) представляет из себя полупрямое произведение диагональной подгруппы  и унитреугольной группы U. По корню γ=i, j  построим подгруппы Hγ и Uγ, в группах H и U соответственно по формулам

Hγ=h=diagh1, , hn  :  hi=hj=1,

Uγ=u U  :  uik=0,  k<j.

Для произвольной расстановке ладей D определим подгруппы

HD=γDHγ,  UD=γDUγ .

Алгебра Ли u группы U состоит из верхнетреугольных матриц с нулями по диагонали. Система матричных единиц {Eγ} , где y пробегает множество корней , является базисом в u. Двойственный базис будем обозначать {Eγ*}.

По расстановке ладей D построим  следующие элементы :

xD=γDEγ,  λD=γDEγ* .

Суперхарактеры и суперклассы

Следуя работе [3] А. Н. Панова, построим теорию суперхарактеров для группы T(n) . Суперхарактеры строятся по следующей  схеме. Зафиксируем нетривиальный характер εt аддитивной группы поля F со значением в  группе обратимых элементов поля комплексных чисел.

Рассмотрим множество A, состоящее из пар α=θ, D, где Dрасстановка ладей и  θ – линейный характер подгруппы HD. Далее, рассмотрим полупрямое произведение  и характер на этой группе, определенный по формуле

ξαg=θhελDx.

Пусть χα. – характер группы T(n),  индуцированный с характера ξα подгруппы  GD.

Если D состоит из одного корня, то суперхарактер называется элементарным. Будем использовать обозначение χθ,  γ  для элементарного характера, построенного по D= {γ} и линейному характеру θ подгруппы Hγ.

Для построения суперклассов необходимо ввести следующее отношение эквивалентности: будем говорить, что g эквивалентен g', если существуют такие hH, a, b U, что g'1=hag1bh1.

Группа G распадается на классы эквивалентности. Проведем классификацию суперклассов.

Выберем, как и раньше, произвольную расстановку ладей D. Обозначим через B множество пар β=h, D, где hHD. Также положим gβ=huD, где uD=1+xD .   Обозначим K(gβ)=Kβ. Имеет место следующая теорема.

Теорема [3]. Системы χα и Kβ задают теорию суперхарактеров треугольной группы G=Tn.

Теорема о разложении

Всякий линейный характер (одномерное представление) группы диагональных матриц H имеет вид

φh=iφi(hi), где h=diagh1, , hn , и φi – набор линейных характеров группы обратимых элементов конечного поля F.

Произвольный характер θ  подгруппы  можно продолжить до характера  по написанной выше формуле положив φi(hi)=1, если i является номером строки или столбца в D.

Пусть h Hγ=i, jD . Обозначим

sγ, h=i<k<j : hk1,

Tγ=k, mD :i<k и m<j,

γ=i, kD :i<k<j,

'γ=k, jD :i<k<j,

δγ,D= 1,  D'γ=D''γ=,0,                 в противном случае, 

tγ,D=q1,       если      γD',  q12,  в противном случае. 

 

Теорема 1. Пусть θ – некоторый линейный характер группы HD, y – произвольный  корень. Также пусть D' - некоторая расстановка ладей, Kβ – суперкласс, построенный по ней. Тогда значение элементарного характера χθ,  γ на суперклассе Kβ  вычисляется по формуле χθ,  γKβ=θ˙hδ(γ,D)tγ,D'qmγ,D',h,

где mγ,D',h=ji1D'Tγ sγ, h, θ˙(h) равно θh, если h принадлежит подгруппе H, и равно нулю, если h не принадлежит H

Теорема 2. Пусть D=γ1, ,γs расстановка ладей. Пусть θ – линейный характер группы HD, который является произведением характеров θi подгрупп Hγi.   Обозначим α= θ, D.   Тогда  суперхарактер χα разлагается в произведение элементарных характеров по формуле

χα=γDχθi,γ.

Суперхарактеры и суперклассы для треугольной группы третьего порядка

Рассмотрим описанную выше теорию суперхарактеров в случае . Цель – разложить суперхарактеры в сумму неприводимых компонент.

Существует 5 серий неприводимых характеров для треугольной группы третьего порядка. Каждая серия строится по следующей схеме: рассматривается некоторая подгруппа в группе треугольных матриц и некоторый характер на этой группе, индуцируя с которого  получаем неприводимый характер. Например, в первой серии рассматривается подгруппа H, состоящая из матриц вида h=h10x130h2x2300h1 ,

и характер ξθ1,θ2g=θ1h1θ2h2εx13  этой подгруппы. Индуцируя с этого характера на всю группу, получаем неприводимый характер, который обозначим через ηθ1,  θ2. Этот характер нумеруется парами линейных характеров θ1,θ2 группы F*. Аналогичным образом строятся и другие неприводимые характеры.

Вернемся к суперхарактерам. Существуют всего три положительны корня для n=3 корня: γ1=1, 2,  γ2=2, 3 и γ3=1, 3.   Расстановок ладей в этом случае пять: три расстановки по одному корню, одна, которая содержит два корня γ1 и γ2, и последняя, которая не содержит ни одного корня, то есть пустая.

Предположим, что расстановка ладей содержит лишь один корень γ=1, 3. В этом случае группа GD будет состоять из матриц вида

g=10x130h2x23001 ,

ξαg=θ2h2εx13,

где θ2 – линейный характер группы F* . Индуцируя  с этого  характера на всю группу G, получаем суперхарактер χα. Вычисляя его, получаем следующую формулу

χα= θ2IrrHDηθ1,  θ2 ,

где ηθ1,  θ2 – неприводимый характер, описанный выше.

Пусть D = 1, 2,2, 3.  Тогда группа GD будет состоять из матриц вида g=1x12x1301x23001 .

Рассмотрим характер этой подгруппы ξαg=εx12+x23. Индуцированный суперхарактер χα распадается в сумму неприводимых характеров χα= θIrrHDηθ,

где ηθ – неприводимый характер, соответствующий этой серии. Более подробно, этот характер индуцируется с подгруппы, состоящей из матриц вида h=h1x12x130h1x2300h1 

с характера ξθg=θh1εx12+x23.

Случаи когда D = 1, 2  и  D = 2, 3  рассматриваются аналогично.

Рассмотрим, наконец, еще один отдельный случай – случай, когда расстановка ладей не содержит ни одного корня, то есть D – пустое множество. В этом случае подгруппа GD совпадает со всей группой G и χαg=χαhu=  θ 1(h1) 2(h2) 3(h3).

×

About the authors

Igor Nikolaevich Chestnov

Samara University

Author for correspondence.
Email: inchestnov@gmail.com

student V course of the mathematical faculty of the Samara University

Russian Federation, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye Shosse, 34

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2020 Proceedings of young scientists and specialists of the Samara University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.

Proceedings of young scientists and specialists of the Samara University

ISSN 2782-2982 (Online)

Publisher and founder of the online media, journal: Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

The online media is registered by the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technology and Mass Communications, registration number EL No. FS 77-86495 dated December 29, 2023

Extract from the register of registered media

Regulation of the online media

Editor-in-chief: Andrey B. Prokof'yev, Doctor of Science (Engineering), associate professor,
head of the Department of Aircraft Engine Theory

2 issues a year

0+. Free price. 

Editorial address: building 22a, room 513, Soviet of Young Scientists and Specialists, 1, Academician Pavlov Street, Samara, 443011, Russian Federation.

Address for correspondence: room 513, building 22a, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.

Tel.: (846) 334-54-43

e-mail: smuissu@ssau.ru

Domain name: VMUIS.RU (Domain ownership certificate), Internet email address: https://vmuis.ru/smus.

The previous certificate is a printed media, the journal “Bulletin of Young Scientists and Specialists of Samara University”, registered by the Office of the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technologies and Mass Communications in the Samara Region, registration number series PI No. TU63-00921 dated December 27, 2017.

© Samara University

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies