Application of approximate Targ-Shvets methods for stagnation-point flow over a stretching / shrinking sheet in a nanofluid

Full Text

В данной работе рассматривается течение наножидкости в критической точке на растягиваемой поверхности, в котором в качестве жидкости используется вода, а в качестве твёрдых частиц – медь [1].

Большинство обычных теплоносителей, таких как вода, этиленгликоль и моторное масло, обладают ограниченными тепловыми свойствами, что, в свою очередь, может налагать ограничения на многие тепловые приложения. С другой стороны, большинство твёрдых веществ, в частности металлы, имеют гораздо более высокую теплопроводность, примерно на 1–3 порядка величины, по сравнению с жидкостями. Следовательно, можно ожидать, что жидкости, содержащие твёрдые частицы, могут значительно повысить теплопроводность.

Поток через непрерывно растягивающуюся поверхность является важной проблемой во многих технологических процессах в таких отраслях промышленности, как горячая прокатка, вытягивание проволоки, производство бумаги, выдув стекла, вытягивание пластиковых лент и производство стекловолокна. Качество конечного продукта зависит от скорости теплопередачи на растягиваемой поверхности.

 

Постановка задачи

В случае стационарного движения несжимаемой жидкости уравнения пограничного слоя [2] будут иметь вид:

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial \upsilon }{\partial y}=\mathrm{0,} \left(1\right)$

$u\frac{\partial u}{\partial x}+\upsilon \frac{\partial u}{\partial y}=U_{\infty }\frac{d{U}_{\infty }}{dx}+{\nu }_f\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}, \left(2\right)$

а граничные условия при внешнем обтекании пластины, растягивающейся или сжимаю-щейся в своей плоскости, запишутся так [1]:

$\left\{\begin{array}{c}u=U_w,\\ \upsilon =0 при y=\mathrm{0,}\\ u\to U_{\infty } при y\to \infty .\end{array} \left(3\right)\right.$

Здесь $u и \upsilon$ – компоненты скорости вдоль осей x и y, соответственно; ${\nu }_f=\frac{{\mu }_f}{{\rho }_{nf}}$ – кинематический коэффициент вязкости жидкости (${\mu }_f=\frac{1}{{\left(1-\phi \right)}^{2.5}}$  – относительная динамическая вязкость жидкости;${\rho }_{nf}=1-\phi +\phi \frac{{\rho }_s}{{\rho }_f}$  – относительная плотность наножидкости, где $\phi$ – объёмная доля наночастиц, ${\rho }_f$ – плотность жидкости (в данном случае воды), ${\rho }_s$ – плотность наночастиц (в данном случае меди Сu)), $U_{\infty }=bx$ – скорость течения жидкости, $U_w=ax$ – скорость растягивания/сжатия, где $a и b$ – константы, $b>\mathrm{0,} a>0$ и $a<0$ отвечают растягивающейся и сжимающейся поверхностям, соответственно.

Уравнения (1), (2), удовлетворяющие граничным условиям (3), можно переписать в более удобной форме с помощью следующего преобразования:

$\eta ={\left(\frac{b}{{\nu }_f}\right)}^{\frac{1}{2}}y, \psi ={\left({\nu }_{f}b\right)}^{\frac{1}{2}} x f\left(\eta \right), \left(4\right)$

где $\eta$ – переменная подобия, $\psi$ – функция тока, определённая как $u=\frac{\partial \psi }{\partial y}, \upsilon =-\frac{\partial \psi }{\partial x}$ и удовлетворяющая уравнению (1), $f\left(\eta \right)$ – безразмерная функция тока.

Используя преобразование  уравнение (2) примет вид

$\frac{1}{{\left(1-\phi \right)}^{2.5}\left(1-\phi +\phi \frac{{\rho }_s}{{\rho }_f}\right)}{f}^{\text{'}\text{'}\text{'}}+f f^{\text{'}\text{'}}-f^{\text{'}2}+$

$+1=0. \left(5\right)$

Тогда граничные условия (3) запишутся следующим образом:

$f\left(0\right)=\mathrm{0,} f^{\text{'}}\left(0\right)=\epsilon , f^{\text{'}}\left(\eta \right)\to 1$ $при \eta \to \infty .$

 

Здесь $\epsilon$ – это параметр соотношения скоростей, $\epsilon =\frac{a}{b}$. При $\epsilon >0$ – поверхность растягивается, при $\epsilon <0$ – поверхность сжимается.

Используя условие плавности смыкания из граничного условия $f^{\text{'}}\left(\eta \right)\to 1 при$$\eta \to \infty$ и переходя от асимптотической теории к теории слоя конечной толщины, получим четвёртое граничное условие, необходимое для нахождения толщины слоя ${\eta }_{\infty }$:

$f^{\text{'}\text{'}}\left({\eta }_{\infty }\right)=0.$

Окончательно граничные условия запишутся:

$f\left(0\right)=\mathrm{0,} f^{\text{'}}\left(0\right)=\epsilon ,$

$f^{\text{'}}\left({\eta }_{\infty }\right)=\mathrm{1,} f^{\text{'}\text{'}}\left({\eta }_{\infty }\right)=0. \left(6\right)$

Введём в (5) и (6) замену $f^{\text{'}}=u$, тогда $f={\int }_0^{\eta }u\text{d}\eta$.

Обозначим $A={\left(1-\phi \right)}^{2.5}\left(1-\phi +\phi \frac{{\rho }_s}{{\rho }_f}\right)$ и перенесём в (5) все члены в правую часть, за исключением $u^{\text{'}\text{'}}$.

Тогда уравнение (5) и граничные условия (6) запишутся в следующем виде:

$u^{\text{'}\text{'}}=A\left(-u^{\text{'}}{\int }_0^{\eta }u\text{d}\eta +u^2-1\right), \left(7\right)$

$u\left(0\right)=\epsilon , u\left({\eta }_{\infty }\right)=\mathrm{1,} u^{\text{'}}\left({\eta }_{\infty }\right)=0. \left(8\right)$

Решение задачи приближённым методом Тарга-Швеца

Простые и близкие по идее приближённые методы расчёта ламинарного пограничного слоя разработали С. М. Тарг и М. Е. Швец [3]. Эти методы не используют интегральные соотношения. Мы рассмотрим применение этих приближённых методов для решения нашей задачи.

Вычислим нулевое приближение, подставив в правую часть уравнения (7)$u=0.$

Имеем

$u_0^{\text{'}\text{'}}=0.$

Решая это дифференциальное уравнение, получим нулевое приближение

$u_0=\epsilon +\frac{1-\epsilon }{{\eta }_{\infty }}\eta .$

Подстановка этого нулевого приближения в уравнение (7) даёт

$u^{\text{'}\text{'}}= А \left(\frac{1-2\epsilon +{\epsilon }^2 }{2 {{\eta }_{\infty }}^2} {\eta }^2+\frac{\epsilon -{\epsilon }^2}{{\eta }_{\infty }}\eta +{\epsilon }^2-1\right).$

Дважды интегрируя это уравнение и находя постоянные интегрирования из первого и второго граничных условий (7), получаем:

$u^{\text{'}}= А \left(\frac{1-2\epsilon +{\epsilon }^2 }{6 {{\eta }_{\infty }}^2} {\eta }^3+\frac{\epsilon -{\epsilon }^2}{2 {\eta }_{\infty }} {\eta }^2+{\epsilon }^2 \eta - \eta \right)+$

$+\frac{24-24 \epsilon +11A {{\eta }_{\infty }}^2-2A \epsilon {{\eta }_{\infty }}^2-9A {\epsilon }^2 {{\eta }_{\infty }}^2}{24 {\eta }_{\infty }},\left(9\right)$

$u=А \left(\frac{1-2\epsilon +{\epsilon }^2 }{24 {{\eta }_{\infty }}^2} {\eta }^4+\frac{\epsilon -{\epsilon }^2}{6 {\eta }_{\infty }} {\eta }^3+\frac{{\epsilon }^2-1}{2} {\eta }^2\right)+$

$+\frac{24-24 \epsilon +11 A {{\eta }_{\infty }}^2-2A \epsilon {{\eta }_{\infty }}^2-9A {\epsilon }^2 {{\eta }_{\infty }}^2}{24 {\eta }_{\infty }}\eta +$

$+\epsilon . \left(10\right)$

Чтобы найти ${\eta }_{\infty }$, воспользуемся четвёртым граничным условием (6). После подстановки его в (9) и преобразований получим

$\frac{1}{ {\eta }_{\infty }}-\frac{\epsilon }{ {\eta }_{\infty }}-\frac{3 A {\eta }_{\infty }}{8}+\frac{A \epsilon {\eta }_{\infty }}{12}+\frac{7}{24}A {\epsilon }^2 {\eta }_{\infty }=0.$

Решая это уравнение, находим два корня:

${\eta }_{\infty 1}=-\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{A \left(9+7\epsilon \right)}}, {\eta }_{\infty 2}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{A \left(9+7\epsilon \right)}}.$

Значение ${\eta }_{\infty 1}<0$ не удовлетворяет условиям задачи, т.к. по определению ${\eta }_{\infty }>0$.

Подставим найденное значение ${\eta }_{\infty }$ в уравнения (9) и (10):

$u=A\left(\frac{A}{576}{\left(\epsilon -1\right)}^2 \left(9+7\epsilon \right) {\eta }^4-\frac{\left(\epsilon -1\right)\sqrt{A \left(9+7\epsilon \right) }\epsilon }{12\sqrt{6}} {\eta }^3+\frac{{\epsilon }^2-1}{2}{\eta }^2-\frac{A}{576}\frac{192\sqrt{6} \left(35-7\epsilon -28{\epsilon }^2\right)}{7\sqrt{A\left(9+7\epsilon \right)}}\eta \right)+\epsilon ,$

$u^{\text{'}}=A \left(\frac{A}{144}{\left(\epsilon -1\right)}^2\left(9+7\epsilon \right) {\eta }^3-\frac{\left(\epsilon -1\right)\sqrt{A \left(9+7\epsilon \right) }\epsilon }{4\sqrt{6}}{\eta }^2+{\left(\epsilon -1\right)}^2 \eta +\frac{\sqrt{6} \left(5-\epsilon -4{\epsilon }^2\right)}{3\sqrt{A \left(9+7\epsilon \right)}}\right).$

Рис. 1. Зависимость  , полученная первым способом

 

Рис. 2. Зависимость  [2]

About the authors

Daria Sergeyevna Andrievskaia

Samara University

Author for correspondence.
Email: andrievskaia.dariya@gmail.com

student IV course of the Institute of Space Rocket Engineering

Russian Federation, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye Shosse, 34

Valentin Gavrilovich Shakhov

Samara University

Email: shakhov@ssau.ru

professor of the Department of Aircraft Construction and Design of the Samara University

Russian Federation, 443086, Russia, Samara, Moskovskoye Shosse, 34

References

Supplementary files